П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 11

Пусть Ф есть ВФ системы в некоторой декартовой системе Е. Найдем вероятности значений проекции спина на некоторое направление в пространстве, которое примем за ось ~' в системе Е'. Мы имеем два различных подхода к решению этой задачи. Вопервых, можно предположить, что компоненты спиновой функции Ф не меняются при переходе от Е к Е', а оператор я меняется как вектор.

В этом случае для того, чтобы определить вероятности значений проекции спина на ось я' в системе Е', надо найти нормированные СФ оператора вв, и разложить Ф по этим СФ. Квадраты модулей коэффициентов в разложении и дадут исюмие вероятности. Найдем унитарный оператор О+ (д) для поворота на угол ~р относительно оси ~.

В принятом представлении имеем ч — 1Хр вХу в = в сова+вдяш~р= е в е зв„= — в. вша+ в„сова = е "з~це' (4.34) в =в =е ' "в~е' ~. Рассматривая бесконечно малый поворот и учитывая коммутационные соотношения (4.30), найдем, что Ь = в,. Можно перейти к другому представлению. Потребуем, чтобы при переходе от Е к Е' вид операторов в; оставался неизменным, а компоненты спиновой функции изменялись. Переход к этому представлению есть унитарное преобразование У+Й'У' = я, (4.35) 71 явный вид оператора я, и свойство матриц Паули (4.33): 11. Произвольная система координат Е' может быть получена из Е последовательными поворотами на угол гр вокруг оси л, на угол 0 вокруг нового положения оси ж и на угол у вокруг нового положения оси л (рис. 12).

в Параметры д, 8, у' называются углами Эйлера. Поскольку вид операторов я; в вы- 0 бранном представлении одинаков во всех системах координат, матрицу преобразования можно найти простым последовательным перемножением матриц: ~/ х Р+(д,8,~) = Г,"(~)Р (8)Р,+(Ч). х Явный внд матрицы К+ (8) легко найти: Х1 соя(8/2) з яш(8/2) Рис. 12 х ( ) з яш(8/2) соя(0/2) Результирующая матрица имеет вид %+в з— соя-. е 2 е з'в1п — ° е 2 Р+(р,8Л) = (4.37) ° Ф У .е+ ю е е зяш — е з соя — е 2 2 Таким образом, при произвольном повороте системы координат .%+У ° Ч' Ф / в 1 — ° ° в в— ~/1 = ~У1 СОЯ вЂ” Е з + И~/2ЯШ вЂ” .

Е з 2 2 0 а— 0 9~ И~1ЯШ 'Е з +~Г2СОЯ вЂ” Е з 2 2 Повороту системы координат в трехмерном пространстве соответствует линейное преобразование в пространстве Е2 двухкомпонентных волновых функций. При преобразовании (4.37) остается инвариантной величина ' Обозначение Ч для угла не смешивать с обозначением волновой функции. (<р, ч ) = чг1гр2 — ч 2~р1. (4.38) Линейные преобразования, оставляющие инвариантной такую билинейную форму, называются бинарными. Двухкомпонентная величина, для которой поворот системы координат есть бинарное преобразование называется спинором первого ранга или просто спинором. Глава 4 12.

Рассмотрим спиновую ВФ системы двух частиц со спином 1/2. Общие СФ операторов;в' и,в, (индекс ~ = 1, 2 нумерует частицы) имеют вид 4-) = а 0 0 1 1 1 1 0 1+ — ) = 2 (4.39) 0 11 1 ~ †)= 02 1 — +) = 0 2 Функции (4.39) ортонормированы. В состоянии ~++) Я, = 1. Это состояние описывается СФ оператора = 1в + 21в2в + 2в . Докажем это: 5 ~++) = -!++) + 2 (гадж ' 2юж + 1зу 28р + 18~ 28л) ~++). 2 Во втором слагаемом в правой части отличный от нуля вклад дает лишь оператор тз, 2в„что легко проверить непосредственным вычислением. Итак, Я~~++) = 2~++) = 1(1+ 1) ~++).

