П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Диагональный матричный элемент (<р~ Ь ~~р) мы будем называть также средним значением величины Ь в состоянии ~р. 3. Дифференцирование по оператору в А5 понимается как предельный переход: ои,ц . ~(ь+ й) — ~(ь) .'+. Е Для операторов, определенных в п. 2.1, операции дифференцирования и интегрирования по операторам х; и рь имеют смысл, К любой классической величине Ь(х,, рь) можно, не изменив ее значения, добавить выражение вида р;хь — хьр;.
(2.2) При сопоставлении оператора величине Ь, такие выпажения могут стать и отличными от нуля. Дифференцируя (2.2) по хь, получаем — фхь — хьр;) = р;1 — 1р; = О. (2.3) Их~ Поскольку все производные оператора (2.2) по х; и р~, обращаются в нуль, то он должен быть константой: р;хь — хьр; = соив$, Величина этой константы и определяется в Аб, 4. Найдем явный вид операторов р1, рз, рз, если аргументами волновых функций являются декартовы координаты х;. Начнем с цепочки равенств: р; х; — х; р; = (р; х; — х;р;) х;+ х; (р; х; — х;р;) = — Ю 2х;.
В соответствии с А4 это означает, что квадраты модулей коэффициентов а„в разложении волновой функции ~р по у„определяют вероятность наблюдения значения Х„. Если спектр Х непрерывен, то Основные положения Легко показать по индукции, что р; х,"- — х," р; = — Ип,х,". Поэтому для всех функций, разложимых в степенной ряд, р;ц~(х) — ~(х) р; = — гй —. дх, Подействуем оператором р; на у(х1, х2, хз) = 1: Р> >Р Л(х1) х2) хз).
Используя (2.4), получаем (2.4) р1у = — И вЂ” + ~1у дц) дх1 и аналогичные соотношения для осей х2.и хз. Используя коммутационные соотношения ~р;,рь] = О, получаем дЬ дУ, дУ, ОЬ ОЬ ау. дх1 дх2 дхр дхз дхз дх1 Эти соотношения выполняются, если дР У1 =— дх) дГ У2 > дх2 дГ Уз= — > дх У+ = ехр -Р, р, = ехр — 'à — И вЂ” + — ехр — — 'Р = — г'й —. Итак, найден явный вид операторов р; для функций, аргументами которых являются декартовы координаты х;: р; = — И вЂ”. (2.5) дх; Компоненты оператора импульса образуют вектор импульса р = — ай~7. где Р(х1, х2, хз) — гладкая функция своих аргументов. Итак, д дГ р; = — И вЂ” + —.
дх; дх; Произвольную функцию Е можно исключить с помощью унитарного преобразования 28 Гпава 2 5. Произвольную волновую функцию у(х) из 1.2, зависящую от координаты, можно представить в виде у(х) = б(х — ~) ~~(~) сЩ и рассматривать это выражение как разложение у(х) по СФ оператора координаты хЬ(х — Р) = ~б(х — с). Следовательно, согласно п. 2.2„величина ~у(х) ~2 есть плотность вероятности координаты в состоянии Ч~(х).
Отсюда ясен и смысл нормирования волновой функции: ~~„~~2 ~ ( )~2 Система, описываемая такой функцией ~~(х), с достоверностью находится в какой-то области пространства. Оператор компоненты импульса р в х-представлении имеет вид д р = — гй —. д* Собственные функции компоненты импульса определяются из уравнения ,.„д, д (2.б) дх' Чг(ж;) = А ехр (-' р;т;) . Найдем нормировочный коэффициент А, Известные выражения для прямого и обратного преобразований Фурье имеют вид ДЙ) = д(х) е~ *Йх, фх) = — ДЙ) е' *сУс. Сравнивая эти выражения с (1.15), (1.1б), получаем А=— ~2й Из формулы (1.15) следует, что собственные функции оператора импульса образуют полную (для функций из Ь2) систему у(х) = а(р) ехр — др, а(р) = — д(х) ехр — — ах.
Эти формулы устанавливают связь между х- и р-представлениями. Осн0вные положения 29 б. Рассмотрим р-представление. Явный вид операторов р; и хь может быть, разумеется„найден из коммутационных соотношений, как и в п, 2.4. Но мы воспользуемся общими соотношениями, полученными в и. 1.1б. Ядро оператора х в р-представлении х(р, ~3) = 0~хУ = — ехр — — х ехр — сЪ = — ехр — — — Ю вЂ” ехр — ах. Рассмотрим действие х на функцию а(р) из Ь2: х(р, ~3)а(р) ф = — — ехр — — — ехр — ' а03) сЬ ~ц3 = — ~~ехр — '~* ~~ ехр '~* 1х ~~3 = г11~~®.
2к ~,1 Ь д~3 й др Оператор импульса в р-представлении задается ядром: р(р, ~3) = 0~рБ = — ехр — — '" — Ю вЂ” ехр — дх = — ехр — '— ~3 ехр — ' сЬ = ~36(р — 13), ра(р) = ра(р). В заключение отметим, что операторы х и р эрмитовы на функциях Дх) из 1.~, но не эрмитовы на своих собственных функциях. В самом деле, пусть р а(р) = роа(р) и х = х+, р = р+.
