М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 8

В частности, для кососимметричного ядра K(z, t) = -K(t, z) всехарактеристические числа ЧJJСТО мнимые: Л = {Зi, rде {З - действительное(см. задачу 148).Ядро K(:t, t) интегрального уравнения называется сшкметричнЬlМ,если выполняется условие K(z, t) = K(t, z) (а � :t, t � Ь).Для интегрального уравнения Фредrольма<p(:t) -ьЛ 1 K(z, t) <p(t) dt(1=О( 1)K(z, t) имеют место следующие теоремы.Теорема 1 .

Уравнение ( 1) имеет по крайней мере одно действительноес симметрИчным ядромхарактеристическое число.Теорема 2. Каждому характеристическому числу Л соответствуетконечное число q линейно неэависимых собственных функций уравне­ния (1), причемq � Л2 В 2 ,Числочисла.qгденазывается рангомВ2 =илиьь11 K2(z, t) dz dt.(1(1кратностью характеристическогоТеорема 3. Каждая пара собственных функций 1p 1 (z), 1р2 (х) , соот­ветствующих различнЬlМ характеристическим числам Л1 :f: Л2 , ортогональна, т. е.ь1 <t>t (z) <p2(z) dz(1=О.62 .Теорема 4. В каждом конечном интерв011е оеи Л находится конечноечисло характеристических чисел. ЧuCЛ()<fn; характеристических чисел,лежащих в интервале -l < Л < l, определяется неравенствомт � t2B2 •В том случае, когда ядро К(ж, t) интегрального уравнения ( 1) явля­ется функцией IРина некоторой однородной задачи Щтурма-Лиувилля ,нахождение характеристиЧесКих чИсел и собственнЫх функций сводится:к решению указанной задачи Штурма-Лиувилля .Прим�р 4.

Найти характеристические числа и собственные функцииоднородного уравнения. 11"У?(ж)1{-Лгдеcos ж �in t , О � ж � t ,cos t stn Ж, t � Ж � 1Г. ,К(ж, t) =,,Решенне..оК(ж, t) Y?(t) dt = 0,•Данное ураанение nредставим в видеер(ж) = Аер(ж)''=�1 K(:t,оt) cp(t) dt + А�А sin ж1�1zК(ж, t) cp(t) dt,cp(t) cos t dt + А cos жоДифференцируя обе части (IS), находим�ср'(ж) = А cos жJо.11'j�cp(t) sin t dt.( 15)r.p(t) cos t dt + Л sin ж cos ж ер(:е) ­'J:- A sin жили'1cp(t) sin t dt - Л sin ж соs ж ср(ж),..ер'(ж)..='л 1cos ж'оcp(t) cos t dt - А sin жПоаторное дифференцирование дает.,ср"(ж) = -Л sin ж1· о11'1..cp(t) sin t dt.cp(t) cos t dt + Л cos 2ж ер(ж)-(16)63 '§ 10.

ХаракtврисТJI/f/ескне чие11а и собственныв функции'11' · ·1 �p(t) sin t dt + .Л sin 2:�: �p(z) =..= Л�р(а:) - (л sin z 1 �p(t) cos t dt + Л cos z 1 �p(t) sin t dt) ,..''•'- .Л cos z•IJ11''Выражение в квадратных скобках равно�p(z) , так что�p"(z) = .Л�р(z) - �p(z).Из равенств(15) и (16) находим , что�p(1r) = о,�р'(о) = о.Итак, данное интегральное уравнение сводится к следующей краевой задаче:!p11(z) - (Л - 1) �p(z) = О,�p(?r) = О,(17)�р1(0) = О.(18)Здесь возможны три случая.общееЛ= О, или .Л = 1 .

Уравнение (17) приниМает ВйД �p1'(z) = О.решение будет �p(z) = С1ж + С2 • Используя краевые условия (18), получим длянахождения неизвестных С1 и С2 систему1)Его-1{ Ct1r + C2 = О,С1 = 0,которая имеет единственное решение С1 = О, С2 = О,гральное уравнение имеет только тривиальное решениеаследовательно,инте­�р(ж) = О.2) Л - 1 > О, или Л > 1 . Общее решение уравнеИШI (17)�р(ж) = с. ch v'Л=1 z + с2 sh .vr::1 z,имеет видоткудаlfl1 (z) = v'Л=l(c, sh v'Л=1 ж + С2 ch v.л - 1 z) .Для нахождения значений С1 и С2 краевые условия дают систему{с, ch ""v:r=I + С2 sh ?rv:r=l = О,.с2 = О.Система имеет единственное решение С1 = О, С2 = О.

Интегральное уравнениеимеет тривиальное решение �p(z) = О. Итак, при .Л > 1 интегральное уравнениене имеет характеристических чисел, а значит, и собственных функций.3) .Л - 1 < О, или Л < l .Общее решение уравнения( 17) будет�р(ж) = с. cos v'I="X ж + с2 sin v'I="X z.Отсюда находим, что.