Состояние ~++) есть состояние с Я = 1 и о = 1. (Выше оно обозначалось как ~1, 1).) Введем оператор ~ — = 1в-+2в— Г 1 у ~/с Поскольку ~Я, 82~ = О, состояния ~Я ~ ~1, 1) также будут описываться СФ оператора У: Я ~1,1) = Я ~++) = ~/2~+ — )+Я~ — +); в этом состоянии Я, = 0; из условия нормировки ~10)=~ ~Гг Введенные обозначения для СФ оператора проекции в, частицы со спином 1!2 мы будем использовать в дальнейшем.

Для описания системы двух частиц удобно использовать СФ оператора полного спина Б, определенного соотношением Я = ГВ+ 2В. Найдем нормированные общие СФ операторов о2 и Я,. Мы будем обозначать их как ф, а). Очевидно, такие функции будут линейными комбинациями произведений СФ операторов;в2 и,з,: 73 Далее, З [1,0)=[ — )+! — )= Р,-1). Нормируя, получаем !+ — ) — $ — +> (4.40) 4 я Легко убедиться в выполнении равенств ЯЦ~4=0, ЯУ4=0. 2 Следовательно, функция у4]0, 0) описывает состояние системы с полным спином, равным нулю. Состояние системы двух частиц со спином 1/2 и с полным спином Я = 0 называется синглетным, а трехкратно вырожденное по значению проекции Я, состояние с Я = 1 называется триилежным.

Из (4.38) следует, что ВФ состояния с Я = 0 остается инвариантной при поворотах осей, т. е. является скаляром. 13. Полный момент частицы,> складывается из ее орбитального и спинового моментов: .1 =1+и. Поскольку операторы 1 и в действуют в разных пространствах, они коммутируют. Поэтому выполняются соотношения [3;,3] = ацвр~, [дю,8 ] = О, [рю,8] =О.

(441) Из (4.41) следует, что существуют общие СФ операторов уз, у„1З. Найдем спектр проекций полного момента для частицы со спнном 8 = 1/2. Рассмотрим состояние с максимальной проекцией полного момента 1 = [1,1, +), (4.42) р,ф = (1 + 1/2) ф, у = 1+ 1/2. Введем оператор 0 0 1 0 (4.43) Учитывая (4.14), получаем .т щ = ~/21 [1,1 — 1, +) + ]1,1, — ). д 0 ]1 — ) =] — ). Существует еще одна линейно независимая от ] 1, 1), [1, 0) и [1, — 1) комбинация функций (4.39). Ее можно найти из условий ортонормированности: Глава 4 74 Значение проекции полного момента в этом состоянии 7', = (1 — 1) + 1/2 = 1 — 1/2.

Итак, оператору уменьшает наединицузначения проекции полного момента. В общем случае ь ~74 ! Д~Ъ вЂ” 1 Эта формула получается из разложения бинома, если учесть (см. (4.43)), что в2 и все высшие степени в тождественно равны нулю: 7'[г,1,+> =Р'[~,1,+)+жР'-'[1,г,-). Подставляя выражение для (г".

), найденное в п. 4.7, находим .У, [ ) (21)! 12! [ ~С ) (2!)! (!2 — 1)! (21-а)! ' ' (21-а+1)! Вводя антк, = 1 — й, получаем окончательно (2!)! (! — )К (4 + УП)! (8 — ти)!к,,т+ 1, — ). (4А4) Собственные значения проекции полного момента есть последовательность чисел, отличающихся на единицу, от 7' = 1 — 1/2 до 7 = = 1+ 1/2. Все построенные таким образом состояния принадлежат комужеСЗуо,чтои)1,1,4),поокопеку [у,у~] = 0: у'!К, К, 4) = (К + 21" + ) )К, К, 4) = = [ККК«-1) «-21 — «--])К,К,«-), К4.45) (~+ 1) = (~+ 1/2)(1+ З/2) В правой части (4.45) отличный от нуля вклад дает толью член 2У,в,.

