Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 2

Здесь подразумевается векторная модель пространства Лобачевского ℍ , заданная как множествоточек гиперболоида{ ∈ ,1 ∣ (, ) = −1},лежащих внутри конуса ℭ+ . Группа движений Isom(ℍ ) = ′,1 (ℝ) есть группа псевдоортогональных преобразований пространства ,1 , оставляющая на месте конусℭ+ . Более подробно о векторной модели пространства Лобачевского см. параграф2.1.3.Из общей теории арифметических групп (см. статью [13] А.

Бореля и Хариш-Чандры1962 года, а также работу [45] Г. Мостова и Т. Тамагавы 1962 года) известно, что еслирешётка изотропна (то есть ассоциированная с ней квадратичная форма представляет нуль; заметим, что это может быть выполнено только для решеток над = ℚ), тофакторпространство ℍ / (то есть фундаментальная область группы ) некомпактно, но имеет конечный объём (в таком случае говорят, что — дискретная подгруппаконечного кообъёма), а во всех остальных случаях оно компактно. При = ℚ доказательство этих утверждений было впервые дано в 1937 году в работе [18] Б.

А. Венкова.6Определение 1.1.2. Две подгруппы 1 и 2 какой-либо группы называются соизмеримыми, если группа 1 ∩ 2 является подгруппой конечного индекса в каждой из них.Определение 1.1.3. Группы , полученные указанным выше способом, и все соизмеримые с ними дискретные подгруппы группы Isom(ℍ ) называются арифметическими дискретными группами простейшего типа. Поле называется полем определения(или основным полем) группы (и всех групп, соизмеримых с ней).Примитивный вектор ∈ называется корнем или, более точно, -корнем, где =(, ) > 0, если 2(, ) ∈ для всех ∈ .

Всякий корень определяет ортогональноеотражение (называемое -отражением, где = (, )) в пространстве ,1 = ⊗id()ℝ2(, )ℛ ∶ ↦ −,(, )которое сохраняет решётку . Отражение ℛ определяет отражение в пространствеℍ относительно гиперплоскости = { ∈ ℍ ∣ (, ) = 0},называемой зеркалом отражения ℛ .Обозначим через () подгруппу группы ′ (), порождённую всеми содержащимися в ней отражениями.Определение 1.1.4. Гиперболическая решётка называется рефлективной, еслииндекс [′ () ∶ ()] конечен.Теорема 1.1.1.

(Винберг, 1967, см. [19])Дискретная группа отражений конечного кообъёма является арифметической группой отражений c полем определения (или -арифметической), если она содержитсяв качестве подгруппы конечного индекса в группе вида ′ (), где — какая-то (автоматически рефлективная) гиперболическая решетка над вполне вещественным полем .Теперь мы сформулируем несколько фундаментальных теорем о существованииарифметических групп отражений и кокомпактных групп отражений в пространствах Лобачевского.Теорема 1.1.2.

(Винберг, 1984, см. [23])1. Компактные многогранники Кокстера отсутствуют в пространствах Лобачевского ℍ при ≥ 30.2. Арифметические группы отражений отсутствуют в пространствах Лобачевского ℍ при ≥ 30.7Следующий важный результат принадлежит сразу нескольким авторам.Теорема 1.1.3. Для каждого ≥ 2 существует лишь конечное с точностью до подобия число рефлективных гиперболических решёток сигнатуры (, 1). Аналогично, длякаждого ≥ 2 существует лишь конечное с точностью до сопряжения число максимальных арифметических групп отражений в пространствах ℍ .Доказательство этой теоремы разбивается на следующие этапы:• 1980, 1981 — В.

В. Никулин доказал конечность числа максимальных арифметических групп отражений в пространствах ℍ при ≥ 10, см. [47, 49];• 2005 — Д. Д. Лонг, К. Маклахлан и А. В. Рид доказали конечность числа максимальных арифметических групп отражений в размерности = 2, см. [37];• 2005 — И. Агол доказал конечность в размерности = 3, см. [1];• 2007 — В. В. Никулин по индукции доказал конечность в оставшихся размерностях 4 ≤ ≤ 9, см. [52];• 2008 — И. Агол, М. В.

Белолипецкий, П. Сторм и К. Уайт независимо провелидоказательство теоремы конечности для всех размерностей с помощью спектрального метода, см. [2] (см. также недавний обзор [9] М. В. Белолипецкого).Наложив дополнительные ограничения на поле определения , можно получитьболее строгие оценки в пункте 2 теоремы 1.1.2. Сформулируем более общий результат о степенях определения арифметических групп отражений, который является результатом усилий разных авторов в разные десятилетия (!) 20 и 21 веков.Теорема 1.1.4. Пусть число = [ ∶ ℚ] обозначает степень поля определения арифметической группы отражений .

