Диссертация (Рефлективные гиперболические решётки), страница 12

Для каждого такого набора ̄неравенство (4.4) даёт какую-то оценку < ̄ .Для решения 56 линейных неравенств была составлена программа в системе компьютерной алгебры Sage1 , код которой доступен в Интернете2 .■Числа ̄ были вычислены на компьютере с точностью до восьми знаков после запятой. В случае необходимости программа выводит их округление вверх до второгознака после запятой, что для наших целей вполне достаточно.1The Sage Developers, the Sage Mathematics Software System (Version 7.6), SageMath, http://www.sagemath.org, 2017N.

Bogachev, Method of the outermost edge/bounds, https://github.com/nvbogachev/OuterMostEdge/blob/master/bounds.sage/, 20172605.2. Короткий список решёток-кандидатов5.2.1. План нахождения короткого списка решёток-кандидатовПусть — фундаментальный многогранник группы () для гиперболической решётки ранга 4 над ℤ[√2]. Для устойчивой рефлективности этой решётки необходимо и достаточно, чтобы был компактен.

Как было доказано в теореме 5.1.1, вовсяком таком многограннике существует ребро ширины меньше ̄ , где ̄ ≤ 4,14— число, зависящее от набора ̄ двугранных углов вокруг этого ребра.Пусть 1 , 2 , 3 , 4 — корни решётки , являющиеся внешними нормалями граней1 , 2 , 3 , 4 соответственно. Эти корни порождают некоторую подрешётку′ = [(1 , 2 , 3 , 4 )] ⊂ .Заметим, что элементы матрицы Грама (1 , 2 , 3 , 4 ) могут принимать конечноечисло различных значений. А именно, диагональные элементы равны 1, 2 или 2+ √2,а модули всех остальных элементов должны быть строго меньше √ , за исключением элемента 34 = (3 , 4 ), модуль которого ограничен числом ̄ √(3 , 3 )(4 , 4 ).Таким образом мы получим конечный список матриц (1 , 2 , 3 , 4 ).Список найденных решёток мы разобьём на классы изоморфности и оставим только по одному представителю каждого класса, после чего останется уже существенноболее короткий список анизотропных попарно не изоморфных решёток.После этого мы находим все расширения конечного индекса полученных решёток и исследуем полученный список решёток-кандидатов на устойчивую рефлективность с помощью методов, изложенных в главе 3.5.2.2.