!р1(ж)=v'I="X( - с, sin v'I="X :t + с2 cos v'I="Xж) .64ГлаваКраевые условия2. Интегральные уравнения Фредгольма(18) в этом случае дают нахождения{ cos 1Гvт=1 + с2 si 1Гv'Т=1 =дляclС1и С2 системуо,n( 1 9).,;г:::-х с2 = о.Определитель этой системыА(Л) = 1 cos 1rv0l Лsin 1rv'f=1:-.л::-х1.Полагая его равным нулю, получим уравнение для нахождения характеристических чисел:л sin v'l=Л1 cos 1rv0i-1rv'Г=Л1= о,(2 0)или vт=-х соs 1Гvт=-х = О. По предположению v'l="X i: О ,cos 1Г.;г=-х = О.

Отсюда находим, что 1rv'l=Л ::::: 2 + 1rn, где11'nnоэтому-любоецелое число. Все корни уравнения ( 20) даются формулойЛn = 1 - (n+ �) 2•При значениях Л = Л,. система (19) принимает вид{ CI с2· O == O,О.Она имеет бесконечное множество иенулевых решений{ с2с! = О,с.где Спроизвольная постоянная. Значит, исходное интегральное уравнениеимеет бесконечное множество решений вида-cp(:r) = Ccos (n + �) :r,которые являются собственными функциями этого уравнения.Итак, характеристические числа и собственные функции данноrо интеграль­ного уравненияЛ,.

= 1 - (n + �y , cp,. (x)= cos (n + �) :r,гдеn-любое целое число.[>Пример 5. Показатъ, что интегральное уравнение с несимметричнымядромK( z, t)=sin 1ГZ cos 1rt,н е имеет характеристических чисел .О � z,t � 1,(2 1)§ 10.Решение.Характеристические числа и собственные функции65Покажем, что уравнение1<p(z)Лj К(:е, t)<p(t) dt,(22)(1где ядро задано формулой(.\ =F0).В(2 1),имеет только тривиальное решение<p(z)= Осамом деле, перепишем уравнение (22) в виде1<p(z)Л sin 1ГZj cos 1rt <p(t) dt.(23 )(1Обозначимс=1J cos 1Гt <p(t) dt;QтогдаПодставив это выражение для<p(z) С.\ sin 1ГZ.<р(х) в обе части (23), получимС..\2 sin 1ГЖС>. sin 1ГZ1J cos 1Гt sin 1Гt dt.оНо1j cos 1rt sin 1rt dt = О;опоэтому СЛ sin 1Г:t ::: О, откуда С = О, а значит,ядро (21) не имеет характеристических чисел.<р(:е)= О.

Таким образом,1>Задачи дл я самостоятельного решенияНайти характеристические числа и собственные функции однородных интеграль­ных уравнений с симметричными ядрами, если эти ядра имеют следующий вкд:1 34. K(ж, t) = l + xt + ж2 t2 , - l � ж. t =::;; l .:e(t - 1) , о � :е =::;; t,1 36 . К(:е, t ) =1 35. K(z, t) =t("' l), t =::;; ж =::;; 1 .{(z + l)(t1 37• К(ж, t) = {(t + l)(xw1 38. К(ж, t) ={_2), о =::;; х =::;; t,2), t =::;; х =::;; 1 .sin x cos t, о =::;; х =::;; t,1Г.SIП t COS Х,t =::;; ж =::;; 2 '{ t(:ez(t + l),+о =::;; ж =::;; t,1), t =::;; :е =::;; 1 .Глава 2. Интегральные уравнения Фрuгольма66sinzcost, O � z � t,(z, t) = { Stn.

t COS z, t � �sinz sin (t - 1), � z � t,1 40. к (z , t ) - { . .Stn t Stn ( 1) , t � �)){ sin (z + � sin (t - � . O � z � t,141 . K (z, t )))sin (t + � sin (z - � , t � z �1 42. K(z, t) e -lz-tl , О � z � 1, О � t � 1.shz, О � z � t,1 43. K(z, t) = { - e=:-е sht, t � z � 1.1 39. кZ_11'.-Z -11'Z11' .=11'.=Теорема Мерсера. Если симметричное L2 -ядро К(х, t) непрерыв­но и обладает лишь положительными характеристическими числами(или не более чем конечным числом отрицательных характеристическихчисел), то рядf:: SOп(X1SOn(t)nn= lсходится абсолютно и равномерно к ядру К (х, t) , так что справедливаформулаК(х , t) =ЗдесьВSOn(x)-f:: SOn(X11,0n(t) .n=lnортонормированные собственные функции ядраК(х, t).общем случае симметричного L2 -ядра К(х, t) билинейный рядf:: SOn(x)son(t)An=lсходится в среднем к ядру К(х, t).nЗадачи для самостоятельноrо решенияИсходя из ра3Ложения ядра K(z, t) интегрального уравнения по собственнымфункциям, показать, что имеют место следующие соотношения:� f: sin n1rz sin n1rt { z(1 - t), О � z � t,1 44.

