DZ_9K6 (Условия домашних заданий)
Описание файла
Файл "DZ_9K6" внутри архива находится в папке "Условия домашних заданий". PDF-файл из архива "Условия домашних заданий", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Д/з 9 по УМФ для потока К-61. Найти гармоническую функцию u(x, y, z) при r > R, если u|r=R = R2 − z 2 .2. Решить общую внутреннюю задачу Дирихле в трехмерном шаре:(∆u = 0,0 ≤ r < R,u = u(r, θ, ϕ) = ?u|r=R = f (θ, ϕ),Полностью провести все действия методом разделения переменных.3. Вычислить явно функции Лежандра Pnm (t) = (1 − t2 )m/2P11 (t),P21 (t),P22 (t),dmPn (t) дляdtmP31 (t),P32 (t),P33 (t).4.
Вычислить шаровые функции в сферических и декартовых координатах:rP11 (cos θ) cos ϕ,rP1 (cos θ),rP11 (cos θ) sin ϕ,r2 P21 (cos θ) sin ϕ,r3 P32 (cos θ) cos 2ϕ.5. Показать, что шаровая функция u(r, θ, ϕ) = rn Pnm (cos θ) cos mϕ представима в видеmmmn−m d≡ v(r, θ, ϕ) · w(r, θ).P(t)u(r, θ, ϕ) = [r (sin θ) cos mϕ] · rndtmt=cos θ6. Показать, что функция v(r, θ, ϕ) из задачи 5 есть однородный полином степени m от x, y.7.
Показать, что функция w(r, θ) из задачи 5 есть однородный полином степени (n − m) от x, y, z.8. Показать, что шаровая функция из задачи 5 есть однородный полином степени n от x, y, z.Ответы:1.2.R3u(x, y, z) =32px2 + y 2 + z 2∞Xu(r, θ, ϕ) = A0 +An Pn (cos θ) +Amn =(2n + 1)4πZ2π!nX(Amncos mϕ +Bnmsin mϕ) Pnm (cos θ) r nm=1n=1An =!R2 (2z 2 − x2 − y 2 )−.(x2 + y 2 + z 2 )5/2,πZdϕ0Rf (θ, ϕ) Pn (cos θ) sin θ dθ,0(2n + 1) (n − m)!2π(n + m)!Z2πZcos mϕ dϕ0πf (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θ dθ,0ZZ π(2n + 1) (n − m)! 2πsin mϕ dϕf (θ, ϕ) Pnm (cos θ) sin θ dθ.=2π(n + m)! 00ppP11 (t) = 1 − t2 , P21 (t) = 3t 1 − t2 , P22 (t) = 3(1 − t2 ),p3P31 (t) = (5t2 − 1) 1 − t2 , P32 (t) = 15t(1 − t2 ), P33 (t) = 15(1 − t2 )3/2 .2r cos θ = z, r sin θ cos ϕ = x, r sin θ sin ϕ = y,Bnm3.4.3r2 cos θ sin θ sin ϕ = 3yz,15r3 cos θ sin2 θ cos 2ϕ = 15z(x2 − y 2 ).6.Указание: использовать определение Pnm (t).pmУказание: v(r, θ, ϕ) ≡ rm (sin θ)m cos mϕ =x2 + y 2cos mϕ = Re [(x + iy)m ] по ф-ле Муавра.7.Указание: заметить, что5.затемdmPn (t) = α tn−m + β tn−m−2 + γ tn−m−4 + .
. . ;dtmw(r, θ) = α rn−m (cos θ)n−m + β rn−m (cos θ)n−m−2 + γ rn−m (cos θ)n−m−4 + . . . ;далее отдельно рассмотреть случаи n − m = 2k и n − m = 2k + 1.8.Указание: использовать результаты из задач 6 и 7.1.