П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 2

ПЪ~ П Меняя местами индексы суммирования, находим соотношение между матрицами сопряженных операторов: ),Ч Х ср =~~ Ч (Х~ ) ср (1.б) '~та '~пвь ' Аналогичное соотношение выполняется и для ядер сопряженных интегральных операторов в 1. ( — оо, +ос): .с + (х, с) = Х ' Я, х) . Рассмотрим оператор, сопряженный произведению операторов М = =ЬФ: (ЛМЫ = ((АМ+В)* (Ихой = ((~~а1Х+1Л)' = (М1~+Х+й)* м+ = Й+Х+.

8. Определение 8. Если оператор Х совпадает со своим сопряженным оператором с +, то он называется эрмитовым. Так, эрмитовыми являются операторы Р и д (см. (1.1)) в классе 1.~: (Яд ф = ~'хдсКх = д'х~ с1х = ((фд1Д)*. Здесь предполагается, что как ~(х), д(х), так и х~(х), хд(х) принадлежат классу 1.: (ДР1ф = ~*(х)д( — х) сКх = х'( — х)фх) сЕх = (ДР1Д (Значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.) Для любого оператора Х оператор Х+ Х+ Х+ будет эрмитовым в силу (1.5). Любой оператор Х можно представить в виде Х = М+сЖ, 10 1лава1 где операторы —,, Х+Х+ ~ Х-х.

(1.7) 2 ' 2в эрмитовы. Будем называть М и ~И, определенные так, эрмитовой и антиэрмитовой частями оператора Ь. Оператор-матрица в пространстве Е„будет эрмитовым, если Х„= Х,*„. Отсюда, в частности, следует, что диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны. Для интегральных операторов условием эрмитовости будет равенство ь'(х,Р) = ьЯ,ж). Произведение эрмитовых операторов будет эрмитовым оператором только тогда, когда операторы коммутируют: У+ = (МЬ)+ = Х,+М+ = ЬМ.

9. Определение 9. Если для оператора Ь и функции ц~ ЦЦ ф 0) выполняется соотношение Хлр = Ху, (1.8) где Х вЂ” комплексное число, то ~~ называется собственной фулщией, а Х вЂ” собственным значением оператора Х. Если множество собственных функций не более чем счетно, то собственную функцию у„, соответствующую собственному значению Х„, будем обозначать как ~п). В дальнейшем мы часто будем использовать сокращения и писать СФ вместо «собственная функция» и СЗ вместо «собственное значение». Собственные значения эрмитовых операторов действительны: Хч =~ ч (пЩп) = Х (п~п) = ((п~Х ~ ~п))* = Х„(п~п), Х„= Х*„.

Собственные функции эрмитового оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны: Ху„=Х ~р„, Ху =~ у (т~.Цп) = Х„(т~п), (1.9) (т~Х+~п) = ((пДт))* = Х„,(т~п). (1.10) Левые части выражений (1.9) и (1.10) равны. Приравнивая правые части, получаем (Х вЂ” Х ) (т~п) =О. (1.11) Так как по условию Х ф Х, то (т~п) = О, что и требовалось доказать. Введение Для оператора Р (1.1), например, собственными функциями в пространстве Ь являются четные (Х = 1) и нечетные (Х = — 1) функции.

Выполнение равенства (1.11) для СЗ оператора очевидно. 10. О п р е д е л е н и е 10. Если собственному значению Хь оператора Ь соответствует более одной собственной функции, то собственное значение Хь называется вырожденным, а число д различных линейно независимых собственных функций щь называется кратпостью вырождения. Собственные функции у„, соответствующие вырожденному значению Хь, могут быть взаимно не ортогональны, Линейные комбинации К д„= ~ а„щ з=1 также будут собственными функциями Ь, относящимися к значению Х„. Если кратность вырождения конечна (или счетна), то система функций ~р„может быть сделана ортогональной.

Положим 'Р1 = Ч1> 92 Ч1 + а2292~ где азз определится из условия ортогональности (р~ Ы = 0 = (Ч~ Ы + азз(ч~ [Чз>, откуда азз = (ч!ч ) предполагается, что норма ~~у~Ц конечна, (у~~ц~з> ф О. Аналогично, полагая Чз = Ч~ + аззЧьз + аззЧз получим систему из двух линейных уравнений для коэффициен- тов азз, азз. Такая процедура, называемая ортогонализацией по Шмидту, может быть продолжена для всех значений и до и = д. Ортогональную систему функций ~р; для вырожденного собствен- ного значения мы будем называть правильной. 11. Определение 11. Оператор У называется унитарным, если он сопряжен своему обратному оператору: л~+ = и+и = т. Собственные значения унитарных операторов по модулю равны единице: Йч> =Ж, (чФ'Йч> = ~(Мб'!М = ~*(ч М>, ~~~э р ~2 Глава 1 Произведение унитарных операторов И~ = УУ также будет унитарным оператором: 1 й~+ = Р+б+, й +й~ = Р+б+ОР = Р+Р = 1.

