П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 6

1 (3.11) в я' Величина е„= — Е„/0о обозначает отношение энергии связи иго стационарного состояния дискретного спектра к глубине ямы— относительную энергию связи. Безразмерный параметр 2,п~ов (3.12) л2 мы будем называть борновским параметром. Его можно рассматривать как количественную характеристику силы потенциала: при В (( 1 потенциал является слабым, а при В » 1 — сильным.

Непосредственно из уравнения (3,11) видно, что при неизменном виде функции ~ (р), описывающей форму потенциала, положение энергетических уровней, отнесенных к глубине ямы, зависит только от величины борновского параметра: е„= а (и, В). Рассмотрим стационарное УШ с гамильтонианом Н (Х), зависящим от параметра Х, Й(Х) Ч„(Л) = Е (Х)Ч„(Л). Дифференцируя это уравнение по Х, получим дй ду„йЕ„ду„ +Н и ~~~ +Е д дХ " дХ Ю " дХ Домножая это выражение слева на ~~„, интегрируя по ж и учитывая эрмитовость гамильтониана Н (Х), приходим к соотношению —" = (и~ — ~и), (3.13) Одномерное движение . которое составляет утверждение теоремы Хеллмана — Фейнмана. Равенство (3.13) показывает, что скорость изменения собственных значений при изменении параметра пропорциональна среднему значению частной производной гамильтониана по этому параметру. Отметим, что при выводе (3.13) от оператора Н (Х) требовалась только эрмитовость, поэтому результат может быть обобщен для собственных значений любых зависящих от параметра эрмитовых операторов.

Уравнение (3.11) можно рассматривать как уравнение для собственных значений гамильтониана, зависящего от борновского параметра, 1 И~ н(в) = - — — — У(у). В Ыу~ Из теоремы Хеллмана — Фейнмана получаем Р т ~ ~ 2 — = — (л,~ — — ~п) = — (п~ ~ — г — ~ ~о) . ДВ В2 ДУ2 В2 ~ Ф1 Величина в обкладках в последнем выражении представляет собой квадрат эрмитова оператора; его среднее значение для всех нормируемых функций ~п) положительно (ср. задачу 1.15).

Таким образом, для любой потенциальной ямы — ">О (3.14) относительные энергии связи состояний дискретного спектра при возрастании борновского параметра монотонно возрастают. 4. Рассмотрим задачу о слабой потенциальной яме (В « 1) в наиболее важном случае У = Г~ —— О. Пусть, например, яма заданной формы углубляется и сужается так, что Уо -+ со, и — '~ — О, а ее емкость 0(х)йх = — Уса Я(у)йу = — д < О (3.15) остается постоянной.

Это условие описывает (слабый) предельный переход потенциала в Ь-функцию Дирака: 1пп У(х) = — аЬ (х). Так мы приходим к рассмотрению УШ с Ь-потенциалом (Ь-ямой) Ь~ — — ~р" — аЬ(х) у = Еу. (3.16) 2т При х ф О и Е < О у этого уравнения существуют убывающие при ~х~ -+ оо решения, совпадающие с асимптотиками (3.8): у (х) = А ехр ( — ж Ц), (3.17) где А — нормировочный коэффициент (рис. 3).

В точке х = О вторая производная функции (3.17) имеет интегрируемую синтулярность. 42 Глава 3 Следовательно, ц~ испытывает конечный скачок, а у непрерывна. Интегрируя уравнение (3.16) в окрестности точки х = О, получаем — — ~ц/ (+О) — Ч/ ( — 0)~ = ур (О) . (3.18) Подставляя в это выражение ВФ (3.17), находим Ж ШД ПЩ' Я— Ь~ ' 2Ю Правильной нормировке ВФ соответствует значение А = ~/Й. Учитывая, что согласно (3.15) д = Кбоа, где к = уЬ)Ф есть числовой множитель порядка единицы, для относительной энергии связи получаем выражение ж х ~~г Рис.

