П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 8

Эго возможно только для надбарьерного отражения частиц высокой энергии, когда В << 1. Применение (3.54) к случаю Ь-потенциала дает В(Е) = где Ео — энергия связи в б-яме. Это совпадает с первым членом разложения точного выражения В = Ео (Е+ Ео) по степеням Ео(Е. Для потенциалов У (х), непрерывных на оси х со всеми производными, формула (3.54) дает при Е ~ оо экспоненциальный закон убывания коэффициента отражения: обычно В (Е) сс ехр ( — Цса), где Х вЂ” число порядка единицы. Коэффициент прохождения, 54 Глава 3 вычисленный из (3.52), оказывается больше единицы: область, в которой потенциал отличен от нуля, становится источником частиц.

Это — следствие приближенности найденного решения; оно применимо при Х1 — 1 « 1. 13. Особый случай представляют потенциалы, ограниченные по величине, но не стремящиеся к определенным пределам при х — ~ ~со. Такие потенциалы применяются для описания поведения электронов в конденсированном веществе. Простейшим примером являются модели, в которых потенциал У(х) является периодическим. Рассмотрим модель Кронига — Пенни — движение частицы в поле с потенциалом У(х) = д ~ 0(х+па).

(3.55) Будем считать д > О. В интервале О < х < а УШ описывает свободное движение, и ВФ имеет вид ~кж +  — ~к* (3.56) где К = «Г2тЕ/Ь есть волновое число. На основании теоремы Блоха (п. 2.11) в интервале а < х < 2а имеем у еаьа Аеьк(х-а) + Ве-ък(х-а) (3.57) где й — квазиимпульс, деленный на а. Сшивая выражения (3.56) и (3,57) в точке х = а, из непрерывности у имеем (Я + В) е'ь'г = Яе'~" + Ве 'г~" а из условия на скачок производной (3.17)— ак ((А — В)е'~ — Ае*~'-~-Ве *~ 1 = — г (Ае'~'-~-Ве *~ ) .

~г Эта система двух однородных линейных уравнений для коэффициентов А и В имеет нетривиальные решения, если ее детерминант обращается в нуль. Отсюда получается уравнение сов Йа = Я + сов Ка, (3.58) Ка где Я = тдаЛ з — безразмерный параметр. Правую часть уравнения (3.58) обозначим как Р(Ка); график этой функции изображен Одномерное движение 55 на рис. 11.

При любом значении й это уравнение имеет бесконеч- но много корней К„(Й), которым соответствуют энергии Е„(Й) = = В~К~/(2т). Однако эти значения не заполняют всю ось энер- гий. Равенство (3.58) возможно при таких Х, что ~Р(Ка)[ с 1. На рис. 11 такие области отмечены толстыми линиями на оси К.

Непрерывный спектр энергий разбивается на ряд ограниченных областей — энергетических зон. К Я Зя Ха точкам Ка = птс справа примыка- о ют запрещенные зоны — области, в ~~ 4~ которых ~Р(Ка) [ > 1, а потому отсутствуют ограниченные решения УШ. С ростом энергии Ж запре- Рис. 11 щенные зоны на оси Ка сужаются: левая часть (3,58) принимает значение ( — 1), когда сов(Ка — ~р) = ( — 1)" соа~р, С8 ср = —, Я Ка т. е. при Ка = пк и при Ка = па+ 2~р. Отсюда следует, что ширина запрещенных зон Ь = 2 ахс$8 Я/Ка).

При больших и имеем Ь = = 2Я/(пк). 14. Собственные функции операторов р и х не принадлежат клас- су Ь~. Поэтому они не описывают физически реализуемые состоя- ния частицы; эти СФ следует рассматривать как базисные функции, образующие полную систему в смысле соотношений (1.15), (1.16). Поскольку в физически реализуемых состояниях значения р и х описываются некоторыми распределениями вероятностей, наряду со средними значениями р и х представляют интерес и вторые централь- ные моменты — дисперсии этих величин. Дисперсию величины А ЬАз = (~р~ (А — А) ~у) (3.59) можно рассматривать как меру неопределенности ее значений. Дис- персии значений величин, которым соответствуют некоммутирую- щие операторы, связаны с коммутатором этих операторов: [х,у~ = гА. Рассмотрим среднее значение оператора Ь+Х, где Ь = (х — х) +гу(р — р), операторы х и у эрмитовы, а у — действительный параметр.

Соб- ственные значения оператора Ь+Ь неотрицательны (см. задачу 1.15), (3.60) Глава 3 Х=х+зур поэтому неотрицательно и среднее значение (~у[((х — х) — ау(р — р)Ц(х — х) + ау(р — у)) [у) > О, (у[~хя ~- ~якоря+~~[х,р] [у) > О. Используя равенство (3.60), из последнего соотношения находим Ьхг + узы,~г — уА > О. Поскольку это неравенство выполняется при любом значении т, то дискриминант трехчлена неположителен, т.