Тогда (а~рх~а) — (а~хр ~а) = — гй(а~а), ро ((аДа) — (афа)) = — зй (а~а). (2.7) Левая часть последнего выражения равна нулю, правая бесконечна. Этот результат является следствием одних только коммутационных соотношений. 7. Уравнение движения для матричных элементов А5 допускает различные интерпретации. В выражении — „,(Л4И мы можем считать зависимость от времени отнесенной полностью к волновым функциям или полностью к операторам. а) Рассмотрим описание с помощью операторов, зависящих от времени. Основные положения 31 Так, гамильтониан частицы во внешнем поле с потенциалом У(Ж1,:в2, Жз) ЕСТЬ Я = ехр — — Н$ (2,12) Обозначим волновую функцию и оператор в представлении Гайзенберга ~ и Ь, а в представлении Шредингера — ~с и Л: ч=~+У (2.13) л = я+Хам.
(2.14) Так как 1. по определению от времени не зависит, то дифференцируя (2.13), получим — = — ~=--Йя у=--й~, д~ д(Я+) >, + й д1 а К а что совпадает с уравнением Шредингера. Дифференцируя по времени равенство Х = Злй+, получим — = — ЛЯ+ + ЯЛ вЂ” = — 'НЯНЯ+ — -'ЯЛЯ+Н, аь (Й ц что совпадает с уравнениями Гайзенберга. Уравнение (2.15) можно записать в виде — = -„'~~й,лф+. Величина Ь называется интегралом двилсения, если — "(ц1Х|р) =о. 2 + ~(~1> ~2> ~3) ° 2т В координатном представлении Н имеет вид Ла ~-1 + ~(~1 > ~2 > ~3) > 2т где Ь вЂ” оператор Лапласа.
8. Уравнения А5 справедливы как в представлении Гайзенберга, так и в представлении Шредингера. Поэтому математические ожидания значений наблюдаемых в этих представлениях совпадают. Должно существовать унитарное преобразование, переводящее одно представление в другое. Такое преобразование осуществляется оператором 32 Глава 2 Интеграл движения удовлетворяет двум эквивалентным условиям (соответствующий оператор — и в шредингеровском, и в гайзенбер- говском представлениях — коммутирует с гамилътонианом): [Й,Х] = [Й,Л] = О. 9. Если функция Гамильтона системы не зависит от времени, то состояния, описываемые собственными функциями гамильтониа- на Н, называются стационарными состояниями, а множество соб- ственных значений Н вЂ” энергетическим спектрам.
Для стационар- ных состояний уравнение Шредингера имеет вид И вЂ”" = Е„у„= Н~ц. (2.16) Интегрирование по времени непосредственно дает временную зави- симость волновых функций стационарных состояний р„(Ф,х) = ехр ( — Я„1) д„(х), где д„(х) — функция одних толью юординат. Распределение веро- ятности зависит от квадрата модуля волновой функции: р(х) = ~ц~„(й,х)~ = ~<р„(х)~ (2.17) и остается во времени постоянным.
В стационарных состояниях дис- кретного спектра среднее значение юммутатора [Й, А], где А— любой оператор, обращается в нуль: (п~НА — АН~п) = Е„(п~А~п) — Е„(п)А~и) = О. Пусть Н вЂ” гамильтониан частицы в поле У(г), а А — оператор И~, определенный формулой (2.1). Тогда (у~ [Н, А] ~у) = О = — гй(2(ц~~Т~~у) — (у~г ° ~7Ццс)). Первый член в сюбках есть удвоенное значение средней кинетиче- ской энергии Т. Если У(т) = бог", то второй член в скобке есть просто пО.
Таким образом, Т = "— У. (2.18) г Соотношение (2.18) называется теоремой ви~паиа. Приведем еще одно соотношение для стационарных состояний частицы с гамильтонианом Н (2.11). Из (2.9) следует, что [г,Н] = — р. Глава 2 получим уравнение — = — 1 й~ — (Ч~д7у' — Ч'~7у) д~. (И 1 2т й Преобразуя объемный интеграл в поверхностный по теореме Гаусса, получаем — — (ЧЛ7Ч' — Чг'~7у) сЫ.
Ю ~ 2т е(й) (2.22) Величина 2т называется илоиностью лотока вероятности. Уравнение (2.22) имеет смысл уравнения непрерывности. В дифференциальной форме оно имеет вид Н(г+а) = Н(г), (2.23) то должен существовать унитарный оператор Т(а) такой, что Т(а)Н(г)Т+(а) = Н(г+ а). Поскольку последовательные переносы коммутируют: Т(а)Т(Ь) = Т(Ь)Т(а) = Т(а+ Ь), то оператор Т должен иметь вид Т = ехр(гКа), Р +Д1~1 Р Нр ар Уравнение непрерывности означает, что вероятность нахождения частицы в объеме Й может измениться только за счет перехода частицы через границу объема: УШ с гамильтонианом (2.11) не описывает источников (и стоков) частиц. Если ВФ имеет вид у(х) = АВ(х), где В(х) — действительная функция, а А — комплексная константа, то 3(Ч~) = О. Для собственных функций импульса р(х) =,, ехр (-рх) плотность потока вероятности ® (2 )3 пропорциональна импульсу и не зависит от координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