3 е= — В, 4 где  — борновский параметр (3.12). При заданном выше предельном переходе борновский параметр В да — ~ О. Итак, в одномерной потенциальной яме, для которой интеграл (3.15) конечен и отрицателен, при малых значениях борновского параметра существует состояние дискретного спектра с малой в сравнении с глубиной ямы энергией связи а сс В. По сказанному в п. 3.4 пределу В -+ 0 соответствует также переход а .= сопят, Уо -+ О. Потенциальную яму У(х) в этом случае можно заменить б-ямой, так как ее ширина а оказывается малой в сравнении с длиной локализации ВФ: ж — » а. -1 а ,/в Уравнение (3.18) можно рассматривать как специфическую форму описания взаимодействия — через наложение условий на локальные характеристики волновой функции.

Модели Ь-потенциалов являются одними из простейших в квантовой теории и часто используются как элементы при построении более сложных моделей (см. п. 3.3 и задачи 3,4 и 3.5). 5. Рассмотрим теперь случай сильной потенциальной ямы, В » 1. С ростом В значения е„возрастают, оставаясь ограниченными сверху: в < 1. Поэтому при В » 1 естественно ожидать существования состояний дискретного спектра с энергиями, близкими к глубине Однамерное движение 43 Рис.

4 ямы, Е„= — Уо. В классической механике финитное движение вблизи минимума потенциала называется малыми колебаниями. Простая модель для их описания получается, если разложить потенциал У (х) вблизи минимума в ряд по степеням х и отбросить в разложении все члены выше квадратичного (рис. 4). Взяв точку минимума в качестве начала юординат, получим "о ~ (х) — — Уо + — Уо — *. (3.19) 2 а~ Сдвинем начало отсчета энергии в точку — Уо и введем традиционное обозначение У(х) = — х2.

(3.20) Система с гамильтонианом рг,щи о Н= — + — х 2т 2 называется гармоническим осииллятором. Найдем энергетический спектр гармонического осциллятора. Так как ни при каких Е на всей оси не выполняется условие Е > У (х), то движение частицы при любой энергии будет финитным, и существует толью дискретный энергетический спектр (ср. (3.6)). Удобно выбрать параметры модели т, в и константу теории Й единичными масштабами. В получающейся системе осцилляторных единиц масштабы длины (Ь), импульса (Р ) и энергии (Е) равны соответственно Ь=.

—, Р=Лтв, Е=йв. Введем безразмерные операторы координаты и импульса, сохранив за ними прежние обозначения: ШО) 1 х:=х~ —, р:=р ~л' Л Они удовлетворяют коммутационному соотношению [х,р~ = — з. Введем пару эрмитовски сопряженных операторов а = — (х + зр), а+ = — (х — ер) . (3.21) ~/2 ~Г2 Они называются операторами уничтожения и рождения (квантов) соответственно. Непосредственным вычислением получается их коммутационное соотношение (а,а+~ = 1. (3.22) Глава 3 Гамильтониан гармонического осциллятора, выраженный через операторы рождения и уничтожения, в осцилляторных единицах имеет вцц Н = а+а+ —.

(3.23) г' Использование операторов а и а+ позволяет найти спектр гармонического осциллятора алгебраическим методом*. Пусть у, — СФ оператора Й, отвечающая СЗ е: а+а+ — ~р, = оу,. Рассмотрим действие оператора а+ на обе части этого стационарного УШ: а+ а+а+ — ~у, = а+а — - а+у, = еа+~„ Й (а+у,) = (е+ 1) (а+у,) . Итак, если у, — собственная функция гамильтониана, отвечающая собственному значению е, то у,+1 — — а+у, есть собственная функция, отвечающая СЗ е+ 1.

Считая обе функции нормированными, это утверждение можно выразить равенством а+у, = юр,+1, (3.24) где м — нормировочный множитель. Аналогично доказывается равенство ау, =му, 1. (3.25) Найдем энергию основного состояния гармонического осциллятора ео. Поскольку среднее значение произведения эрмитовски сопряженных операторов а+ и а неотрицательно, минимальное собственное значение гамильтониана (3.23) ео > 1/2.

Из ограниченности спектра снизу и равенства (3.25) следует, что ВФ основного состояния щ должна удовлетворять равенству ащ = О и соответствовать энергии ео = 1/2. Ранее было показано, что разность между последовательными СЗ гамильтониана (3.23) равна единице. Отсюда для энергетического спектра осциллятора (в обычных единицах) получаем Е„= ав о+— (3.26) б. Найдем волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятора в координатном представлении. ВФ основного состояния удовлетворяет уравнению ащ = О.