Определение 12. Пусть У вЂ” унитарный оператор. Преобра- зование, при котором функции у сопоставляется функция ~Р = У+у, а оператору Х вЂ” оператор 1 = У+ХУ, называется унитарным пре- образованием (У1. Унитарное преобразование обладает следующими свойствами: а) сохраняет коммутационные соотношения: ~Х,м~ =Й, Ю+ЬМУ вЂ” Б+МИ1 = Ю+И11 = й, О+~ь,м~б = (О+ХО)(О+мб) — (О+мб)Я+ХО) =1 - йХ, ~1,т~ = й; б) сохраняет эрмитовость операторов; пусть 1+ = Х. Тогда Я+ХО)+ б+Х+б++ б+Х+б ~+ 1+=1:, в) сохраняет собственные значения: ~Р=~,Р, У+Ау = ХУ+у, (О+ХО)(О+ Р) = хф+ Р), Еар = ЬР; г) сохраняет скалярное произведение и матричные элементы: (Ч~114Ч~2) (Ч11~1~1 "Ь~1~1 М2) (~Р11~1 ЬИ~Р2) (~Р1111~Р2). 12. Оператор 1' называется ограниченным, если существует такое число С, что для функции 1 Е л~ такой, что 111 11 = 1, 11ху11 < с.

Значения параметра Х, для которых оператор (1 — ЬХ) ~ существует, определен всюду в Ь и ограничен, называются регулярными точками 14 Глава 3 13. Операторы, используемые в квантовой механике, обладают полными системами собственных функций. Для эрмитовых операторов с дискретным спектром в классе 12 это означает, что любая функция Дх) Е 1Р может быть представлена в виде разложения по собственным функциям»~„оператора А: Дх) = ~~~ а ц~„(х), (1.12) о=1 где коэффициенты в разложении определяются формулой а„= Дх)»р„(х) дх. (1.13) Так как собственные функции»р(х) определены формулой (1.8) с точностью до постоянного комплексного множителя, для однозначности разложения потребуем нормированности собственных функций на единицу: !!Ч„1! =1.

(1.14) Если среди собственных значений оператора Х есть вырожденные, то мы будем предполагать, что в систему ~с„включены правильные собственные функции: (»р~,у„) = (т~и) = б,„ для любых т и п. Такую систему будем называть ортонормированной. Из равенства х(*) = Кф(»)ч."(»)ж)ч.<*) = ~(К~."й)ч.(*))и)'» о=1 и=1 а = 1" (х) у„*(х) дх следует, что выражение ,'~,~:(1) Ч.(х) = йх- ~) и можно рассматривать как ядро единичного оператора (о-функцию Дирака). Если эрмитов интегральный оператор обладает полной системой функций дискретного спектра у„, то в силу соотношений (1.12), (1.13) его ядро может быть представлено в виде х (х, Р,) = ~ х1»р,' (Ц) цк;(х). ю=1 14.

Пусть Ь вЂ” оператор на 1Р с полной системой собственных функций»~„. Последовательность чисел Введение однозначно определяет, вследствие (1.12), функцию Х(х). Поэтому можно считать сам набор а„видом исходной функции Дх) в представлении Х. Пусть М вЂ” некоторый оператор на Ь~. Тогда МДх) = ,'» а„Му„(х), Му„(х) = Му~(п,х) = » М у(т,х), М „= у' (х)М~~„(х) сЬ.

Эта матрица определяет вид оператора М в дискретном Ь-пред- ставлении: МХ (х) = ~» а„ ~ М „цк (х) = ~~) у, (х) » М а МХ (х) = ~~» а ф (х), т а =~~~ М „а. Можно сказать, что переход от функции ~(х) (функции в х-представле- нии) к набору чисел а„(функции в Ь-представлении) есть результат действия унитарного оператора ХХ+, определенного условиями а„= О+~(х) = у'„(х) Х(х) Нх, Дх) = ХХа„= ~~» а„~р„(х) . Легко проверить унитарность оператора ХХ+: ~у (и,, х) у* (т, х) дх = Ш3+ = Х = б„ Матрица оператора Х в своем собственном представлении диагональна: Х „= Ч' (х)ХЧ„(х) ах=Л Ь „. Для определения матричных элементов необходимо найти собствен- ные функции и собственные значения оператора Х.

