П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам, страница 5

11. Если гамильтониан Н инвариантен по отношению к переносу на любой вектор ас Основные положения 35 где К вЂ” некоторый эрмитов оператор. Рассмотрим бесконечно малый перенос Т(ба)ЙТ+(ба) ж (1+ гКба)Й(1 — гКба), Н(г) + г ~К, Н~ ба = Н(г) + (1)7Н) ба. Из сравнения с (2.4) находим явный вид оператора К: К = ~~'р. Из условия (2.23) следует, что ~р, Й~ = О, т. е. импульс есть интеграл движения. Состояние системы описывается СФ импульса р(г) = (2ха) е~ехр (-'рг) . При унитарном преобразовании Т ехр ) -'ра) р (г) = р (г ~- а).

й Оператор пространственного переноса Т+ = ехр( — -*ра) аналогичен оператору «временного переноса» Я = ехр( — -'Й8), введенному в п. 2.8. 12. Гамильтониан может быть инвариантен по отношению к дис- кретному набору переносов. Например, в кристаллической решетке Н(г+а) = Н(г), (2.24) если а = 2,.

арф;, ще и; — целые числа, а а; — базисные векторы решетки. Для функций стационарных состояний Й(г) у(г) = Ецк(г), Н(г+ а) у (г + а) = Ец~ (г + а) = Н(г) у (г + а). Поэтому у(г) и у(г + а) суть СФ Й(г), соответствующие одному и тому же значению энергии. Можно представить связь между этими решениями в виде у(г+ а) = с(а) ~~(г), где с(а) — матрица с числом строк и столбцов, равным д — кратности вырождения уровня Е. Матрицы с(а) и с(Ь), очевидно, коммутируют и могут быль одновременно приведены к диагональному виду. Для них имеет место уравнение сн(а)си(Ь) = сн(а+ Ь) (г = 1, 2,...,8). Это уравнение имеет решение вида с;;(а) = е'"2~. з Зб Хлава 2 Таким образом, решения уравнения (2.25) имеют вид ~[гь(г) = иь(г)е' (2.2б) где 1с — произвольный вещественный вектор, а функция иь(г)— периодическая с периодом а решетка иь(г+ а) = иь(г). В случае, рассмотренном в п.

2.11, функция иь должна быть константой — единственной функцией, периодической с любым а. Утверждение о возможности представить СФ гамильтониана, удовлетворяющего соотношению (2.24), в виде (2.26) называется теоремой Блоха. По аналогии с оператором переноса, рассмотренным в и. 2.11, вектор К = Ис называется кеазиимлульсом. Заметим, что вектор 1с определен неоднозначно. К нему можно добавить любой вектор и такой, что на = оп, где и — целое число. Множество таких векторов можно представить в виде 3 д=,'» 'Ь;;, 1=1 где т; — целые числа, а векторы Ь1=2К [' ~] (гф,Уф-й) а;[а, х аь] суть базисные векторы обратной решетки. ЗАДКИ 1. Доказать тождества [р х [х х р]] = гйр + хр — рхр, [ххр] = х р — (хр — ай) .

2. Показать, что если Х = Дх)я(р), то вр Х = — ~(х)д(р) пх пр. 3. Найти вид гайзенберговского оператора х в координатном представлении для свободной частицы (У(г) = 0) и для гармонического осциллятора (У(х) = Ахз). 4. Найти унитарный операпзр, осуществляющий преобразование Галилея р, -+ р; + тщ, х; — ~ х; + хч8. Глава 3 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ О. В квантовой механике движение частицы во внешнем поле с потенциалом У(г) может быть описано уравнением Шредингера, которое в координатном представлении сводится к линейному уравнению в частных производных для функции четырех переменных Ф(г, Ф): гй — = — — ~М + У(г) Ф.

(3.1) Решение уравнения (3.1) существенно упрощается, если возможно разделение переменных. Например, если потенциал У (г) имеет вид У(г) = У1 (х1) + У2 (ж2) + УЗ (хз) р (3.2) то переменные в уравнении Шредингера можно разделить в декартовых координатах. Рассмотрим стационарное решение Ф(г, 2) = ч~~ (тт) чя (жя) ч'з (жз) ехР ( — в — Ф~ . (3.3) .Е 1 Если функции щ при з = 1, 2, 3 удовлетворяют уравнениям Нщ =Е;щ, (3.4) где — ~ у" + У (ж) у = Еу. 237В а и; = — "' +Ц(х;), 2т то выражение (3.3) описывает стационарное состояние с энергией Е = Е~+ Ез+ Ез.

Мы будем называть (3.4) однамерньии уравнением Шредингера, а параметр разделения Е; — энергией, опуская индексы у Е;, Й; и ~с;. Вид потенциала (3.2) не является сколько-нибудь общим (хотя можно указать важные задачи, в которых потенциал У(г) можно считать зависящим только от одной декартовой координаты). С другой стороны, рассмотрение одномерного уравнения Шредингера позволяет на простых примерах изучить качественные закономерности в свойствах спектров и ВФ стационарных состояний, многие из которых сохраняют силу и в других случаях — например, если уравнение (3.1) допускает разделение переменных в криволинейных координатах (важнейший пример — задача о движении частицы в центральном поле, рассмотренная в гл.

