П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 12

Найти спектр оператора Л ~ Лз. 8. Найти ВФ свободного движения — общие СФ операторов Й, р, и 1,. 9. Найти явный вид матриц 2; и унитарных операторов 0~ (гр) для .7 = 1. 10. Доказать, что для оператора скалярной величины Х отличны от нуля только матричные элементы между функциями одинаковой четности. е * 'Й,е' *'=Х,сов6+Х„вш6. 17. Показать, что операторы у.~, з можно представить в виде у' = ~/2у — ЖЯ», ~~ = В ~/% — »Ж где а+, а — операторы Бозе (см. задачи к гл. 1). Найти вид 7', в этом представлении (и < 21). 18.

Пусть а и Ь вЂ” операторы Бозе: ~а,а~) = 1, ~Ь,еЬ) = 1, ~а,Ь) = ~а,Ьь) = О. Показать, что можно положить а+Ь+ Ь+а А= 2 а+Ь вЂ” Ь+а ,7з = 21 3 Найти вид операторов 7з и 7 в этом представлении. 19. Пусть е е е =е » г»» т» ~~» ~(» у»+а~»+т ь) Найти параметры ц, р и у. 11. Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином 17'2 в в-представлении есть у = е сов Щ+) + е '" яп ٠— ). Найти сферические координаты ~р, 6 такого направления в пространстве, проекция спина на которое с достоверностью есть +17'2.

Такое направление называют направлением поляризации частицы со спином 17'2. 12. Для операторов в„в, спина двух частиц со спином 1/2 найти спектр и матричные элементы оператора в,в,. 13. Доказать, что функция ~7т, т~,,тз, 7з) есть СФ операторов Л и 7„соответствующая значению.7 = тт +.Зз. 14. Найти нормированные общие СФ операторов Л, .7 системы двух частиц я1 1э Зз я. 15. Найти нормированные СФ операторов полного спина У и Я, системы трех частиц со спином 17'2. Отметим отличие от случая, рассмотренного в п. 4.12: величина полного спина не определяет однозначно спнновых ВФ. 16.

Доказать равенство Глава 5 ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ О. Если взаимодействие двух частиц можно описать потенциалом У(~г1 — г2~), зависящим только от расстояния между частицами, то задача о движении таких частиц в квантовой механике, как и в классической, сводится к задаче о движении частицы в центрально- симметричном поле. Лагранжиан системы двух частиц в классической механике имеет вид 2 2 Введем вектор взаимного расстояния г = г1 г2 и вектор, определяющий положение центра инерции, т1г1 + трг~ т1+тд Тогда .У = — Кз+ — гз — Щг), 2 2 где М=т,+тз, т= ~'™ т1+ тя Вводя импульсы с помощью соотношений Р= —. =МЙ., р= — =тг, д.Я д 9' дК ' дг получим классическую функцию Гамильтона р2 2 Н = — + — + У(г).

2М 2т Оператор Гамильтона для квантовомеханической задачи получим, заменяя Р и р операторами с коммутационными соотношениями Я, Вь1 = — ~5,ь Ъ, гь) = — ~д ь 5~ Н = — — Ьд — — Ь„+ 0(г). 2М 2т Волновую функцию системы можно представить в виде (см. п. 3.0) Ф(г1, г2) = ср(К)цк(г), (5.1) Центральное поле у(т,О,у) = В(т) У~,„(6,'р), где У~ (6, ср) определяется (4.28).

Так как Р~ =г(1+1)у;, то для реальной части ВФ В(т) получаем уравнение а (2"и) ц1")я+2 1Я Г(ГИД 0 (53) Это уравнение не содержит значения проекции момента на ось л 1, = т: при заданном 1 уровень энергии .Е соответствует 21 + 1 состояниям, различающимся значениями 1,. Это вырождение является следствием правила: энергетические уровни вырождены при наличии у системы двух сохраняющихся некоммутирующих операторов (см. п.

1.18), Для движения в центральном поле такими операторами являются любые два из трех сохраняющихся операторов компонент момента 1, 1д, 1,. Для состояний с различными значениями орбитального момента приняты обозначения: (5.4) 1=01234 Вр 1Уа где у(К) описывает движение центра инерции (свободное движение частицы массы М), а у(г) — движение частицы массы т в поле У(т). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением ВФ движения в центральном поле. 1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний в центрально-симметричном поле Ыр+ ~ '1Š— Б(т)~М=О в сферических координатах имеет вид + ™, 1Š— Ш,т)р~ =О.