Если они извест- ны, то оператор Х приведен к диагональному виду, 15. Пусть д„(х) — полная ортонормированная система собствен- ных функций оператора Х. Функции д„(х) могут быть разложены Глава 1 по СФ оператора Х: д„(ж) = ~~) А„~у (х). Из условия ортонормированности системы следует: ~ [~А'„„у'„(х)] [~ А; у;(х)~нх = = ~ А~А; ~ р~(и) р;(х) дх = е,й = ~~) А~„А; Ь;ь = Я А~„Аь = Ь„ в,й й Это условие означает, что матрица А„унитарна: АА+ = Х. Таким образом, переход от дискретного Х -представления к дискретному К-представлению есть унитарное преобразование, задаваемое оператором-матрицей А. Поскольку унитарное преобразование не меняет собственных значений, то в принципе дискретный спектр любого оператора Х можно найти следующим способом.

Взяв произвольную полную систему функций (например, функции Эрмита, см. п. З.б), вычислить матричные элементы Ь, „= у' (х) Х~„(х) сЬ = (тЩо~ и подобрать унитарную матрицу Аы такую, чтобы унитарное преобразование приводило к диагональной матрице. Тогда элементы 1 = Х и будут собственными значениями оператора Х. Однако всякая полная в Ьз система функций Ч~„~ж) содержит бесконечное число функций. Это означает, что все преобразования придется проводить с матрицами бесконечного порядка. Этот способ не всегда является лучшим. Кроме того, в изложенном виде метод неприменим для отыскания непрерывного спектра: очевидно, число собственных состояний любой матрицы Ь „счетно.

17 Введение (1.16) а(Х) = а Ь) Ч Ол., х) Ч* Р, х) 4а с1х = а (р) др у (р, х) ~* (К х) Йх, т. е. чЬ,1) ч'(х,1М=Б(и — ~). Функции ~(х) и а(А) дают два равноценных способа описания. Переход от Дх) к а(Х) можно представить как результат действия унитарного оператора У+, ядро которого в интегральной форме имеет вид У+ (Х,х) = Ч/*(Х,х). 2 П.В.

Елютин, В.Д. Кривченков 1 6. Эрмитовы операторы с непрерывным спектром не имеют в классе 1Р полной ортонормированной системы собственных функций. Однако собственные функции у(Х, х) оператора Х с непрерывным спектром могут быть выбраны так, что будут выполняться соотношения, аналогичные (1.12) и (1.13). А именно, для любой функции У(х) из 1Р будет определена функция а(Х) = Дх)у' (Х, х) <Ь, (1,15) принадлежащая 1. и такая, что ~(х) = а(Х) у(Х,х) ИХ. Интегрирование по Х всюду ведется по всему непрерывному спектру. Функцию а(Х), как и в п. 1.14, будем называть функцией ~(х) в Х- представлении.

Как и в случае дискретного спектра, функции у(Х, х) определены соотношением (1.8) лишь с точностью до постоянного комплексного множителя. Модуль этого множителя определяется условиями (1.15), (1.16). Так как ~(х) = ц~(Х,х) ~В ~(~) ~~'~,,1) Ж = ~ Я) ~Ц ~у* (Х, ~) ~у (Х, х) дХ, то функции„удовлетворяющие условиям (1.15), (1.16), называются нормированными на Ь-функцию: ~р* (Х,~) у(Х,х) сЕ = Ь(х — ~). Аналогично, при подстановке (1.16) в (1.15) получим Глава 1 Ядро сопряженного оператора О имеет вид У(Л,х) = ~у(Л,х). Легко проверить, что такой оператор У унитарен.

При унитарном преобразовании оператор М преобразуется в У+МО; такой вид преобразования можно получить и непосредственно: М~(х) = а(Л)Му(х, ЛЩ Мъу(х, Ц = М(Л, Л')~~(х, Л')сР.'. Здесь ядро М(Л, Л') определяется соотношениями М(Л,Л') = ц'(х,Л)Му(х,Л')йх, М~(х) = а(Л)сй М(Л, Л')а~(х, Л')ко' = а'(Л)~у(х, Л)Ю, а'(Л) = М(Л', Л)а(Л')сб~'. Итак, М (Л, Л') = У+(Л, х)МЮ(Л', х) сЬ.