Короткий список решёток-кандидатовИтоговая программа, которая создает список чисел ̄ , а затем, используя этотсписок, выводит все матрицы Грама (1 , 2 , 3 , 4 ), также доступна в Интернете3 .В результате мы получаем на выходе 65 матриц. Находя все максимальные решетки и оставляя лишь по одному представителю каждого класса эквивалентности,мыполучаем уже список из всего лишь 15 матриц.Каждой матрице Грама в наших обозначениях соответствует решётка , которая может иметь ещё какие-то расширения. Для каждой новой решётки (не изоморфной никакой из предыдущих решёток) мы будем вводить обозначение (), гдечисло обозначает её номер.3N. Bogachev, Method of the outermost edge/CandidatesFor12Reflectivity, https://github.com/nvbogachev/OuterMostEdge/blob/master/Is_equival, 2017611⎛⎜01 = ⎜0⎜⎝0000⎞100⎟, ≃ [−2(1 + √2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1];01−1 − √2⎟ 1⎟0 −1 − √21⎠Её единственным расширением является надрешётка „индекса √2“(1) ∶= [−(1 + √2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1].1⎛⎜02 = ⎜0⎜⎝0000⎞100⎟, ≃ [−(1 + 2√2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (2);01−1 − √2⎟ 2⎟0 −1 − √22⎠1⎛⎜03 = ⎜0⎜⎝0000⎞1002−1 − √2⎟,≃[] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (3);302−1 − √2⎟√2−1−2⎟0 −1 − √22⎠1⎛⎜04 = ⎜0⎜⎝0000⎞1002−1 − 2√2⎟,≃] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (4);[402−1 − 2√2⎟√22−1−2⎟20 −1 − 2√2⎠1 000⎛⎞01−1−1⎜⎟5 = ⎜, ≃ [−5 − 4√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (5);0 −12−1 − √2⎟ 5⎜⎟2⎝0 −1 −1 − √2⎠1 000⎛⎞01−1−1⎜⎟6 = ⎜, ≃ [−11 − 8√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (6);0 −12−1 − 2√2⎟ 6⎜⎟2⎝0 −1 −1 − 2√2⎠1⎛⎜07 = ⎜0⎜⎝0000⎞100⎟, = [7 ];02−2 − 2√2⎟ 7⎟20 −2 − 2√2⎠Её единственным расширением является надрешётка „индекса √2“(7) ∶= [−√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1].621 000⎛⎞−1−1 ⎟⎜0 28 = ⎜, = [8 ];0 −12−√2⎟ 8⎜⎟√0−1−22⎝⎠Её единственным расширением является надрешётка „индекса √2“−1− √2 ⎤⎡ 2√2 − 1⎥ ⊕ [1].(8) ∶= ⎢ −12⎢⎥√√√−22−12−2⎦⎣1 000⎛⎞−1−1 ⎟⎜0 29 = ⎜, = [9 ];0 −12−√2 − 1⎟ 9⎜⎟√0−1−2−12⎝⎠Её единственным расширением является надрешётка „индекса √2“2 −10⎡⎤−1 ⎥ ⊕ [1].(9) ∶= ⎢−1 2⎢⎥√0−1−2⎣⎦101 000⎞⎛02−1−1⎟⎜, = [10 ];=⎜0 −12−√2 − 2⎟ 10⎟⎜2⎠⎝0 −1 −√2 − 2Её единственным расширением является надрешётка „индекса √2“2−1 − √2(10) ∶= [] ⊕ [2 + √2] ⊕ [1].−1 − √221 00−1⎛⎞−1−1 ⎟⎜0 211 = ⎜, ≃ [−7 − 6√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] ∶= (11);0 −12−√2 − 1⎟ 11⎜⎟√−1−1−2−12⎝⎠1 0−1−1⎛⎞−1−1 ⎟⎜0 212 = ⎜, = [12 ];−1 −12−2√2 − 1⎟ 12⎜⎟√−1−1−22−12⎝⎠63Её единственным расширением является надрешётка индекса 2(12) ∶= [−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1].2 00−1⎛⎞−1−1 ⎟⎜0 213 = ⎜, = [13 ] ∶= (13);0 −12−√2⎟ 13⎜⎟√−1−1−22⎝⎠142 00−1⎛⎞−1−1 ⎟⎜0 2=⎜, = [14 ] ∶= (14);0 −12−√2 − 1⎟ 14⎜⎟√−1−1−2−12⎝⎠20−1−1⎞⎛√2−1− 2 ⎟⎜0, 15 = [15 ] ∶= (15).15 = ⎜−1 −12−√2 − 1⎟⎟⎜√√2−2−12−1−⎠⎝5.3.

Исследование на устойчивую рефлективностьТаким образом, у нас остается 15 решёток-кандидатов (1)–(15). Во всех случаяхдля каждой решетки () мы используем алгоритм Винберга, который строит фундаментальный многогранник для группы (()), а затем мы проверяем выполнениеусловия леммы 3.5.1. Более подробно об этом см. подраздел 3.5.2.5.3.1.

Решётки с ортогональным базисомСначала мы исследуем решётки с ортогональным базисом. Для этого мы используем реализацию алгоритма Винберга AlVin, написанную Р. Гульельметти. (Его программа написана для решеток, задаваемых диагональными квадратичными формами с коэффициентами, свободными от квадратов.)Предложение 5.3.1. Решётка (1) = [−(1 + √2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] устойчиво рефлективна.Доказательство. Для решётки (1) мы применяем алгоритм Винберга. Программа находит 5 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, 0, 0, −1),4 = (1, 1 + √2, 0, 0),645 = (1 + √2, 1 + √2, 1 + √2, 1 + √2).Матрица Грама этих корней имеет вид:2−10− √2 − 10⎞⎛2−100⎟⎜ −1(1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) = ⎜0−110− √2 − 1 ⎟⎜⎟√2 + 2−√2 − 1 000⎟⎜√√00−2−102+2⎠⎝Она соответствует компактному трёхмерному многограннику Кокстера.