(5.2) Используя выражение (4.23) для оператора 1, получим — — — — 1 т — ~ + — ~р + У(т)~р = Еу. 2т ~ т~дт дт Операторы 1 и 1, коммутируют с гамильтонианом Н, поэтому существуют общие СФ операторов Н, Р и Т. Мы будем рассматривать именно такие решения УШ. Это требование определяет зависимость у от углов: 80 Глааа 5 Число 1 — максимальное значение проекции момента — называют азимутальным, а ти — проекцию момента — магнитным квантовыми числами.

2. Приведем эквивалентные формы дифференциального оператора в уравнении (5.3): т ~/ги~ Рл гол 1Р— — ~т — ~ = — +- — =- — (тЦ. ° а~ а! а ° 1 1 ° Последнее выражение позволяет придать уравнению (5.3) вид одномерного УШ (3.4); полагая у(т) = гВ(т), получим — — х+ —, 1Š— У( )1 Х = О. д Х Х(1+1) 2т (5.5) Однако, в отличие от случая движения на неограниченной прямой, для уравнения (5.5) необходимо задать граничное условие при г = О. Рассмотрим вид ВФ при г — ~ О для слабо сингулярных потенциалов: 1~тЦ(т)тя = О. ~-+О Тогда в (5.5) при малых т наиболее существенны первые два члена. Подставляя у(г) = т", получаем чЬ вЂ” 1) =1(1+1). Это уравнение имеет корни ~1 =1+1 ч2 = — 1. (5.6) Требование нормированности ВФ несовместимо со значением ч =— — 1 при 1 ф О, так как будут расходиться нормировочные интегралы К( )~йо для дискретного спектра и не будет выполняться условие (1.17) для непрерывного спектра.

При 1 = О граничные условия определяются из требования конечности среднего значения кинетической энергии, которое выполняется лишь при ч = 1. Итак, ВФ частицы в слабо сингулярном потенциале всюду конечна и при любых 1 т,(0) = О. (5.7) 3. Решение задачи о движении частицы в центральном поле У(г) сводится к отысканию решений одномерного УШ с эффективным потенииалом л2Ц1+ Ц 2тг~ Центральное поле и граничным условием (5.7). Второй член в (5.5) называется центробежным потенциалом.

В этой главе мы будем рассматривать только состояния дискретного спектра. В гл. 3 мы видели, что для УШ на неограниченной прямой с потенциалом У(х), удовлетворяющим условиям и<и(х) <О, и+ — — и =О, (5.8) всеща существует по крайней мере одно связанное состояние. Для уравнения (5.5) даже в случае 1 = 0 это не так. Пусть М < О(т) < О, Г~ = оп Б(т) = О. (5.9) Рассмотрим одномерное УШ с потенциалом Щх~) = У(т). В поле с четным потенциалом ВФ либо четны, либо нечетны: ВФ основного состояния що(х) не обращается в нуль в силу осцилляционной теоремы, и поэтому функция щ(т) не удовлетворяет условию (5.7). Функция первого возбужденного состояния у1(х) нечетна, так, как имеет только один нуль; соответствующее решение у1(т) удовлетворяет условию (5.7).

Таким образом, дискретный спектр для радиального УШ (5.5) содержит хотя бы одно значение, если дискретный спектр одномерного УШ с потенциалом Щх~) = Щт) содержит не менее двух значений. Последнее условие выполняется не всегда. 4. Если монотонный потенциал притяжения У(т) < 0 слабо сингулярен при т = О (1ип Б (т) т = 0) и убывает при т ~ оо быстрее, т-+о чем т 2, то существует некоторое предельное значение момента Л такое, что при 1 > Л связанные состояния отсутствуют (кривая И на рис. 13).

Необходимым условием существования дискретного спектра является существование области т1 < т < т2, в которой ~~ (т) < 0 (рис. 13, з и р). Будем рассматривать | как непрерывный параметр. р С РОСТОМ 1 КОРНИ т1, т2 УРаВНЕНИЯ Ъ~(т) = = 0 сближаются, переходя при 1 = Лу~ в двукратный корень то. Пусть У(т) = = Ц)~(т/а). Тоща в точке то Ъ~(то) = О, эфто) = О,т. е. У У ( ) — Л1л + 1Ф (5 10) Ц~ ~р ~'~'~ 2Л(л+ 1)Ь Рис. 13 а ~ а/ 2ттвв Разделив (5.10) на (5.11), получим уравнение, определяющее то = = ахо: У( о) = — — *'У'( о), б П.В. Елютии, В.Д. Кривченюв 82 Глава 5 зависящее только от вида функции Дх).