Используя выражение (3.21), получаем Ф~о ~Чо = Одномерное движение 45 Нормировочный множитель А определяется из условия А щ~~~(х)сЬ = А е ~ дх = А~ъ/к = 1, откуда А = я д~4. Итак, нормированная волновая функция основного состояния (рис. 5) що(х) =к ехр~- — ~. ду4 Г х ъ 2 у' Определим теперь нормировочные множители в выражениях (3,24) и (3.25). Если функция у„нормирована, то (а~ър„,а~ъу„) = (ър„,аале'ъу„) = ~ч! аа~р„= (е-~- -) ц„= (и+1) р„, а+у„= ъй + 1ъя„+д. (3.27) Аналогично О д ж ацl„= ъ/пъе„д. (3.28) Эти равенства определяют матричные элементы операторов рождения и уничтожения между нормированными ВФ гармонического осциллятора.

Из соотношение (3.27), используя явный вид оператора рождения, получаем формулу для ВФ и;го стационарного состояния р„(х) = (2 лаул) (х — — ) елр( — — ) . (3.29) Функции у„(х) можно представить в виде р„~х) = (2" и аук) Н„~х) елр (- — ), где Н„(х) — полиномы т~-й степени, известные как полиномы Эрмита, Например, Но(х) = 1, Нд(х) =2х, Н2(х) =4х — 2.

Четность полинома Эрмита совпадает с четностью его номера. Полином Эрмита Нь имеет й действительных корней; это — частный случай осцилляционной теоремы, упомянутой в п. 3.3. Замена потенциала У(х) потенциалом гармонического осциллятора (3.20) оправдана, если энергия основного состояния мала в сравнении с глубиной ямы (Ьа « Уо), и если область локализации волновой функции сановного оооаолнил а. = Муй/~ мала в оравнении с характерной шириной ямы а. Из сравнения (ЗЛ9) и (3.20), считая Уи (О) - 1, имеем ~-Д/2 (3.30) ~Уо 46 Глава 3 (3.34) 13 В11 — е)= — / — ''=В„(е).

(3.38) Из этого соотношения вьггекает оценка зависимости числа /)' уровней дискретного спектра от борновского параметра при В » 1: л - Гв. (3.31) Из формулы (3.30) следует также асимптстический вид зависимости относительных энергий связи е„от борновсюго параметра при В » 1: 1 — — ~~п+ -)~, х г р ~/В 2 (3.32) где Х вЂ” числовая юнстанта, зависящая от формы потенциала. 7. Для описания потенциальных ям часто применяются модели кусочно-постоянных потенциалов.

Рассмотрим состояния дискрет- У ного спектра в прямоугольной яме (рис. 6)— потенциале У (х), заданном уравнениями ~(х) = — 0о (~4 < а), У (х) = О (~х~ > а) . (3.33) В безразмерных переменных р=х/а, е= — К/Уо уравнение Шредингера имеет вид Рис. б — ~/" — ~(Р) Я/= -и~, где Х (р) = 1 при ~р~ < 1 и У (р) = О при ~р~ > 1. В области у > 1 уравнение Ч)В = Вор имеет убывающее при у -+ оо решение у = Аехр( — ~/Вер). Потенциал У (х) четен; следовательно, волновые функции состояний дискретного спектра должны быть либо четны, либо нечетны.

Поэтому внутри ямы возьмем решения (3.34) в виде р 1р) =сов~/В~1 — е)р и р„(р) =ешв/В(1 — е)р. Для четных решений у из условия непрерывности у в точке р = 1 имеем сов Е/В ~1 — е) = Аехр1 — РВе), (3.35) а из условия непрерывности ~у'— — е/В (1 — е) еш е/В (1 — е) = — е/ВеА ехр 1 — е/Ве) .

1333) Разделив (3.36) на (3.35), получаем уравнение 13 1/В (1 — в) = ~ = Р 1в) . 13.37) Аналогично для нечетных решений ~у„находим 47 Одномерное движение Трансцендентные уравнения (3.37) и (3.38) удобно анализировать графически, На рис. 7 показаны графики функций в левых и правых частях равенств (3.37) и (3.38), Функция Г (а) в правой части (3.37) на интервале О < а < 1 пробегает значения от О до оо. Поэтому при 10 В Рис.