Семинар 10 для К-5. Метод Фурье для уравнения Лапласа в круге. Внутренняя и внешняя задачи Неймана и III-го рода. Интеграл Пуассона (Семинары)
Описание файла
Файл "Семинар 10 для К-5. Метод Фурье для уравнения Лапласа в круге. Внутренняя и внешняя задачи Неймана и III-го рода. Интеграл Пуассона" внутри архива находится в папке "Семинары". PDF-файл из архива "Семинары", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)Уравнение Лапласа в круге. Разные краевые условия.Интеграл ПуассонаI (Внутр.III), № 719 г), 720 б)M M , II (ИП), 719 в), 720 б)1. Уравнение Лапласа в кругеНа предыдущем семинаре мы нашли решение уравнения Лапласа∆u ≡11(rur )r + 2 uϕϕ = 0rr(1.1)как внутри круга:ϕ ∈ [0, 2π),0 6 r < R,так и вне круга:ϕ ∈ [0, 2π).R < r < +∞,Приведём найденные решения.Общее решение уравнения Лапласа в кругеu(r, ϕ) =∞XXk (r)Φk (ϕ) =k=0∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .(1.2)k=0Общее решение уравнения Лапласа вне круга∞X1Xk (r)Φk (ϕ) =(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .u(r, ϕ) =krk=0k=0∞X(1.3)2. № 719 г) Внутренняя задача Неймана для уравненияЛапласа в кругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условий0 6 r < R, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(0, ϕ)| < ∞,ur (R, ϕ) = f (ϕ).(2.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа в кругеДля решения уравнения Лапласа в круге мы уже получили формулуu(r, ϕ) =∞Xk=0Xk (r)Φk (ϕ) =∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .(1.2)k=0Шаг 2.
Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие II-го рода – условие Неймана:ur (R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.2).Поскольку функции {1, cos(kϕ), sin(kϕ), k ∈ N} образуют полную ортогональную системуc Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)функций, то функцию f (ϕ) можно разложить в ряд по этой системе – фактически, втригонометрический ряд Фурье – на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞α0 X+f (ϕ) =(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,2k=1(2.2)Z2π2αk =2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, .
. .(2.4)0Z2π2βk =2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0При этом ряд (2.2) сходится к f (ϕ) абсолютно и равномерно на ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем ряд∞Xur (r, ϕ) =krk−1 (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) ,(2.5)k=1взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) =∞X∞kRk−1k=1α0 X(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)+(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =2k=1Получаем при k = 0:α0,2это – условие на функцию f (ϕ), а требований на A0 , B0 не накладывает, они могут быть любыми.
На практике это означает, что задача Неймана имеет бесконечное семейство решений,отличающихся на константу.A0 , B0 − произвольны.(2.6)0=При k ∈ NkRk−1 (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),αk,kRk−1Ak =Ответ:Bk =βk,kRk−1k ∈ N.∞ Xr k αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) = c + R·,Rkk=1(2.7)(2.8)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, .
. .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0а функция f (ϕ) удовлетворяет условиюR2πf (ϕ)dϕ = 0 (в противном случае решения в виде0подобного ряда не существует).c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)3. № 720 б)M M . Внешняя задача Неймана для уравненияЛапласа в кругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условийR < r < ∞, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(∞, ϕ)| < ∞,0 < ϕ < 2π;ur (R, ϕ) = f (ϕ),0 < ϕ < 2π.(3.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа вне кругаДля решения уравнения Лапласа вне круга мы уже получили формулу∞X1u(r, ϕ) =(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .rkk=0(1.3)Шаг 2. Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие II-го рода – условие Неймана:ur (R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.3).Поскольку функции {1, cos(kϕ), sin(kϕ), k ∈ N} образуют полную ортогональную системуфункций, то функцию f (ϕ) можно разложить в ряд по этой системе – фактически, втригонометрический ряд Фурье – на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞f (ϕ) =1αk =πα0 X(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,+2k=1(2.2)Z2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .
. . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0При этом ряд (2.2) сходится к f (ϕ) абсолютно и равномерно на ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем ряд∞Xkur (r, ϕ) = −(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) ,k+1rk=1(3.2)взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) = −∞Xk=1kRk+1∞α0 X(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =+2k=1Получаем при k = 0:α0,2это – условие на функцию f (ϕ), а требований на A0 , B0 не накладывает, они могут быть любыми.
На практике это означает, что задача Неймана имеет бесконечное семейство решений,отличающихся на константу.A0 , B0 − произвольны.(3.3)0=c Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)При k ∈ N−k(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,Rk+1откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),Ak = −Ответ:Rk+1αk ,kBk = −Rk+1βk ,kk ∈ N.∞ kXRαk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) = c − R,·rkk=1(3.4)(3.5)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . .
. ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0а функция f (ϕ) удовлетворяет условиюR2πf (ϕ)dϕ = 0 (в противном случае решения в виде0подобного ряда не существует).4. Внутренняя задача III-го рода для уравнения Лапласа вкругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условий0 6 r < R, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(0, ϕ)| < ∞,ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) = f (ϕ).(4.1)Шаг 1.
Решение уравнения Лапласа в кругеДля решения уравнения Лапласа в круге мы уже получили формулуu(r, ϕ) =∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .(1.2)k=0Шаг 2. Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие III-го рода:ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.2).Функцию f (ϕ) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье – на промежуткеc Д.С.
Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)ϕ ∈ (0, 2π):∞α0 X+f (ϕ) =(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,2k=11αk =π(2.2)Z2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)0Z2π1βk =πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0При этом ряд (2.2) сходится к f (ϕ) абсолютно и равномерно на ϕ ∈ [0, 2π].Приравняем рядur (r, ϕ)+hu(R, ϕ) =∞Xkrk−1 (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ))+hk=1∞Xrk (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =k=0= hA0 +∞Xrk−1 (k + hr) (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) (4.2)k=1взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) =∞∞Xα0 Xk−1R (k+hR) (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = +(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)= hA0 +2 k=1k=1Получаем при k = 0:hA0 =откудаA0 =α0,2α0, B0 − произвольно.2h(4.3)При k ∈ NRk−1 (k + hR) (Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),Ak =Ответ:αk,+ hR)Rk−1 (kBk =βk,+ hR)Rk−1 (kk ∈ N.∞ Xα0r k αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) =+R·,2hRk+hRk=1(4.4)(4.5)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .
. . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0c Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)5. N 720 в) Внешняя задача III-го рода для уравненияЛапласа в кругеНайти ограниченную функцию u(r, ϕ) из условийR < r < ∞, 0 < ϕ < 2π; ∆u ≡ 1r (rur )r + r12 uϕϕ = 0,|u(∞, ϕ)| < ∞,0 < ϕ < 2π;ur (R, ϕ) − hu(R, ϕ) = f (ϕ),0 < ϕ < 2π.(5.1)Шаг 1. Решение уравнения Лапласа вне кругаДля решения уравнения Лапласа вне круга мы уже получили формулу∞X1u(r, ϕ) =(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) .rkk=0(1.3)Шаг 2.
Использование краевого условияВ нашей задаче задано краевое условие III-го рода – условие Неймана:ur (R, ϕ) − hu(R, ϕ) = f (ϕ).Оно позволит нам найти коэффициенты Ak и Bk в формуле (1.3).Воспользуемся разложением функции f (ϕ) в тригонометрический ряд Фурье на промежутке ϕ ∈ (0, 2π):∞α0 X+(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) ,2k=1f (ϕ) =1αk =π(2.2)Z2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . . . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . .
.(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0Приравняем ряд∞∞XXk1ur (r, ϕ)−hu(r, ϕ) = −(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ))−h(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =k+1krrk=1k=0= −hA0 −∞Xk + hrk=1rk+1(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) , (5.2)взятый при r = R, к ряду (2.2):ur (R, ϕ) − hu(R, ϕ) = −hA0 −∞Xk + hRk=1Rk+1(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) =∞α0 X=+(αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ)) = f (ϕ)2k=1Получаем при k = 0:−hA0 =c Д.С.
Ткаченко-6-α0,2УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)откудаA0 = −α0,2hB0 − произвольны.(5.3)При k ∈ Nk + hR(Ak cos (kϕ) + Bk sin (kϕ)) = αk cos (kϕ) + βk sin (kϕ) ,Rk+1откуда, в силу линейной независимости функций sin (kϕ) и cos (kϕ),−Ответ:Rk+1· αk ,k + hRBk = −Rk+1· βk ,k + hRk ∈ N.(5.4)∞ kXα0Rαk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)u(r, ϕ) = −−R·,2hrk + hRk=1(5.5)Ak = −где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, .
. . ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,06. Интеграл ПуассонаПоменяв в формуле решения внутренней задачи Дирихле порядок интегрирования и суммирования, представить функцию u(r, ϕ) в виде интегральногооператора от функции краевого условия f (ϕ).Шаг 1. Формальное изменение порядка интегрирования и суммированияНа прошлом семинаре мы получили формулу решения внутренней задачи Дирихле в круге:∞α0 X r ku(r, ϕ) =+(αk cos(kϕ) + βk sin(kϕ)) ,2Rk=1(6.1)где коэффициенты αk и βk определяются из формул1αk =πZ2πf (ϕ) cos(kϕ)dϕ,k = 0, 1, 2, . .
. ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0c Д.С. Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)Подставим выражения для коэффициентов (поменяв в (2.3), (2.4) перменную ϕ на ψ) в формулу (6.1):1u(r, ϕ) =2πZ2πf (ψ)dψ+0Z2πZ2π∞ Xk1r +cos(kϕ) f (ψ) cos(kψ)dψ + sin(kϕ) f (ψ) sin(kψ)dψ =π k=1 R00hi= cos a cos b + sin a sin b = cos(a − b) =Z2π1=2π0=Z2π∞h i1 X r kf (ψ)dψ +cos k(ψ − ϕ) f (ψ)dψ = I =π k=1 R0Z2π12π01=π#Z2π "X∞ r k1f (ψ)dψ +cos k(ψ − ϕ) f (ψ)dψ =πRk=10Z2π "01=2π#h i1r k eik(ψ−ϕ) + e−ik(ψ−ϕ)+f (ψ)dψ = II =2 k=1 R2∞ XZ2π "1+k∞ Xrei(ψ−ϕ)Rk=10"+k∞ Xre−i(ψ−ϕ)Rk=1#f (ψ)dψ =#q=qk =при |q| < 1 =1−qk=11=2πZ2π "1+0∞X11−1=2πrei(ψ−ϕ)RZ2π 1+#rei(ψ−ϕ)1re−i(ψ−ϕ)·+·f (ψ)dψ =−i(ψ−ϕ)RR1 − re Rre−i(ψ−ϕ)rei(ψ−ϕ)+f (ψ)dψ =R − rei(ψ−ϕ) R − re−i(ψ−ϕ)01=2πZ2πR2 − rR ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) + r2 + rR ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) − 2r2· f (ψ)dψ =R2 − rR (ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) ) + r201=2πZ2π(R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r2 ) + 2rR cos(ψ − ϕ) − 2r2· f (ψ)dψ =R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r201=2πZ2πR2 − r 2· f (ψ)dψ.R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r20Шаг 2.