Таким образом, полученные ВФ соответствуют значениям у = = 1 + 1/2, т = !7), + 1/2. Нормированные ВФ имеют вид Ф/К«--,ко+-) = )/ +~+ )К,ео,+) «- )Г )К,ое41,— ) (4.46) Полное число линейно независимыхсостояний Ж = (21 + 1) (2в+ 1) = = 41 + 2. Построенная система ВФ включает (27' + 1) = 21 + 3 75 Момент состояний. ВФ остальных 21 — 1 состояний можно получить из условия ортонормированности ~) — —,)>)+-) = ~/ ))п>, )) — ~/ + + ))ш >),— ). 14. Если две подсистемы взаимодействуют таким образом, что момент 3; каждой из них сохраняется, то СФ оператора полного момента У =31+32 можно найти, как и в предыдущем пункте.

Для фиксированных значений 7'1 и 72 имеется (231 + Ц(232 + 1) ортонормированных СФ проекции полного момента У,. Функцию, соответствующую максимальному значению проекции полного момента, Мг =31+З2 можно построить единственным образом. Следовательно„У = 31+32 есть максимальное значение полного момента системы. Применяя к функции ~71 + 72).71 + 72>,71) 72) Ь1) 71) ' ~72),72) повторно оператор У вЂ” = 71 — + 72 —, получаем все 2(31+32) + 1 ортогональных функций, принадлежащих СЗ,У = 31+ 72 с различными М: — (31+ 72) «4М «31+32.

Так, функция, соответствующая значению М = 31 + 72 — 1, есть Ь1 + 72) 71 + 72 1) 71>.72) ~71) 71 1) 72) Я2) + .. Ь1),71) 72) 72 Ц. .71+ 22 ,7>+Ь Из условия ортонормированности легко получить функцию, соответствующую У = З1+ З2 — 1, М = З1+ 32 — 1: ~.71 + 72 1) 31 +,72 1) 71) 32) = )),71 >,71 1> 72>,72) .. >),71) .71 ),72> .72 ) ' ;>'1 + 72 .7> +,7з Применяя к полученной функции несколько раз оператор,7, получим 2(,71+ 32 — 1) — 1 функций, принадлежащих,У = 31 + 72 — 1.

Повторяя эту процедуру, можно построить все интересующие нас функции. Легко проверить, что,У может принимать значение ~31 — 32~ « .У « 31 + 32. Удава 4 76 В самом деле, пах.7 (2,У + 1) = (2у1 + 1) (2у2 + 1). Таким образом, [~ М Л1 у2) = (71ги172ит2! УМ)!.71, ™1, у2, ги2). ти1+уоэ М Коэффициенты (у1т1.72т2~.УМ), определяю1цие вклад различных функций ~у1т1Л2ш2) в СФ операторов У~, .У, с СЗ,У(.У + 1), М, называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша — Гордана. ЗАДАЧИ 1. Найти СЗ оператора Л в состоянии с шах М = Х, учитывая соотношение Вр2'.

= Яр ЛЯ = Яр 2'.. 2. Пусть А — векторный оператор, удовлетворяющий соотношению Г 2с,Аь~ = 1е;ыАг. Доказать тождества ~Л, А~ = 4 ЦА х Л~ — ~Л х А~), ~Л, ~Л, А~ ~ = 2 (Л А+ АЛ ) — 4Л (ЛА) . 3. Доказать, что матричные элементы вектора А между функциями с одним и тем же значением Х пропорциональны соответствующим матричным элементам оператора Л: (и',УМ'~А~иЛМ) = Х(ии'.7)(.7М'Щ.УМ). 4. Доказать равенство (и',УМ'~АЛ~и.УМ) = Х(ии',У),ЦХ+ 1)Ьягм~. э. Найти коммутационные соотношения Р„А ь~, где Ац, — компоненты антиснмметричного тензора гб. Найти коммутационные соотношения ~Х, В ь~, где Вгь — компоненты симметричного тензора. 7.