П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 9

Исследовать ее положение и ширину в зависимости от параметра Я вЂ” в частности, при Я » 1. В предыдущих задачах и в тексте мы рассматривали решение УШ исключительно в координатном представлении. Это объясняется типичной структурой гамильтониана й(р, х): кинетическая энергия квадратична по импульсам, и при любом виде О(х) мы получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка. Напротив, потенциальная энергия О(ж) содержит, в общем случае, произвольно высокие степени я, что при переходе в импульсное представление приводит к дифференциальным уравнениям высокого (или неограниченного) порядка. В общем случае УШ в импульсном представлении может быть записано как интегральное уравнение.

Решение этого уравнения в явном виде тоже возможно лишь в небольшом числе случаев. 20. Найти нормированные ВФ стационарных состояний в импульсном представлении для частицы в однородном поле. 21. Найти спектр частицы в поле У(х) = 0 (х < 0), У(х) = — — (х > 0), решая задачу в импульсном представлении. 22. Найти спектр частицы в поле У(х) = — дб (х), решая задачу в импульсном представлении.

Гпава 4 О. Для построения явного вида оператора момента импульса мы могли бы воспользоваться правилами сопоставления, изложенными в п, 2.1. Однако в квантовой механике угловой момент не есть, вообще говоря, оператор, выражающийся только через х; и рь и действующий только на функции координат. Поэтому мы вначале установим коммутационные соотношения между компонентами оператора момента. Для этого мы используем связь между операторами проекций момента и унитарными операторами, осуществляющими преобразование поворота системы координат. Эти коммутационные соотношения справедливы как для оператора орбитального момента, выражающегося через х; и рь так и для спинового момента, не имеющего классического аналога.

Затем на основе коммутационных соотношений мы найдем спектр оператора момента и его явный вид в различных представлениях. 1. Пусть в каждой точке «неподвижного» пространства определена некоторая функция ~с(х, у, а). Рассмотрим две декартовых системы координат Е, Е', Система Е' получена из Е путем поворота вокруг оси я на угол ~р. Сравним значение рассматриваемой функции в двух точках «неподвижного» пространства, координаты которых в системах Е и Е' имеют одно и то же значение (х, у, л). Под «неподдижным» пространством мы понимаем некоторую систему координат, отличную от Е и Е'.

Обозначим через у'(х, у, ~) и Ч(х, у, а) значения функции в системах Е' и Е соответственно. Очевидно, что у'(х, у, л) = Чс(хсовд — увш~р,хяшд+ усовд, я). (4.1) Так как выбор системы координат не меняет нормировки ВФ, то преобразование функций осуществляется унитарным оператором. Для того чтобы установить вид оператора У+(д), который функции у(х, у, я) ставит в соответствие функцию у'(х, у, я), рассмотрим бесконечно малый поворот на угол й~. Сохраняя в (4.1) только линейные по Й~ члены, имеем у'(х,у,~) =Ч~(х — уйр,хй~+у,~) = (1+Я,,йр)у(х,у,л). Здесь введено обозначение Т =Ь (хр~ — ур ), которое соответствует оператору л-проекции момента импульса, построенного по правилам п.

2.1 и деленному на Ь. Легко убедиться, бО Глава 4 что при повороте на конечный угол д получим ц/(х, у, л) = е"~Чс(х, у, л). У+(<р) = е' '~. Таким образом, 2. Рассмотрим некоторый векторный оператор А, действующий на функции координат '~~(х, у, я). Потребуем, чтобы компоненты А, А„, А, имели один и тот же вид в системах Е' и Е. Разумеется, средние значения оператора А, вычисленные в системах Е', Е, должны совпадать, если рассматривать их из анеподвижного» пространства: Г у"(х,у,л)(А 1'+ А„.]'+ А,й')Ч~(х,у,л) Иг = (4.5) у'(х, у, а)(А 1+ А„д + А,1с)ф(х, у, я) дг. (4.3) Рассмотрим следствие этого равенства.

Поскольку орты систем Е, Е' связаны соотношениями 1' =1сояд+1аш~р, 1 = — 1аш~р+1сояд, (4.4) к' = к, а функции ~р'(х, у, ~) и у(х, у, л) связаны унитарным преобразовани- ем (4.2), то подставляя (4.2) и (4.4) в (4.3), получим е'~'~А е '~''Р = А соа<р — А яшар, еп'~Аде '~'~ = А вша+ А соад, еп*"А,е н'~ = А,. Рассмотрим бесконечно малый поворот и раскладывая левые части равенств (4.5), находим коммутационные соотношения Т,А = аАц, Т, А„= — гА, (4.б) [Т,А,] =О.

Аналогичным путем можно получить коммутационные соотношения между компонентами А, Ая, А, и операторами У~, Гц. 3. Итак, мы получили коммутационные соотношения (4.6), осно- вываясь на следующих требованиях: а) ВФ при переходе от Е к Е' преобразуются согласно (4.2); 61 б) компоненты векторного оператора А,, Ая, А, имеют один и тот же вид в различных системах Е, Е'; в) векторы среднего значения векторного оператора А в системах Е и Е' совпадают для наблюдателя в «неподвижном» пространстве. Можно перейти к другому представлению, в котором координатная ВФ при переходе от Е к Е' не меняется, а сами векторные операторы преобразуются как векторы.