5). 1. Начнем с рассмотрения состояний дискретного спектра урав- нения 38 Глава 3 П усть потенциал У(х) имеет единственный минимум, а при х -+ ~ос стремится к пределам У и Г~ соответственно (рис. 1). В классической механике локальное свойство потенциала — наличие минимума — достаточно для существования финитных движений. В квантовой механике характер движения зависит от глобальных свойств потенциала.

Необходимым (но недостаточным) условием существования дискретного спектра является неравенство пйп У(х) < ппп (У, Г~) . Потенциалы, удовлетворяющие этим усРис. 1 ловиям, называются потенииальными ямами (или кратко — ямами). Дискретный энергетический спектр частицы в потенциальной яме локализован в области энергий пш1 У(х) < Е <пйп (У,Г~).

(3.6) Если хотя бы один из пределов У, Г~ конечен, то величину пш1 (У, Г~) принимают за начало отсчета энергии (У (х) = 0), а величину ~Е„~ называют энергией связи и;го состояния. В противном случае за начало отсчета энергии принимают пш1 У (х). 2. Отыскание дискретного спектра сводится к отысканию решений одномерного УШ, удовлетворяющих условию нормировки (см. п. 2.0) ~ц~(х)~ сЬ =1. (3.7) Отсюда следует, что в состояниях дискретного спектра ВФ удовлетворяет граничным условиям: при ~х~ ~ оо у (х) -+ 0 и у' (х) ~ О.

Если потенциал У (х) ограничен снизу, то и дискретный спектр ограничен снизу, Е > пйп У(х). Допустим противное: ц~ (х) есть решение УШ, принадлежащее Ь~ при Е < пш1 У(х); тогда из равенства — — ч" = Ф вЂ” ~(*)1 ч 2т следует, что знак ~/' всюду совпадает со знаком у, Пусть Ч ( — оо) = = +О, Тоща ~у" и у' будут всюду положительны: у (х) будет монотонно возрастающей функцией, что несовместимо с (3.7). Позже (в гл. 5) мы увидим, что требование ограниченности У(х) снизу есть достаточное, но не необходимое условие ограниченности снизу дискретного спектра. Состояния дискретного спектра нумеруются в порядке возрастания энергии, Состоянию с наименьшей энергией — основному Одномерное движение состоянию — обычно присваивается номер 0 (энергия основного состояния есть Ео).

Все прочие состояния (принадлежащие как дискретному, так и непрерывному спектрам) называются возбужденными состояниями. Состояния дискретного спектра в одномерном случае не вырождены. Допустим противное: у (х) и д (х) суть линейно независимые решения, соответствующие одному значению Е„. Вычитая из получим урн — ррн =О= — '~ ([ р' — рр') Нх Интегрируя это выражение от — оо до х, получим Итак, (1п у)' — ()пу)' = О, у = сопят д, что противоречит предположению о линейной независимости.

Для состояний дискретного спектра справедлива осиилляиионная теорема: ВФ у„(х), описывающая состояние ~п), имеет при конечных значениях х в точности п нулей. Рассмотрим асимптотическое поведение решений УШ (3.5) вдали от потенциальной ямы. Если потенциал У (х) с ростом ~ х~ стремится к нулю достаточно быстро, то в уравнении (3.5) можно пренебречь членом, содержащим У(х). В этом случае УШ превращается в линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое решается элементарно: ВФ состояний дискретного спектра вдали от начала координат убывают по экспоненциальному закону: у„(х) ехр ( — ж ~х~), (3,8) а показатель экспоненты ж зависит от энергии состояния Е„, (3,9) 2 но не от формы потенциала.

В примерах встретятся потенциалы различной степени гладкости. Из УШ следует, что У (х) и ц/' (х) — одинаково гладкие функции. В частности, если У (х) имеет конечный разрыв, то в точке разрыва ~р (х) и ц~ (х) непрерывны. Если в некоторой области пространства У(х) -+ оо, то всюду в ней и на ее границе у (х) = О. 40 Глава 3 3. Исследуем свойства подобия для решений УШ. Рассмотрим потенциальную яму конечной глубины с пределами Г~ = У = О У (рис.

2). Ее можно описать выражением вида г<х) = -г,~ (-*), где ДО) = 1 и г(л) > О при всех л. Ве1~о личина Уо называется глубиной потенци- альной ямы, а а — (характерной) шириной Рис, 2 ямы (рис. 2). Соответствующее одномер- ное УШ для и-го стационарного состояния дискретного спектра может быть записано в виде — — — — УоУ~-~Ч=Е Ч л~ ~о~у (3.10) 2т сЬ~ а Будем задавать координату безразмерной переменной р = ж/а. Заменив переменные в уравнении (3,10) и разделив его на Уо, получим для ~ (д) уравнение вида — — — — УЬ)ч=-е ч.