По матрице Грама заметно, что группа, порождённая “плохими” отражениями, тривиальна.Следовательно, решётка (1) рефлективна и устойчиво рефлективна.■Предложение 5.3.2. Решётка (2) = [−(1 + 2√2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] устойчиво рефлективна.Доказательство. Для решётки (2) мы применяем алгоритм Винберга.

Программа находит 6 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, 0, 0, −1),4 = (1, 1 + √2, 0, 0),5 = (1 + √2, 2 + √2, 2 + √2, 1).6 = (1 + √2, 2 + √2, 1 + √2, 1 + √2).Матрица Грама этих корней имеет вид:2−10− √2 − 10−1 ⎞⎛2−10− √2 − 10⎜ −1⎟⎜0−110−1− √2 − 1 ⎟⎟(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) = ⎜002−1−1 ⎟⎜−√2 − 1⎜⎟0−√2 − 1−1−120⎜⎟√−10−2−1−101⎝⎠Она соответствует компактному трёхмерному многограннику Кокстера. По матрице Грама заметно, что группа, порождённая “плохими” отражениями, тривиальна.Следовательно, решётка (2) рефлективна и устойчиво рефлективна.■Предложение 5.3.3.

Решётка (5) = [−(5 + 4√2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] устойчиво рефлективна.65Доказательство. Для решётки (5) мы применяем алгоритм Винберга. Программа находит 5 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, 0, 0, −1),4 = (1, 3 + √2, 0, 0),5 = (1, 1 + √2, 1 + √2, 1).Матрица Грама этих корней имеет вид:0 ⎞2−10 −√ 2 − 3⎛2−10− √ 2⎟⎜ −1(1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) = ⎜0−110−1 ⎟⎜⎟−√2 − 300 2√2 + 60⎜⎟√0−2−102⎝⎠Она соответствует компактному трёхмерному многограннику Кокстера.

По матрице Грама заметно, что группа, порождённая “плохими” отражениями, тривиальна.Следовательно, решётка (2) рефлективна и устойчиво рефлективна.■Предложение 5.3.4. Решётка (6) = [−(11 + 8√2)] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] устойчиворефлективна.Доказательство. Для решётки (6) мы применяем алгоритм Винберга. Программа находит 17 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, 0, 0, −1),4 = (1, 2 + √2, 2 + √2, 1),5 = (1, 2 + 2 ⋅ √2, 1, 0),6 = (1, 2 + √2, 1 + √2, 1 + √2),7 = (2 + √2, 7 + 5 ⋅ √2, 3 + 3 ⋅ √2, 2 + √2),8 = (1 + 2 ⋅ √2, 8 + 5 ⋅ √2, 4 + 3 ⋅ √2, 3 + 2 ⋅ √2),9 = (1 + 2 ⋅ √2, 8 + 6 ⋅ √2, 3 + 2 ⋅ √2, 2 + 2 ⋅ √2),10 = (2 + 3 ⋅ √2, 13 + 9 ⋅ √2, 7 + 5 ⋅ √2, 2 + √2),11 = (4 + 2 ⋅ √2, 13 + 10 ⋅ √2, 9 + 6 ⋅ √2, 0),12 = (4 + 4 ⋅ √2, 19 + 14 ⋅ √2, 9 + 6 ⋅ √2, 8 + 6 ⋅ √2),13 = (4 + 4 ⋅ √2, 20 + 14 ⋅ √2, 11 + 8 ⋅ √2, 1),14 = (4 + 2 ⋅ √2, 14 + 10 ⋅ √2, 6 + 4 ⋅ √2, 5 + 4 ⋅ √2),6615 = (4 + 3 ⋅ √2, 17 + 12 ⋅ √2, 8 + 5 ⋅ √2, 6 + 4 ⋅ √2),16 = (4 + 3 ⋅ √2, 17 + 12 ⋅ √2, 9 + 7 ⋅ √2, 1 + √2),17 = (5 + 4 ⋅ √2, 22 + 15 ⋅ √2, 13 + 9 ⋅ √2, 1 + √2).Матрица Грамы этого набора корней соответствует компактному трёхмерномумногограннику Кокстера.Диагональ этой матрицы имеет вид:[2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1]По ней видно, что группа, порождённая “плохими” отражениями, тривиальна.