Тогда• (Винберг, 1984, см. [23]) В пространствах Лобачевского ℍ размерности ≥ 30не существует арифметических групп отражений.• (Винберг, 1984, см. [23]) В пространствах Лобачевского ℍ размерности ≥ 22не существует арифметических групп отражений с полем определения, отличным от ℚ[√2], ℚ[√5] и ℚ[cos(2/7)].• (Винберг, 1984, см. [23]) В пространствах Лобачевского ℍ размерности ≥ 14не существует арифметических групп отражений с полем определения, отличным от ℚ[√2], ℚ[√3], ℚ[√5], ℚ[√6], ℚ[√2, √3], ℚ[√2, √5] и ℚ[cos(2/)], где =7, 9, 11, 15, 16, или 20.• (Никулин, 2011, см.

[53]) В пространствах ℍ размерности 4 ≤ ≤ 13 степень не больше 25.8• (Белолипецкий и Линовиц, 2014, см. [8]) В пространстве Лобачевского ℍ3 степень не больше 9.• (Линовиц, 2017, см. [36]) На плоскости Лобачевского ℍ2 степень не больше 7.Таким образом, степень поля определения арифметических групп отражений небольше 25 во всех размерностях.(Это лучшая известная на данный момент оценка.)Данные результаты дают надежду на то, что все рефлективные гиперболическиерешётки, а также и максимальные арифметические группы отражений можно классифицировать. Основы теории арифметических групп отражений в пространствахЛобачевского мы приводим в параграфах 2.6 и 2.7 главы 2 настоящей диссертации.Про инварианты квадратичных решёток чуть более подробно мы рассказываем в параграфе 2.5.1.1.3.

Открытые проблемыСказанное выше подводит нас к следующим фундаментальным открытым проблемам, связанным с теорией дискретных групп отражений и многогранников Кокстерав пространствах Лобачевского ℍ .Проблема 1. Какова максимальная размерность пространства Лобачевского, в котором существует компактный многогранник Кокстера? Аналогичный вопрос открыт и для многогранников Кокстера конечного объёма.Проблема 2. Классификация всех рефлективных гиперболических решёток и максимальных арифметических групп отражений.Замечание 1. Проблема классификации фактически поставлена Э. Б.

Винбергом в1967 году. Дальнейшие результаты 70–80-х годов прошлого века (а также и недавниерезультаты) подтверждают, что есть надежда на решение этой проблемы.Хорошим инструментом для решения обеих проблем является алгоритм Винберга (1972 год, см.

[20]) построения фундаментального многогранника для гиперболической группы отражений. Практически он эффективен для арифметических группотражений.Рекордный пример компактного многогранника Кокстера был найден В. О. Бугаенко при = 8 (см. [17]), хотя известно лишь, что < 30 (см. теорему 1.1.2).Рекордный пример многогранника Кокстера конечного объёма принадлежит Р.Борчердсу в размерности = 21 (см. [14]). При этом известно, что многогранникиКокстера конечного объёма могут существовать только при < 996 (см. работы [56]М. Н.

Прохорова и [60] А.Г. Хованского, 1986 год).9Оба этих примера пришли из арифметических групп отражений. МногогранникБугаенко является фундаментальным многогранником для некоторой арифметической группы отражений над полем ℚ[√5] в пространстве ℍ8 , а многогранник Борчердса является фундаментальным многогранником для арифметической группы отражений над полем ℚ в пространстве ℍ21 .Более того, Д. Аллкок, используя элегантный и простой трюк удвоения («a simpledoubling trick») построил бесконечные серии (см. [3]) многогранников Кокстера конечного объема в пространствах Лобачевского вплоть до размерности 19, а такжекомпактных многогранников Кокстера вплоть до размерности 6.

Отметим также, чтов размерностях 7 и 8 есть как арифметические бесконечные серии, так и неарифметические.Классификация всех дискретных групп отражений конечного кообъёма в пространствах Лобачевского не представляется возможной. Эффективное описание дискретных групп отражений конечного кообъёма в пространствах ℍ получено лишь при = 2 (см. работу [55] А. Пуанкаре 1882 года) и при = 3 (знаменитые теоремы Е. М.Андреева 1970 года, см. [5] и [6]).В классификации арифметических групп отражений достигнуты более существенные успехи. Над полем определения ℚ рефлективные гиперболические решётки сигнатуры (, 1) (а также максимальные арифметические группы отражений в ℍ ) классифицированы при = 2 (В.В.