е. Аз — 4Ьхз Ьуз < О. Итак, имеет место неравенство Ь~з Ьр~ > —. (3.61) 4 Это выражение называется соотношением неопределенностей Гай- зенберга. Отметим, что для его вывода необходима эрмитовость опера- торов х, р. Поэтому соотношение (3.61) неприменимо для состояний, которые описываются собственными функциями операторов х и р. Коммутатор операторов координаты и компоненты импульса в декартовых координатах пропорционален единичному оператору: [р;,х;1 = — И. Поэтому в любых состояниях, описываемых ВФ из Ьз, будет выпол- няться соотношение неопределенностей Лря ~л~х2 > (3.62) 4 В классической механике значения р и х определены одновремен- но. В этом смысле состояния, наиболее близкие к классическим, будут описываться ВФ с минимальным произведением неопределен- ностей.

Им соответствует знак равенства в формуле (3.62). В силу неотрицательности СЗ оператора Ь+Ь такие состояния должны опи- сываться СФ оператора Х с собственным значением, равным нулю. Отсюда получаем уравнение х+ф,— ~~ = Ь~~, (3.63) Нормированное решение уравнения (3.63) имеет вид у (х) = (2т~Ь~и) ехр[ — ( ~ -~-зР~, ~3.64) где ЬхЯ = Ьу.

Оператор в левой части (3.62) лишь размерным множи- телем отличается от оператора уничтожения а для гармонического осциллятора, введенного в п. З.б. Таким образом, состояния с ВФ (3.64) могут быть определены уравнением ау= Ьр, Однамерное движение где Х вЂ” произвольный комплексный множитель. Состояния, описываемые ВФ, удовлетворяющими этому уравнению, называются когерентными состояниями* гармонического осциллятора. ЗАДАЧИ 1. Для изображенного на рис.

1 потенциала показать, что для значений энергии Е ( У ВФ стационарного состояния может иметь нули только в области, где Е > У(х). 2. Показать, что для одномерного УШ все ВФ дискретного спектра имеют вид у(х) = ехр ту °,Г(х), где т — число, а Г(х) — действительная функция. Отсюда следует, что в связанных состояниях плотность потока вероятности всюду равна нулю. Поэтому ВФ связанных состояний одномерного УШ мы всюду считаем действительными.

3. Доказать, что в поле с четным потенциалом У(х) ВФ дискретного спектра либо четны, либо нечетны. 4. Может ли состояние с энергией связи, равной нулю, принадлежать дискретному спектру? 5. Исследовать дискретный спектр частицы в поле двух симметричных Ь.ям У(х) = — цЬ(х — а) — дЬ(х+а). Такая модель может быть охарактеризована величиной безразмерного параметра Я = 2гги?ай ~. а) Найти, при каком значении Я1 параметра Я в этом потенциале появляется второе связанное состояние. б) Найти асимптотическнй вид зависимости Е1 от Я при Я ж Я1.

в) Найти приближенный вид зависимости разности энергий двух связанных состояний Ь = Е1 — Ео от Я при Я » 1. б. Исследовать спектр частицы в поле У(х) = — дЬ (х — а) + вЬ (х + а) . При каком условии в этом потенциале будет существовать связанное состояние? 7. Найти спектр частицы в поле У(х) = — (х + г'х1 — ). 2 7 шло 8. При каких значениях параметров Х и и движение частицы в потенциале У(х,Р) = — (х +р Р + 2Х Р) 2 финнтно? Найти для этого случая уровни энергии частицы. 9. Найти энергетический спектр системы И частиц одинаковой массы гп в трехмерном пространстве, если их попарное взаимодействие описывается осцилляторным потенциалом ШО' У(гз) = — г;.

2 (г 3 — вектор расстояния между 1-й и у-й частицами). У к а з а н и е. Рассмотреть классические уравнения движения системы. 58 1лава 3 10. Классическая частица, совершающая малые колебания с энергией Е = = Ьо/2, не выходит за пределы интервала ~х~ < /К7тох Какова вероятность найти квантовую частицу с той же энергией вне этого интервала? 11. Доказать, что волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятора ~у„(х) являются собственными функциями оператора Фурье и имеют ту же форму в импульсном представлении. 12.

Найти спектр частицы в поле У (х) = — з~ (х > 0), У (з) = оо (х < 0) . 2 13. Найти зависимость ез от В вблизи порога появления второго связанного состояния в прямоугольной яме В > В~ —— х/4). 14. Найти зависимость относительных энергий связи е„от В и и при В » 1. 15. Свободная частица находится в состоянии с ВФ у (х) = Аехр (йс~з) + + В ехр (зйзя). Вычислить среднее значение и дисперсию ее энергии.

16. Показать, что коэффициенты Ю(Е) и В(Е) не зависят от направления движения падающей частицы. 17. Асимптотика ВФ за барьером ун —— ~А~ ехр (г (йю + Ь)) сдвинута по фазе относительно падающей волны у = е'~*. Найти связь между фазовым сдвигом Ь и коэффициентом прохождения. 18. Используя (3.54), найти коэффициент отражения частицы высокой энергии в поле прямоугольного барьера; сравнить ответ с точным выражением. 19. При о < 0 в модели Кронига — Пенни может существовать энергетическая зона с .Е < О.