Подставляя это значение в (5.10), получаем Ц 2тт~ Л(Л+ 1) < ~ 2 Х(хо) = В(хооУ(хо)), (5.12) где  — борновский параметр (3.12). Максимальное значение Л, совместимое с (5.12), обозначим Лу. Величина в фигурных скобках есть безразмерная константа порядка единицы. Таким образом, при В»1 л2 ао = — =0,529 10 асм, теа называемую боровским радиусам, и времени аз Х,= — "=0,242 10-1а . тде4 Эти величины определяют типичные пространственно-временные масштабы для атомных систем, поэтому их удобно использовать в качестве основы системы единиц (так называемые атомные единииы).

Уравнение (5.13) имеет в атомных единицах (при а = 1) вид Йт~ т йт т1 При Е < 0 движение финитно и энергетический спектр дискретен. Нас интересуют решения (5.14), квадратично интегрируемые с весом т2. Введем обозначения: 1 2т ~/ — 2Е и Уравнение принимает вид сРВ 2 сИ Ги 1 Х(Х+ 1)1 + +~ —, 1~=0. др~ р Ыр ~р 4 р~ (5.15) Л~~ - -~И. 5. Рассмотрим энергетический спектр и ВФ связанных состояний для системы двух зарядов. Связанные состояния существуют только в случае притяжения, Такая система описывает свойства атома водорода и водородоподобных ионов (Не+, Ы++ и т. д.). Уравнение для радиальной ВФ: в'л+ г И ц1+1)Я+ 2 Ъ+ а~ В=О, (5.13) сЬ~ т Йт т~ т3 где константа а, характеризующая потенциал, есть Без.

Здесь е— заряд электрона, а Š— целое число, равное заряду ядра в единицах е. Константы е2, т и Ь позволяют построить величины с размерностью длины Центральное поле В(р) = р е '~ ы(р) уравнение (5.15) сводится к виду' р — + (21 + 2 — р) — + (и — Š— 1) ш = О. ,ц,а ор Решение этого уравнения, конечное при р = О, легко найти, подставив ы(р) в виде степенного ряда (5.16) ы(р) = 1+ — р+ Π— м (Π— ~)(1 — ч) р О+ Л (О+ Л)(1 + Л) 2! — + + (Π— )(1 — ч)(2 — ч) Р + (5 1,7) (О + Л) (1 + Л) (2 + Л) 3! где Х = 21 + 2, — ч = — и + 1+ 1.

При р — ~ оо функция ы(р) должна расти не быстрее конечной степени р, для этого ч должно быть целым. Тогда ы(р) будет полиномом степени ч. Итак, — и+ У+ 1 = — й, и = 1+1+ 1 (й = 0,1,2,...) (5.18) при заданном значении 1. Отсюда, используя определение и, находим энергетический спектр 1 Я 2п~ Число и называется главным квантовым числом.

В обычных единицах это выражение имеет вид (5.19) Е„= — Я~ (5.20) Эта формула была получена Бором (1913 г.) на основе старой квантовой теории, Паули (1926 г.) из матричной механики и Шредингером (1926 г.) с помощью решения дифференциального уравнения. Задача о спектре атома водорода представляет уникальный пример проблемы, допускающей точное решение, прекрасно согласующееся с экспериментом. Найдем асимптотики радиальной функции В(т).

При р -+ оо, опуская в (5.15) члены р 1, р ~, получаем сР.К В Ир~ 4 Поэтому при больших р В е~~1Я; требованию нормированности удовлетворяет только В е ~~я. Асимптотики при г — ~ 0 были определены в п. 5.2. Подстановкой 84 Глава 5 6. В классической механике при движении в кулоновском поле притяжения Щт) = — и(т сохраняется вектор Рунге — Ленца.

А = -'+ — ' [1р). г та Докажем это ИА 1 [1 . ~ г(гг) — г(гг) щ та гз Из уравнений движения находим а р = — — г. гз Используя тождество [г[гг]) = г(гг) — г(гг), получаем А Р) + Ит',гП (5.22) сЫ тгз тгз В квантовой механике вектору А сопоставляется оператор А = — ' -)- — (~3р~ — ~рЦ) . (5.23) Мы положили Я = 1 и использовали атомные единицы. Оператор А коммутирует с гамильтонианом 3 1 2 г Компоненты А связаны коммутационными соотношениями А;, А5 — — — зе; ь1ь ° 2Н (5.24) с компонентами оператора орбитального момента. Компоненты оператора Рунге — Ленца не коммутируют с компонентами 1;; в силу общих соотношений (4.8) 1;,А = зе; ьАь. (5.25) Наличие не коммутирующих между собой и сохраняющихся (т.