П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 3

Зная вид оператора, действующего на функции от х, мы нашли вид оператора, действующего на функции от Л. Если эрмитов оператор обладает как непрерывным, так и дискретным спектром, то разложение (1.15) принимает вид Дх) = ~а„у„(ж) .~-~а(х) ~г(1,х) их, (1.18) где коэффициенты разложения определяются формулами (1.12), (1.15). Функции дискретного и непрерывного спектра взаимно ортогональны: у„' (х) ~у (Л, х) дх = О. В дальнейшем для упрощения записи мы будем обозначать правую часть (1.18) одним только знаком суммы, подразумевая включение интеграла по непрерывному спектру.

17. Для эрмитовых операторов с дискретным спектром имеют место следующие утверждения. а) Если операторы Х и М имеют общую систему СФ, то они коммутируют. Для любой собственной функции йМц =ЬЬ Ч )=Л и у =Мйц. Введение 19 Раскладывая произвольную функцию 1" (х) из Ь~ по системе у„(х), получим ЬМДх) =ХМ~~~ а„у„(х) ="~ а„Х„р„Чг„(х) =МЙ~(х).

б) Если операторы Х и М коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций — матрицы Х „, М „одновременно приводятся к диагональному виду. Пусть для определения матрич- ных элементов используется система СФ оператора Х. Тогда Х~тв = 1~табти~ Ф~) . = Ф~) . Хч ьМ =~,,Хь Мть ь ь М „(Ь вЂ” Ь„„)=0. Если СЗ Х не вырождены, то М „= ц„Ь „: матрица М диагональна.

Если СЗ Х вырождены с кратностью д, то могут быть отличны от нуля фя — 1) недиагональных элементов М „. Линейные комбинации дь функций у~,я, соответствующих вырожденному собственному значе- нию Хь, могут быть выбраны так, что М,„„= О при ть ф т в системе функций (у„,уь ). Так как дь также суть СФ Х, то Х и М будут одновременйо приведены к диагональному виду.

18. Если для эрмитова оператора Ф существуют эрмитовы опе- раторы Х и М такие, что [и, Я = О, Я,Р~ = О, [М, Ц ~ О, то собственные значения Ф вырождены. Из утверждений п. 1.17 следует, что существуют общие системы собственных функций опе- раторов М и Ф вЂ” у(х; ц, ч) и операторов Х и Ф вЂ” у(х; Х, р). Пусть спектр Ф дискретный: ~(х) = ~ а„у(х,р,ч) = ~~) Ь„у(х,Х,ч). ч ч Ф Вычислим матричный элемент (ДМЩ): ~ [~ ау" ~х,р,ч)1МХ[~ Ь„у(х,Р.,ч)~Нж= ч = ~~у„а„9' (х,р,ч) ~Х, Ь9~я,Х,ч') ~~. ч / Введение Указ ание. Рассмотреть оператор а(~), зависящий от параметра и: а(ц) = е" ае ", и найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет а(ц). 3. Доказать соотношение: если [6,а] = й.,то ехр[ц(а+ 6)] = ехр(туЬ) ехр(ца) ° ехр( — 4~ — Х).

г Указан и е. ехр ~т~(а+ Ьи = ехр(цЬ)Х(ц). Найти уравнение для 1(п). 4. Пусть Х вЂ” малый параметр. Написать разложение оператора (А — ХВ) з по степеням Х. 5. Пусть 1с, а] = Ха, а~ср) = аф. Найти с. 6.Найти [Ь,с],если [с,а] = Ха, [а,61 = с. У к аз ан и е. Использовать результат задачи 1.1.

Операторы, определенные соотношениями [=.- ]= сс +с с=1, се=О, а+а+ + аа - а+а+ аа+ Аз =, Аз= 4 4 .а+а+ — аа Аз =4 4 Найти коммутаторы [А;, Аь]. 8. Пусть функция ~(ж) разложима в ряд Тейлора Доказать, что [-.л-')] = ""') аа+ ' Указание. Доказать для ~(ж) = ж" по индукции. 9. Доказать, что формула задачи 1.8 правильна и для функций, разложимых в ряд Лорана. 10. Пусть с+ с+ с+ — с с+с — сс+ Ст = Сз = , Сз = 2 2 2 Найти коммутаторы [С; „Сь].

11. Найти СФ и СЗ эрмитова оператора в Ез. ъ=)' (, ~=ъ". 12. Найти в Ез матрицы с, с+. 13. Найти СЗ оператора Й = ссс. играют исключительно важную роль в квантовой механике. Они называются операторами Бозе (или бозе-операпороми а, а+) и онералорами Ферми (или фермиолералюрами с, с+) соответственно. Введенные для них обозначения мы будем использовать постоянно.

7. Пусть 22 Глава 1 14. Доказать, что условие +Ь+ ЬЬ+ 1 . противоречиво. 15. Доказать, что СЗ оператора (Х+) (Х) неотрицательны. 16. Найти СЗ оператора й = а+а. У к аз ан и е. Выразить (а+)" (а)" через В и использовать результатзадачи 1.15. 17. Показать, что в Ез матриц а+, а нет. Объяснить, сравнив с результатом задачи 1.16. 18. Найти СЗ оператора Ю = а+а + а+А+ а Х . 19. Найти СЗ оператора Х = а+Ь+ Ь+а, если 1Ь,Ь+) = 1, (а,Ь) = О, 1а+,Ь1 = О.