Переход к такому представлению в случае поворота на угол ~р вокруг оси л осуществляется оператором О(д): е ' ~Ч/~х,у,л) = д(х,р,я) При этом или, используя формулы (4.5), А' = А соя <р + Ад аш <р = е и*~А е'~'~, А~, = -А,вш~+Ацсоад = е-*~"А„е' А', = А,, = е и'"А,е'~*ф. Разумеется, переход к новому представлению осуществляется уни- тарным оператором, поэтому коммутационные соотношения (4.6) не изменяются.

Такое представление удобно для нахождения интегра- лов движения. Заметим, что оператор А~ есть инвариант по отноше- нию к поворотам: ,-~~. ~Аз п.0 А~я Аз Следовательно, ГЕ;, А 1 = О. (4.7) Если оператор Гамильтона имеет вид Н= ~' +У(г), 2тп то при вращении вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат, он сохраняет свой вид. Следовательно, Ю,Й1 =О, и операторы Ц являются интегралами движения.

Отметим, что представление, рассмотренное в п. 4.2, аналогично представлению Шредингера — используются инвариантные опера- торы и преобразующиеся функции, а представление, рассмотренное в п. 4.3, аналогично представлению Гайзенберга — используются инвариантные функции и преобразующиеся операторы. 62 Глава 4 4. Пусть А; суть компоненты векторного оператора, действующего на функции координат. Операторы 1;, удовлетворяющие комму- тационным соотношениям ~Ц,АД =й;;ьАь, (4.8) [1;>М = Ыоь1ь (4.9) где е;.ь — единичный антисимметричный тензор, называются компонентами оператора орбитального момента. Далее, из (4.7) следует: %,ХЧ =О.

(4.10) Разумеется, (4.10) можно получить и как непосредственное следствие из (4.9). Имея в виду дальнейшее обобщение, рассмотрим спектр векторного оператора момента,Х, компоненты которого удовлетворяют соотношениям [У;,.Хь~ = гад, .У;. Оператор квадрата момента,7~ коммутирует с каждой из его компонент. Следовательно, существует общая система СФ: 2 '7 '>~тн > '>'тн> >летн = 1~%нОператоры,7; и Уь (з ф 1с) не коммутируют и общей системы СФ не имеют. Найдем спектры операторов,72 и,У,.

Введем операторы Х+ = 7 +~~Хр .Х =,У вЂ” г.Уя. Рассмотрим коммутатор [.7„,7~): У У~- — 7+ У = [2 У ~ ~ г[7,7~~ = з 7,> ~ Х ,7,.7~ =,7~(.7, ~ 1), ~( ~ >тн) (~ )( ~ >тн)' Следовательно, .У-нтнтн суть также СФ .7, с собственным значением р~1,т.е. ~+ >'т,н — 1 Он'>'тн 7-Ч'гн = РнЛт, — 1. Так как с~к = (У+%т н-1> %тн) = Ьт,н-1> 7-%тн) = Вн> б3 Момент то подбором фазового множителя вида е' (а — действительное) для функций у, „можно сделать а„действительным и равным ~3„.

Тогда .7+Ч'ь -1 = ОЛю У-'~,„= ЪЧ,„.-1 (4.11) Так как .7 ~„=О,,У у„=О. Используя операторные равенства У У 72 72 У У У У2 72+ У действуя (4.12) на ц~ „и (4.13) на ц~~~, получаем у-л — л=о, у-х -х=о, 2 2 (Л вЂ” Х+ 1)(Л+ Х) = О. Так как по условию Л > Х, то Л = — Х =,У. (4.12) (4.13) Отсюда получаем у =,У(.7+ 1). При заданном'у проекция момента р принимает 2,7+ 1 отличающихся на единицу значений: от,У до —.У. Поэтому разность Л вЂ” Х = 2.7 должна быть целым числом, Таким образом, собственные значения проекции момента 7, (мы будем обозначать их буквой М) суть целые, М=й (1=0,~1,~2,...), или полуцелые, М = й+ 1/2 (й = О, ~1, =Е2,...

), числа. Заметим, что состояние с заданным у =,7(.7+ 1) вырождено с кратностью 2,У+ 1 по значениям проекции момента М. Это есть частный случай установленного в п. 1.18 правила: операторы .У; и,7ь коммутируют с .72, но не коммутируют между собой. Под 'у = (Ч „, ~У +.1'„+.У,~у „) = ц +а+6, (норма любой функции неотрицательна), то 'у~и . При фиксированном у значения р ограничены сверху и снизу.

Пусть Л и Х есть соответственно наибольшее и наименьшее значения р при заданном у: Глава 4 «состоянием с моментом,7» мы будем понимать состояние с у = = .У(.У + 1), в котором максимальное значение проекции момента есть .Х. Такие состояния будем обозначать ~~1М или ~.ХМ).