П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам

УДК 530.145 ББК 530.1 Е59 ЕЛ1ОТИН П. В., КРИВЧЕНКОВ В. Д. Квантовая механика (с задачами)/ Под ред. Н. Н. Боголюбова; изд. 2-е, перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ; УНЦ довузовского образования МГУ, 2001. — 304 с. — 1БВХ 5-9221-0077-7.

© УНЦ довузовского образования МГУ 2001 1ЯВМ 5-9221-0077-7 Изложены физические основы и математический аппарат нерелятивистской квантовой механики. Большое внимание уделено методам вычислений, в особенности приближенным. Кроме большого числа примеров в тексте, в книгу включено свыше 200 задач, предназначенных для самостоятельного решения. Для студентов физических факультетов университетов. Ил. 47. Библиогр. 19 назв.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию Глава первая Введение Глава вторая Основные положения Глава третья Одномерное движение . Глава четвертая Момент . Глава пятая Центральное поле . Глава шестая Теория возмущений и вариационный метод Глава седьмая Квазиклассическое приближение . Глава восьмая Электрическое поле .

Глава девятая Рассеяние . Глава десятая Релятивистские поправки Глава одиннадцатая Переходы Глава двенадцапии Магнитное поле . Глава тринадцатая Тождественные частицы . Глава четырнадцатая Атом Глава пятнадцатая Двухатомная молекула . Глава шестнадцатая Взаимодействие с электромагнитным полем Некоторые обозначения Примечания Предметный указатель 24 59 117 134 147 190 211 223 238 261 269 294 295 299 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Предлагаемая книга является учебным пособием для студентов физических факультетов высших учебных заведений. В ней излагаются основы физических представлений и математического аппарата нерелятивистской квантовой механики.

Особенностью этой книги и ее безусловным достоинством является краткость, достигнутая авторами не за счет упрощений, а благодаря лаконичности изложения, которая позволила осветить весь круг вопросов университетской программы в сравнительно небольшом объеме. Такой характер изложения, естественно, требует от читателя определенных усилий и сосредоточенности. Книга является не самоучителем, не энциклопедией, а учебником, рассчитанным на то, что приступивший к его изучению уже знаком с рядом физических курсов, в частности, с курсом атомной физики, содержащим большой фактический материал.

По той же причине авторы не затрагивают вопросов, относящихся собственно к специальным курсам. Достоинством книги является также логичный и последовательный характер изложения на основе сформулированных в явном виде положений и правил. Физически строгое изложение использует во всех случаях только математический аппарат, известный студентам. Большое внимание в книге уделяется методам вычислений, в частности приближенным методам (теории возмущений, вариационному методу, методу ВКБ), не только схемам их использования, но и обсуждению условий применимости.

Важным преимуществом данной книги является наличие в ней, кроме большого числа примеров в тексте, свыше двухсот задач, которые представляют значительный методический интерес при условии самостоятельного решения их читателями. Степень трудности задач соответствует возможностям студентов, Оригинальный и умелый методический подход авторов к широкому кругу вопросов делает эту книгу, безусловно, весьма полезной для изучения основ квантовой механики, Н.Н.

Боголюбов 4 июля 1975 г. Глаеа 1 ВВЕДЕНИЕ О. Одной из первых задач квантовой теории было объяснение того экспериментального факта, что наблюдаемые разности энергий атомов принимают дискретное множество значений. Математический аппарат, пригЬдный для получения дискретных величин как функций параметров.(таких, как заряд и масса элементарных частиц), можно строить различным образом.

1. Можно потребовать, чтобы наблюдаемы были только такие значения энергий, при которых некоторый функционал от параметров и наблюдаемых принимает значения из данного дискретного набора. 2. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые определялись корнями некоторого уравнения, коэффициенты которого зависят от параметров.

3. Можно потребовать, чтобы наблюдаемые были собственными значениями некоторого дифференциального оператора, коэффициенты которого зависят от параметров. Фактически в квантовой теории были использованы все три подхода. Первый лег в основу старой квантовой теории Бора (1913 г.). Второй был использован Гайзенбергом (1925 г.) при построении матричной механики. Третий был применен Шредингером (1926 г.) для создания волновой механики. Методы Гайзенберга и Шредингера лежат в основе современной квантовой механики, аппарат которой основан на использовании линейных операторов в гильбертовом пространстве *' . 1.

Определение 1. Пусть д~ и Я вЂ” линейные множества. Оператор Ь, преобразующий элементы множества Ы в элементы множества Я, называется линейным, если для любых элементов 1" и д из л~ и комплексных чисел а и р справедливо равенство Х(ау+В) =а~+Йа Множество л~ называется областью определения оператора. В дальнейшем мы чаще всего будем рассматривать различные множества функций действительной переменной. Поэтому элементы множеств л~ и Я будем называть функциями. 1 Здесь и далее звездочка в тексте отсылает читателя к примечаниям в конце книги. Определение 2. Произведение операторов ХМ обозначает оператор, действие которого на функцию Ч заключается в последовательном действии оператора М на ~р, а затем оператора А на ~р = Мцг.