Следовательно, решётка (6) рефлективна и устойчиво рефлективна.■Предложение 5.3.5. Решётка (7) = [−√2]⊕[1]⊕[1]⊕[1] устойчиво рефлективна.Доказательство. Для решётки (6) мы применяем алгоритм Винберга. Программа находит 6 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, 0, 0, −1),4 = (1 + √2, 1 + √2, 1 + √2, 0),5 = (1 + √2, 2 + √2, 0, 0).6 = (2 + √2, 1 + √2, 1 + √2, 1 + √2).Матрица Грама этих корней имеет вид:2−100− √2 − 20⎛⎞√002−1− 2−1⎜ −1⎟⎜0−1100− √2 − 1 ⎟⎜⎟(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) =√√0−2−102+200⎜⎟⎜−√2 − 2√2 + 2 − √2 − 2 ⎟000⎜⎟√√00−2−10−2−21⎝⎠Она соответствует компактному трёхмерному многограннику Кокстера.

По матрице Грама заметно, что группа, порождённая “плохими” отражениями, тривиальна.Следовательно, решётка (6) рефлективна и устойчиво рефлективна.■Предложение 5.3.6. Решётка (11) = [−7 − 6√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] является рефлективной, но не устойчиво рефлективной.Доказательство. Для решётки (11) мы применяем алгоритм Винберга. Программа находит 10 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),673 = (0, 0, 0, −1),4 = (1, √2 + 1, √2 + 1, √2 + 1),5 = (1, √2 + 2, √2 + 1, 0),6 = (2√2 + 1, 6√2 + 7, 0, 0),7 = (√2 + 1, 3√2 + 5, √2 + 1, 1),8 = (√2 + 1, 3√2 + 4, √2 + 2, √2 + 2),9 = (4√2 + 6, 13√2 + 19, 7√2 + 12, 6√2 + 7),10 = (2√2 + 2, 6√2 + 9, 2√2 + 3, 2√2 + 2).Матрица Грама этого набора корней соответствует компактному трёхмерномумногограннику Кокстера.

Диагональ этой матрицы имеет вид{2, 2, 1, 2, 2, 2√2 + 10, 2, 1, 2√2 + 10}.Остается заметить, что группа, порождённая “плохими” отражениями в зеркалах6 и 10 , бесконечна, поскольку в схеме Кокстера соответствующие вершины соединяются пунктирным ребром. Следовательно, решётка (11) рефлективна, но неустойчиво рефлективна.■Предложение 5.3.7. Решётка (12) = [−7 − 5√2] ⊕ [1] ⊕ [1] ⊕ [1] устойчиво рефлективна.Доказательство. Для решётки (12) мы применяем алгоритм Винберга. Программа находит 5 корней:1 = (0, −1, 1, 0),2 = (0, 0, −1, 1),3 = (0, 0, 0, −1),4 = (2 − √2, 1 + √2, 1, 0),5 = (1, 1 + √2, 1 + √2, 1 + √2).Матрица Грама этих корней имеет вид:−10− √20⎛ 2⎞−12−1−10⎜⎟⎜(1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) =0−110− √2 − 1 ⎟⎜⎟−√2 −1020⎜⎟√2 + 2 ⎠0 −√2 − 10⎝ 0Она соответствует компактному трёхмерному многограннику Кокстера. По матрице Грама заметно, что группа, порождённая “плохими” отражениями, тривиальна.Следовательно, решётка (12) рефлективна и устойчиво рефлективна.■685.3.2.