П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 7

8 Рис. 7 любом значении В существует по крайней мере один корень (3.37), а с ним — одно связанное состояние, которое описывается четной ВФ. При В « 1, заменяя тангенс его малым аргументом, из (3.37) получаем для энергии связи основного состояния выражение ео В 2В2 Первый член в правой части этого выражения совпадает с результатом, найденным выше в модели 6-ямы. С ростом В первое нечетное решение, соответствующее второму связанному состоянию, появляется при значении В = кз/4.

Зависимость энергии связи в„от В для прямоугольной ямы показана на рис. 8. Непосредственно из графика на рис. 7 видно, что состояния с четными и нечетными ВФ чередуются — как это и должно быть в соответствии с осцилляционной теоремой (п. 3.3). При В » 1 число корней каждого из уравнений (3.37) и (3.38) приблизительно равно числу ветвей тангенса в интервале изменения его аргумента (О, ~/В): Л' — .о'„' = ~/В/к.

Таким образом, полное число .Ф' связанных состояний в прямоугольной яме есть ~ = ',/в. Эта зависимость совпадает с найденной в п. 3.7 с использованием модели гармонического осциллятора. 8. Стационарные состояния непрерывного спектра описываются функциями, не имеющими нормы в Ь~.

Поэтому их нельзя интерпретировать как физически реализуемые состояния частицы (вероятность найти частицу в любой конечной области просгранства Глава 3 есть нуль). Однако рассмотрение асимптотического вида ВФ таких состояний позволяет решить одномерную задачу рассеяния — т. е.

ответить на вопрос: с какой вероятностью испущенная источником частица, имеюшая энергию, близкую к Е, будет зарегистрирована детектором, если между источником и детектором есть область пространства, в которой потенциал У(х) отличен от нуля. Эту вероятность характеризуют коэффициентом прохождения Р(Е). В классической механике коэффициент прохождения — ступенчатая функция: Р(Е) = О, если Е < птах 0(х) и Р(Е) = 1, если Е > тпах У(х). В квантовой механике Р(Е) меняется непрерывно от Р(Е) = О при Е -~ Одо Р(Е) = 1при Е -+ оо. Это отличие носит сразу два названия: при Е < тпах У(х) говорят о подбарьерном прохождении квантовой частицы или о ее туннелировании через барьер, а при .Е > тпах У(х) — о надбарьернам отражении.

Если пределы У и Г~ не равны, то потенциал У(х) называется потенциальной стенкой: при этом принято выбирать за начало отсчета энергии У = О. Если шах У(х) > тах(Г~, У ), то потенциал У(х) называется потенциальным барьером. Показанный на рис. 1 потенциал является и ямой, и стенкой, и барьером. В задаче рассеяния движение частицы при ~х ~ ~ оо будет предполагаться асимптотическим свободным. Поэтому начнем с рассмотрения свободного движения. Одномерное УШ в координатном представлении ~й — — Ч =ЕЧ оп своим общим решением имеет у(х) = Ае'~ +Ве '~*, где введено обозначение (3.39) для волнового числа. В условиях нормировки (см.

п. 1.1б) ~~*(р,х)д(ч,х) дх = Ь(п — ч) можно под р и ч понимать как импульс р, так и энергию Е. В первом случае коэффициенты А и В должны удовлетворять условию ~ ~~2+ ~В~2 1 Во втором случае (нормировка на Ь-функцию от энергии) коэффициенты должны удовлетворять условию ~А~~+ ~В~~ =— 2яй 2Е Одномерное движение Заметим, что размерность ВФ непрерывного спектра меняется в зависимости от способа нормировки. 9. Рассмотрим стационарные состояния непрерывного спектра частицы в потенциальном поле — например, показанном на рис.

1. Решением стационарной задачи рассеяния является ВФ с асимптотиками вида ~уь (х) е'~-*+ Ае '~ * (х -+ — оо), (3.40) ун (х) Ве' +* (х ~ оо), (3.41) где й~ = ~г тв-~и, Ь О компонентах этих асимптотик принято говорить, что е'~-* соот- ветствует падающей частице, Ае '~-* — отраженной, а Ве'~+ прошедшей через потенциал. Коэффициентом прохождения Х) (Е) называется отношение плотностей потоков вероятностей прошедшей и падающей компонент: .0(Е) = + ~В~ (3.42) Аналогично, коэффициентом отражения В (Е) называется отно- шение плотностей потоков вероятностей отраженной и падающей компонент, В(Е) = ~А~~.

(3.43) Можно показать, что эти коэффициенты удовлетворяют соотношению .0(Е) + В(Е) = 1, если только гамильтониан Н эрмитов — для чего потенциал У(х) должен быть действительной функцией. Рассмотрим одномерное рассеяния на б-потенциале. Уравнение Шредингера имеет вид Й вЂ” — ц/' — ф(х) у = Еу. 2пт Его решение совпадает с асимптотиками (3.40), (3,41) при всех х ~ 0: ц~ь — — е™+Ае '~* (х < 0), щ = Ве'~* (х > О). Из условия непрерывности ВФ в точке х = 0 имеем уравнение 1+А=В, а из условия заданной величины скачка производной (3.17) получаем гй(А+ — 1) = —,~В.