В общем случае в произведении операторов существен их порядок: ~Миф М~,~, т. е. умножение операторов некоммутативно. Определение 3. Оператор '1А,В~ = А — ВА называется коммутатором операторов А и В. Если произведение ' операторов не зависит от их порядка (1А, В~ = 0), то операторы называются коммутирующими. Определение 4. Оператор Х называется единичным, если для любой функции ~ Определение 5. Оператор М ~ называетсяобраипымоператору М, если (ММ ~)ц~ = (М ~М)~р = у. Можно показать, что если М = ЬИ, то М 1 = Л 1Ь 1. 2. Рассмотрим класс С всех непрерывных бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного х Е ( — оо,+ос).

Линейные операторы можно задавать, непосредственно указывая правило соответствия, например: фр(х) = ху, сйр(х) = ~, Рц(х) = цс( — х) . (1,1) Линейность этих операторов очевидна. Многие операторы можно представить в интегральной форме: +ОО Х~~ = Ь(х,1) ~~К) Н1 Функция Цх, Р) называется ядром интегрального оператора.

Ядро оператора Ж произведения интегральных операторов МЬ, если оно существует, есть Введение ~»'»»7» '»' д 'Р»»» 7 Е где матрица з „играет роль ядра. Набор чисел ~»„рассматривается как матрица с одним столбцом. Числа у„можйо рассматривать как компоненты вектора в л-мерном комплексном евклидовом пространстве Е„. Набор я»„мы будем называть вектором. Компоненты матрицы единичного оператора 1 определяются символом Кронекера Ьн,.

Матрица оператора М произведения операторов — матриц Ь и Ф вЂ” есть М»»» = ~» г'ейной»». 5. Определение б. Скалярным произведением функций ~(х) и фх) называется число У,а) = У*( )а(х) 1х (1.2) (звездочка означает комплексное сопряжение). Очевидно, скалярное произведение конечно не для любых функций из С . В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением класса 1Р( — оо, +ос) функций, интегрируемых с квадратом на действительной прямой *. Величина ы =ЛХл (1.3) называется нормой функции.

Если (1", д) = О, то говорят, что функции ~ и д ортогональны. Определенное таким образом скалярное В дальнейшем мы будем опускать обозначения пределов интегрирования, если интегрирование ведется по всей оси. 3. Пусть ~р(х) непрерывная функция. Ядро единичного оператора, записанного в интегральной форме, называется Ь-фупкцией Дирака *: Х~у(х) = Ь(х — Р,) ~у(~) с1~ = у(х). С помощью Ь-функции можно представить в интегральной форме многие линейные операторы. Например, ядро Я(х, ~) оператора а, определенного первой из формул (1.1), можно представить как Р, Ь(х — с).

4. Если независимая переменная принимает счетное множество значений, то в качестве аргумента функции можно рассматривать номера этих значений. Обозначим ц»(х ) = ~(и) = у . Аналогом интегральной формы операторов для таких функций будет матричная форма: булава 1 (1.5) произведение обладает свойствами Р+~' ) =У )+(Г' ) (Ли+а') = (У а)+ (Ы) (1.4) У,аа) =а(У а) (аУ,а) = а'(У,а), где а — любое комплексное число, Множество функций 1Р, на котором определены скалярное про- изведение (1.2) и норма (1.3), является гильбертовым пространством. б. Скалярное произведение для векторов ~„пространства Е„ определим соотношением (чл) =,),ч'.р. = (чьей" Можно рассматривать это выражение как матричное произведение вектор-строки (у! с компонентами у*„на вектор-столбец ф с компо- нентами ~р„.

При этом входящие в скалярное произведение векторы принадлежат разным пространствам: Е'„' (строки) и Е'„(столбцы). Очевидно, что соответствие между векторами этих пространств вза- имно однозначно. Такие же обозначения можно ввести и в пространстве 1 ~, Функ- цию у(х) можно рассматривать как вектор ~у>, которому соответ- ствует вектор из сопряженного пространства (у! = ~у'(х). Произведение (Дф есть, по определению, число. Произведение !Д Я понимается как оператор, который вектору !Ч~) ставит в соот- ветствие вектор !Л(Ич> = Иа! ч)) !Л. Из соотношений (1.4) следует линейность такого оператора.

Чис- ло (ЯЦд> называется матричным элементом оператора Е между функциями ~ и д. 7. Определение 7. Если для любых функций у и ~р выполня- ется соотношение (МХ1Р) = ((ч!Х'! ч))' то оператор Ь+ называется сопряженным оператору Х. Отметим следующие свойства сопряженных операторов: (МХ! Р) = ((р! Х'М>)' = ((М(Х')'! й)** = (ч1Х++1 р), (Х') =Х (МаХ!ч> = (а(ч1Х 1ч>)' = а*(ч! Х+!ч), (аХ)+ = а*Х+. Введение Для операторов-матриц в пространстве Е„имеем (ч1Х1 й = ~~ ч' ~' ч., ПЪ,О ((ч!Х+М))* =',>, р х+:ч.'.