П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 10

5. Найдем матричные элементы операторов .Х, .Уд в представлении, в ютором У2 и .У, диагональны. Из (4.11) и (4.12) имеем 2 Х Х+ц,1,м 1 — — ам.У ц~„,м — — адд~,„м 1, ,Х(.Х+ 1) — (М вЂ” 1) — (М вЂ” 1) = ам, (4.14) ам = Подставляя (4.14) в (4.11) получаем 'У+Чу.7,М вЂ” 1 Ч.1,М Следовательно, матричный элемент оператора,У+ есть (,ХИ~3 ДЛ, М вЂ” 1) = (,У+ М)(,Х вЂ” М + 1)бу Аналогично (У~!У 1Х М) = 8Ф,М-1 Используя определения операторов Х+,,Х, находим (,ХМ~.Х„~,Х,М-1) =-' (.Х+М)(Х-М+1), (,ХМУ„ДМ-1) =--' (,У+М)(Х-М+1).

2 6. Из юммутационных соотношений (4.8) следует, в частности, Г 11,рь~ = Ы;цр~. Таким образом, существуют общие СФ операторов 1, — проекции момента на ось л и р,. — проекции импульса на ось л. Гамильтониан свободного движения во=( ") может быть представлен как квадрат векторного оператора. Поэтому существуют общие СФ операторов Н'о, 1 и 1,.

Свободная частица может находиться в состоянии с определенными значениями Е, 1, ти. Через т мы здесь и всюду в дальнейшем будем обозначать проекцию орбитального момента на ось я. Рассмотрим оператор орбитального момента одной частицы в сферических юординатах т, В, ~р: я = тсср, у = ташоа1пд, х = та1пвсоад. (4.15) б5 Момент Ф (т, 8, д) = Ф + Ьа ~ — — + — — (, l дФ де дФ д(р 1 ~ де да дср да( Ф(,а,д) = (1+йь) а~~ар). (4.17) (4.18) Так как при таком повороте я~ = л+ уЬа, у~ = у — яЬа, ж~ = ж, то из формул (4.15) получаем т соя(0+ ИО) = тсояВ+ тяшОяш<рЬа, (4.19) тяш~ряш(8+ ИО) = тяшОяшср — тсояВЬа.

(4.20) Первое из этих соотношений дает — яшОЙО = яшОяшдЬа, — = — яш 1е йх (4,21) Из соотношения (4.20) получаем соя Ояш~ра8+ я1пОсоя~рйр = — соя ОЬа, ар соя д яш 6 — = — соя 6 — соя 8 яш ~р —. Иа Иа Подставляя сюда (4.21), имеем — = — с~80 соя <р.

Йр (4.22) аа Подставляя (4.21) и (4.22) в (4.17) и сравнивая правые части (4.17) и (4.18), находим д1 1 = з~яш~р — + с$88соя~р — 1. де д,) Рассматривая поворот вокруг оси у, получаем 1я — — ~1 — сое <Р— + сф Ваш д — ). де д,!. 5 П.В. Елютин, ВД. Кривченков Пусть Ф(т,О,~р) — ВФ частицы в системе Е; Ф'(т,О,д) — ВФ частицы в системе Е'. При повороте системы координат на бесконечно малый угол вокруг оси я Ф'(т,О,~р) = Ф(т,О,у+Ьа) = Ф+Ьа —, йр;й,~р) = (1~-1Тьа) Ф~,в,~р). Из сравнения правых частей этих равенств следует: — =Й,Ф, 1, = — з —. (4.1б) дср ~ ™ дср При повороте системы координат на бесконечно малый угол вокруг оси ж бб Глава 4 Отсюда находим и явный вид операторов 1~, Р: / д .

дЪ 4 = ехр (~щ) ~~ — + з с~д 8 — ), ~вЬРедр' вшеде ~ де/ ' Последний оператор с точностью до множителя есть угловая часть оператора Лапласа. 7. Рассмотрим СФ оператора проекции орбитального момента. Из (4 16) получаем .дФ 1,Ф=тФ=-з —, дор ' откуда Ф = — е'~~, (4.24) ~27~ где значения т, в силу юммутационных соотношений, могут быть как целыми, так и полуцелыми. Потребуем эрмитовости оператора У,: 2е 2~ У'Т,Р1р = д"ТУ1р + У'д(2 ) — У'К(О). о о Таким образом, оператор 1, будет эрмитов на классе функций, удо- влетворяющих условию ~'ф2я) = ~'д(О). (4.25) СФ 1, принадлежат классу 1 Я (О, 2к) и удовлетворяют условию эрми- товости (4.25). Этому условию удовлетворяют также любые диффе- ренцируемые ВФ, разложимые по Ф,(<р): Р(д) =~ аье'~~, й =О,=Е1,~2,...; ь С(<р) = „~ Ьье' ~, Й = ~ —,~-,..., ь только с целыми или только с полуцелыми значениями т, но не ком- бинации функций Е и С.

Выбор возможных значений т делается на основе сравнения с экспериментом. Величина проекции орби- тального момента может принимать толью целочисленное значение (в единицах Ь). Рассмотрим общие СФ операторов 1, и Р. Из (4.14) следует: 1 щ, = (1 + тп)(1 — тп + 1) щ, Е Чл = ~йцсю ю 1- Момент ПО индукции мОжнО показать, что ь ц (2!)! ( -) '!'!! = (21,), ч'!,!-ь. Полагая 1 — й = ги, получаем (1+ т)! 1 !-и (! — т)! (2!)! (4.гб) По определению Используя (4.23), подстановкой 16р щ = — е "!""!!!(6) ~/2к получаем уравнение — = 1сй!~~8 ° Оп.