Отсюда А= вв В=. гй 1 1 Ж вЂ” вв Ис — ж 4 П.В. Елютин, В.Д. Кривченков Одномерное движение 51 Рассмотрим предельные случаи. При Е « Уо (подбарьерное прохождение частицы с малой энергией) о мнимое; коэффициент прохождения В(Е) ~ 16е (1 — е) ехр [ — 2~/В (1 — е)] оказывается экспоненциально малым.

Для надбарьерного прохождения частиц высокой энергии (Е » бо) коэффициент прохождения близок к единице и не зависит от знака с)о.' 0(Е) 1 — — ~ — ~ вш да. 1Ги.~' . з 4 ~Е1 Кроме того, при выполнении условия вш да = О да = г)л (и — целое), т. е. при значениях энергии частицы Е1„1 = ре [1 Е- ее — ] коэффициент прохождения обращается в единицу: барьер прозрачен. Зависимость.0 сс ехр( — 2КВ) для подбарьерного прохождения с Е « Оо имеет достаточно типичный характер.

Напротив, закон убывания В = 1 —.0 сс Е з для коэффициента надбарьерного отражения и обращение В в нуль при некоторых энергиях суть специфические свойства прямоугольного барьера. 11. Уравнение Шредингера является частным случаем уравнений вида Ху=~ р, (3.46) где Ь вЂ” эрмитов оператор, а на функцию ~у наложены однородные граничные условия, т. е. такие, которым удовлетворяет и функция у = О. Функция двух переменных С(х, х'), удовлетворяющая уравнению Й С(х, х') — ХС(х, х') = б(х — х'), (3.47) называется функцией Грина (ФГ) для уравнения (3.46). Перепишем одномерное УШ в виде у~ — и(х)у = -Й у, (3.48) где введено обозначение и(х) = 2тУ(х) Ь 2, а й — волновое число (3.39).

ФГ уравнения (3.48) связана с его линейно независимыми решениями. По определению — С(х, х ) + [Й и (х)~ С(х, х ) — Ь (х — х ) . Интегрируя это выражение по х от х' — О до х' + О и учитывая 4' 52 Глава 3 конечность и(х), имеем С'(х'+ О, х') — С'(х' — О, х') = 1, С(х'+О,х') — С(*'-О, ') =О. Итак, функция Грина в окрестности точки х = х' непрерывна, а ее производная скачком меняется на единицу. Пусть С(х, х ) = г(х)у(х ) (х < х ), С(х,х') = у(х)~(х') (х ) х'), где Х и д — решения (3.48), удовлетворяющие однородным условиям.

Функция С(х, х') будет функцией Грина, если ф фу (3.49) Ь Их Найдем ФГ для УШ, описывающего свободное движение части- цы. Положим я= Ае'~*, ,г=е '*, где А — константа. Тогда С = Ае'~(* *) (х < х'), С = Ае '~(* ) (х) х') . Требуя выполнения (3.49), находим А = — зД2Ус). Итак, ФГ для одномерного УШ, описывающего свободное движение с волновым числом й, есть С(х,х') = — — е' ~* 2й (3.50) 12. Рассмотрим неоднородное уравнение ~Ч вЂ” ~Ч = Ч(х).

С помощью ФГ его решение может быть записано в виде и (х) = ии (х) ~- ~ йи (х, х')(~ ~х') дх', где щ (х) и Со (х, х') — общее решение и ФГ однородного уравнения (3.46). Выше мы элементарными средствами нашли ФГ для свободной частицы. Представляя УШ для частицы в потенциальном поле (3.48) в виде неоднородного уравнения с правой частью Я (х) = = и (х) у (х), мы можем записать его общее решение в виде и (х) = ии ~х) -~- ~ йи (х, х) и (х) и (х) Ых'.

(35Ц Интегральное уравнение (3.51) позволяет получить приближенные решения задачи рассеяния. Используя (3.50), для одномерного УШ Одномерное движение 53 имеем Ч) (х) = ЧО (х) — ' Г е ™~и (х') Ч (х') сЬ'— 2))3 — — е' * и (х ) у (х') сЬ . Будем искать решение методом итераций. В нулевом приближении возьмем у(х) = щ(х) = ехр(гйх). Подставляя это выражение в правую часть (3.51), найдем вид функции первого приближения ~у<Ц (х). При х -+ оо у1 ) 1х) м е*"*(1 — — " и1х') Ах~ = Ве'~, 13.32) 2й а при х -+ — оо у1 ) 1х)~е'"* — — 'е е"* ~ е '" и1х')Их'=е'~*-еАе и . 13.33) 2й Асимптотики найденного решения удовлетворяют граничным усло- виям задачи рассеяния (3.40), (3.41). Коэффициент отражения, е22)схУ(х)д х ЫЛ2 (3.54) не зависит от знака потенциала: для ямы и барьера одинаковой формы коэффициенты отражения равны.