DZ_4K6 (Условия домашних заданий)
Описание файла
Файл "DZ_4K6" внутри архива находится в папке "Условия домашних заданий". PDF-файл из архива "Условия домашних заданий", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Д/з 4 по УМФ для потока К-61. Проработать и законспектировать вывод фундаметальной формулы Грина:Z Z∂E(y − x)∂u(y)u(x) = E(y − x)∆u(y) dy +u(y) − E(x − y)dSy .∂νy∂νyΩ∂Ω2. В кольце 1 < x2 + y 2 ≡ r2 < 9 на плоскости R2 найти функцию u = u(r) из соотношений:1∆u(r) = ,ru|r=1 = α,u|r=3 = β.Здесь α, β — заданные константы.3. При n ≥ 3 в области r > 1 пространства Rn записать общее решение уравнения Пуассона∆u(r) = r−α с различными α > 0. Указать отличие в поведении решений на бесконечности в зависимости от α.(В случае затруднений разобрать лишь случай n = α = 3.)4.
В шаре 0 ≤ r ≤ R пространства R3 решить задачу теплопроводности с постояннымиисточниками:1 ∂2 ∂u ut = r2 ∂r r ∂r + Q, 0 ≤ r < R, t > 0,|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0,u(r, 0) = T.Здесь Q, T — заданные константы.(Ср. с № 709(а) из [БК].)Ответы:1.См. конспекты лекций.2.u(r) = r + (α − 1) + (β − α − 2)3.4.ln r.ln 31C1+ n−2 + C2(решения ограничены);α−2(α − n)(α − 2) rr1C1α=n=⇒ u(r) = −ln r + n−2 + C2(ограничены);n−2(n − 2)rr1C12 < α < n =⇒ u(r) = −+ n−2 + C2(ограничены);α−2(n − α)(α − 2) rr1C1α=2=⇒ u(r) =ln r + n−2 + C2(растут как логарифмы);n−2r1C1α<2=⇒ u(r) =r2−α + n−2 + C2(растут как степени).(n − α)(2 − α)r∞22R X (−1)k+1Q 2QR2πk−( πkt2)u(r, t) = (R − r ) +T−e Rsinr .6πr k=1k(πk)2Rα>n=⇒u(r) =v(r, t), затем v(r, t) = w(r) + z(r, t),rгде w(r) — решение вспомогательной стационарной задачи.Указание: u(r, t) =1.