11'2=t( l - z), t � z � 1.n2n= l§ 10. Характеристические числа и собственные функции67о � х � t,t � х � 1.1 45.1 46. Показатъ, что если �1 • �2 ( �1 # �2 ) суть характеристические числа ядраК(х, t) , то собственные функции уравнений<р(х) - .Лtьj К(х, t) <p(t) dt = О,аt/! (z) - �2ьj К(х, t) t/!(t) dt = Оаортоrоналъны, т. е.ьj <р(х) ф(х) dx = О.а1 47. Показатъ, что если К(х, t) - симметричное ядро, то второе итерированноеядро К2 (х, t) имеет только положительные характеристические числа.1 48.

Показатъ, что если ядро К(х, t) кососимметричное, т. е. K(t, х) = - К(х, t),то все его характеристические числа чисто мнимые.1 49. Показатъ, что если ядро К(х, t) симметричное, то имеет место равенство""1Е _лnт = Ат (т = 2, 3, . . . ) ,n= tгде �n - характеристические числа, Ат -m-eследы ядра К(х, t) .Используя результаты задач 135, 138, 142 и 149, найти суммы следующих рядов:0011 50.Е1 52.Е ( 1 + /Jn2 ) 2 'n=l00n=ln4 '1где !Jn - корни уравнения 2 ctg р = IJ -1/J-•Резольвента симметричного ядра есть мераморфная функция от Л ,которой характеристические числа интегрального уравнения явля­ются простыми полюсами.

Ее вычеты относительно полюсов Лi даютсоответствующие этим значениям Лi собственные функции (при любомзначении t) .для68Глава 2. Интегральные уравнення ФредгольмаЗад ачи для самостоятельного решенияНайти собственные функции интегральных уравнений, резольвенты которыхопределяются следующими формулами :1 53 R (ж, t; ..\) =•3 - ..\ + 3(1 - ..\)(2ж - 1)(2t - 1)...\2 4..\ + 3_(15 - 6..\) жt + (15 - 10..\) ж2 t21 54. R(Ж, t,. ..\) 4..\2 - 16..\ + 15_4(5 - 2..\)[3 - 2..\ + (3 - 6..\) жt} + 5(4..\2 - 8Л+ 3)(3ж2 - 1)(3t2 - 1).1 55• R(ж, t, ..\) 4(1 - 2..\)(3 - 2..\)(5 - 2..\)_·Интегральные уравнения Фредгольма с ядрами,зависящими от разности аргументовПусть имеем интегральное уравнение\1"<р (х) = Л1 К(х -t) �t>(t) dt,(24)-11"где ядро К(х) ( -1r � х � 1r) есть четная функция, периодически продол­жаемая на всю ось Ох, так что{К(х - t) = K(t - х).Можно показать, что собственные функции уравнения (24) суть<р�1 > (х) = cos nx (n = 1 , 2, .

. . ) ,<р�2> (х) = sin nx (n = 1 , 2, . . . ),а соответствующие характеристические числа1Лп = - (n = 1 , 2, . . . ),an'!rгде an - коэффициенты Фурье функции К(х):� 1 К(х)11"an =-11"cos nx dx(n = 1 , 2, . . . ) .Таким образом, каждому значению Лn соответствуют две линейно неза­висимые собственные функции cos nx, sin nx, так что каждое Лп естьдвукратное характеристическое число. Функция �t>o(x) = 1 также является§ 10. ХараКтеристические числа и собсtвенные функции69собственной функцией уравнения (24), отвечающей характеристическомучислу1,Ло =?Гао-где� j K(x) dx.1rао =Покажем, например, чтогрального уравнения_".cos nx/ К(х - t) <p(t) dt,1r1<р(х) = --1ГапгдеanДелая подстановкуесть собственная функция инте­� J К(х) cos nx dx.1r=-11"х - t = z , находимZ-11"1rj К(х - t) cos nt dt = - j K(z) cos n(x - z) dz-11"=cos nx(25)zмj K(z) cos nz dz+sin nx=zмj K(z) sin nz dz = 1Гап cos nx,так как второй интеграл равен нулю в силу четности К(х) , а первыйинтеграл есть умноженный на 1Г коэффициент Фурье an в разложениичетной функции К(х) .Итак,1cos nx = --1Гап1r/ К(х - t) cos nt dt,а это и означает, что cos nx есть собственная функция уравнения (25).Аналогично устанавливаем, что sin nx есть собственная функция ин­тегрального уравнения (25), отвечающая тому же характеристическому1числу - .1Гап70Глава 2.