DZ_10K6 (Условия домашних заданий)

Д/з 10 по УМФ для потока К-61. Найти гармоническую функцию u = u(x, y, z) в шаре r < 2, еслиu|r=2 = z 4 .Записать результат «как в ответе». Проверить ответ подстановкой в исходное краевоеусловие (потренироваться для контрольной!).2. Законспектировать основные сведения про функции Бесселя. (По книге Бицадзе, Калиниченко «Сборник задач по уравнениям математической физики», приложение IV«Некоторые специальные функции», пп. 2 и 4.)3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «Графическое представление функций Бесселя».I) Построить графики функций J0 (x), J1 (x), J2 (x) на общей координатной плоскости.Взять достаточно большой промежуток 0 ≤ x ≤ l.

Обратить внимание на взаимное расположение нулей; на поведение функций вблизи нуля и при x → +∞. (Использоватьвстроенные в математический пакет функции Бесселя.)II) Сравнить на нескольких графиках поведение встроенной функции J0 (x) с частичными суммами степенного ряда∞X(−1)k x 2k.J0 (x) =(k!)22k=0Поэкспериментировать с малым, средним и большим количествами слагаемых. Убедиться, что есть некое «критическое» значение x = x0 , после которого функцию Бесселяпрактически нельзя восстановить при помощи степенного ряда.III) При x → +∞ сравнить поведение встроенной функции J0 (x) с частичными суммамиасимптотического разложенияr 2π12 · 3212 · 32 · 52 · 72cos x −1 −+− ... +J0 (x) ∼πx42! (8x)24! (8x)41212 · 32 · 52π−+ ....+ sin x −41! (8x)3! (8x)3Взять приближения:r2πа) J0 (x) ≈cos x −πx4r 2π1πб) J0 (x) ≈cos x −+sin x −πx48x4r29π1πв) J0 (x) ≈1−cos x −+sin x −πx2 (8x)248x4(одно слагаемое);(два слагаемых);(три слагаемых);г) очень много слагаемых.Ответ:1.16168P0 (cos θ) +P2 (cos θ)r2 +P4 (cos θ)r4 , откуда573516 81u(x, y, z) =+2z 2 − x2 − y 2 +8z 4 − 24z 2 (x2 + y 2 ) + 3(x2 + y 2 )2 .5735u(r, θ) =1.