20. Найти СЗ оператора М = г(аЬ+ — Ьа+). Коммутаторы такие же, как и в задаче 1.19. 21. Доказагь, что для функций комплексного переменного величина (1>д) = — ~е 1 (я)8(я)>Ь лЛ обладает свойствами скалярного произведения. (Интеграл берется по всей комплексной плоскости.) 22. Показать, что если скалярное произведение определено как в задаче 1.21, то а =я. Такое произведение называется представлением Фока — Баргмана. 23.

Найти унитарное преобразование, при котором а+ -+ а++А'. а~а+1, 24. Найти общий вид нетривиальных (отличных от 1) унитарных эрмитовых матриц о(а) в Ез. 25. Найти унитарные эрмитовы матрицы о; (1 = 1, 2, 3) в Ез такие, что (о;,о1] = 2е;зьаь, в представлении, в котором оз диагональна Ответ: О, о,='. О*, аз=о Эти матрицы применяются в квантовой механике. Они называются матрицами Паули. Введенные для них обозначения мы будем использовать постоянно.

26. Найти унитарные матрицы Агь такие, что (Агь)~б;(Агь) = оь. 27. Вычислить Еь(А) = ехр(ХВь). 28. Операторы В такие, что б~ = Ь, называются гроек>1иоивьиии. Найти проекционные операторы в пространстве Ез. Введение 29. Доказать, что если Х имеет дискретный спектр и все Х„не вырождены, то не существует оператора М такого, что 30. Доказать, что если А и В имеют обратные матрицы и АВ+ВА=О, то А и В имеют четное число строк и столбцов и БрА =ЯрВ = О. 31.

Оператор Фурье Я определен соотношением ,рг~(ж) = — е '"~(р) Йу. 42~с 2 Является ли этот оператор эрмитовым? унитарным? Найти спектр оператора Фурье. Глава 2 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ) — „,(У!р'!а) = — У ай дж; — (УРМ= У = а <~ ' ~р; где Н вЂ” оператор, соответствующий классической функции Гамиль- тона. Аб. Операторы р; и жь удовлетворяют коммутационным соотно- шениям !р;,хь] = — гйб;ь, !р;,рь) = О, ~ж;,ть~ = О, где й — постоянная Планка: Д, = 1, Оба 1О ~7 эрг.с. 1.

Сопоставление оператора физической величине Х, имеющей классический аналог, т. е. являющейся функцией классических пе- ременных Цж;, рь), производится заменой классических перемен- ных на операторы х;, рь. Функции предполагаются разложимыми в степенные ряды. Если функция Цх;, рь) не содержит в своем раз- ложении членов вида жьрь, то оператор Х(ж;, рь) будет эрмитовым. О. При изложении квантовой механики мы будем исходить из следующих основных положений.

А1. Каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор Ь. А2. Каждому состоянию физической системы сопоставляется нормированная волновая функция у. АЗ. Физическая величина Ь может принимать только собственные значения оператора Х. А4. Математическое ожидание Ь значений величины Е в состоянии у определяется диагональным матричным элементом: Х=(ч!46* А5.

Матричные элементы операторов декартовых координат ж; и декартовых компонент обобщенного импульса рь, вычисленные между волновыми функциями системы ~ и д, удовлетворяют уравнениям Гамильтона классической механики Основные положения 25 Например, кинетической энергии Т = (~; рр) /2т сопоставляется эрмитов оператор з у ~ 3~а а=1 Если в разложении Цх;, рь) содержатся члены вида хьрь, то замена х; -+ х;, р; -+ р; приводит к неэрмитову оператору Л, так как произведение эрмитовых А и В есть эрмитов оператор, только если А и В коммутируют, В этом случае величине Х сопоставляют эрмитову часть оператора Л.

Так, для величины 1Ф'(х;, р;) = ~;; р;х; соответствующий оператор будет иметь вид з И~ = — ~) (р; х; + х; р;). 2 ~--' (2.1) а=1 Другой пример содержится в п. 5.б. Подчеркнем: из правил соответствия следует, что время в квантовой механике есть не наблюдаемая, которой сопоставляется оператор, а параметр. 2. Если волновая функция у„есть собственная функция оператора Ь, то математическое ожидание величины Х в этом состоянии равно собственному значению Х=(л~Х ~п)=Х (гфъ)=Х . Аналогично доказывается, что для любого й Х, =Р„)" т. е.

величина Х, в состоянии Ч„с достоверностью принимает значение Х„. Если д не есть СФ Х, то, раскладывая по полной системе СФ Х, получаем Хч =х ч ч=~~ ч Х<р=~~ Х а„,у„, (ср~Ь ~ср) = ~ а,'„а Х„(тп~п) = ~ ~а~~ Э „, УП,П 37$ если спектр Х дискретен. Итак, Х = ~» )а„,~ ~,. 2б Гпава 2 ~р(т) = а(Х)ц(т, Х) ИХ, Ь = йт а'(Х) у'(т, Х)сЬ ц а(ц) Ч(т Н) Ф = а'(Х) а(р) рддр у (т,Х)ц(т,р) Йт, ~а~.) ~~~ Ю. Функция ~а(Х) ~ ~ есть, согласно А4, плотность вероятности наблюдения значений А в непрерывном спектре.