сИи дя Отсюда Определяя постоянную А из условий нормировки, получаем (4.27) Формулы (4.24), (4.2б) и (4.27) полностью определяют вид собственных функций оператора Р— сферических функций Ъ'!, = е*~~( — 1) г~ ( ' )( ) ! Р™(соя 8), (4.28) где Р!™(соя 8) — присоединенные полиномы Лежандра: +к Р!~(соя 8) = — яш™ 6 (соя2 6 — 1)!. 2'Р (~васоев) +' Мы будем использовать также обозначение П~!" (соя 6) для нормированных присоединенных полиномов Лежандра: П!™(соя 8) = Р!™(соя 8). 8. Оператор инверсии Р, введенный в п.

1.2 для одномерного случая, меняет знак всех координат: Рд(х, у, л) = ~р( — х, — у, — з). При инверсии правая и левая системы координат переходят друг в друга. Определенный таким образом оператор Р эрмитов и унитарен. 5' Глава 4 68 В силу равенства Р =1 СЗ оператора инверсии равны Ы. СФ оператора Р называются четными при Р = 1 и нечетными при Р = — 1. В нерелятивистской квантовой механике гамильтониан замкнутой системы при дискретном унитарном преобразовании инверсии остается инвариантным: РНР=Р НР=Н, Поэтому гамильтониан коммутирует с преобразованием инверсии. Следовательно, четность состояния является интегралом движения. Оператор инверсии Р коммутирует и с каждой компонентой оператора орбитального момента [Х,~] =о. Р,Т~ =О.

Следовательно, -2 ( +ц Пусть ц — общая СФ операторов Р, 1 и 1,. Тогда из последнего Ъ равенства вытекает, что четности состояний, отличающихся только значением проекции орбитального момента, совпадают. Определим четность состояния одной частицы с моментом 1: Рц(т, О, ср) = ц(т, к — О, к + ~р). Зависимость ВФ от углов определяется СФ момента (4.28): ц=Р,, (совО)е' ~, Рц = Р~ ( — совО)е'~'е'~~ = ( — 1) Р (совО)( — 1)™е' ". Таким образом, четность состояния частицы Р = (-1)' (4.29) совпадает с четностью значения ее орбитального момента. 9.

Некоторые частицы, кроме орбитального момента, обладают собственным моментом — спиновым моментом или спинаи в, не связанным с движением в пространстве. Коммутационные соотношения, выведенные из рассмотрения бесконечно малых поворотов системы координат, справедливы и для векторного оператора спина: ~8~~ ВД = е1~ьвь. (4.30) Сохраняются для спина и все формулы, полученные в пп. 4.4, 4.5: для их вывода использовались только коммутационные соотношения. Спектр проекций спина есть последовательность целых или полуцелых чисел, отличающихся на единицу. Собственные значения квадрата спина суть Момент б9 При заданном е компонента 8, может принимать 28 + 1 значений от — е до+я. ВФ частицы со спинам зависит не только от непрерывных переменных г (или р), но и от дискретной спиновой переменной а, указывающей значение проекции спина на выбранную ось я.

ВФ частицы со спинам е(г, а) можно разложить по СФ с заданной величиной проекции спина: Ф(г,а) = ~~~ 1ц(г)х(а). Спиновые ВФ х(а;) ортогональны при а; ф аь. Функции у,(г)х(а) называют компонентами ВФ частицы со спином, функцию у,(г) на- зывают орбитальной ВФ или просто орбиталью. ВФ частицы нор- мирована условием !!у (г)!! = 1. а= — 8 1 0 Х2 0 ! Х1 Ы 10. Коммутационные соотношения (4.30) позволяют определить явный вид операторов спина — матриц, действующих в пространстве СФ оператора проекции спина. Многие элементарные частицы (в том числе электроны и нуклоны) обладают спинам 1/2.

Проекция в может принимать лишь значения +М и — 1/2 (в единицах й). Матрицы операторов 8, 8и, 8, в пространстве собственных функций 8, 8, имеют вид 1 О ' 8~ 2 з О ' 8 2 Π— 1 ' (4.31) 8 4 О 1 (4.32) Матрицы а; = 2гч называютматрицами Паули. Их свойства рассма- тривались в задачах к гл. 1. В частности, о2 =1, а;аЬ = — аЬа;. (4,33) Пусть сферически-симметричные ВФ частицы у1 — — у(г, +1/2) и у2 — — у(т, — 1/2) различаются лишь значениями проекций спина.

Значения вероятностей проекций спина определяются квадратами норм этих функций !!у1 2!!~. Очевидно, !!Ч1!! + !М2!! Так как собственными функциями 8, являются двухкомпонентные величины 70 Глава 4 то ВФ частицы со спином 1/2 можно представить в виде Ч1 Ч2 Ч1Х1 + Ч2Х2 ч6 ~2 (4.36) Ч~1 Ч2 Из (4.34), (4.35) имеем ~+е "*~ яе"*'РУ = я 11+ = е"'~. ) Используя последнее равенство и формулу (4.36), получаем Ч1 Ч2 Оператор поворота У+(д) можно найти и в явном виде, используя В дальнейшем мы не будем рассматривать зависимость Ф от юординат и заменим у~ и у2 числами. Рассмотрим преобразование компонент ВФ частицы при переходе к повернутой системе координат.