М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 10

е. Л < -1. Обозначим Л + 1 = -JJ2• Общим решениемуравнеНИЯ (11) будет )О(Ж) :i::: С1 COSJJЖ + С2 sinp:t. Краевые уСЛОВИЯ (12) даЮТсистему{ с, 1,с, cos p + с2 sin p = е.Здесь, в свою очередь, возможны два случая.а) р не является корнем уравнения sin р = О. Тогда1, С2 = е-sш. cosр p,(13)78Тhава 2. Интегральные уравнения Фредгольмаи, следовательно,<р(ж) = COS IJЖ +где1-'е - COS IJ. IJ SiП JJЖ,SШ= ../->. - 1 .б) IJ является корнем уравнения sin JJ = О , т. е.1-'=mr(n = 1 , 2, . .

. ) .Система ( 13) несовместна, а следовательно, данное уравнение (9) не имеетрешений. В этом случае соответствующее однородное интегральное уравнение<р(ж) + ( 1 + n2 1r2)1j К(ж, t) <p(t) dt = О( 14)оимеет нетривиальные решения, т. е. числа >.n = -(1 + n21r2) являются характери­стическими числами, а функции <t'n(ж) = sin n1rж - собственными функциямиуравнения (14).1>З адачи дпя самостоятельноrо решения{{Решить следующие неоднородные интегральные симметричные уравнения:1,..21 65.

<р(ж) - 41 66. <р(ж) +JожК(ж, t) <p(t) dt = 2'1j К(ж, t) <p(t) dt = же"' ,о1 67. <р(ж) - >..1J K(ж, t) <p(t) dt = ж - 1 ,оК(ж, t) =К(ж, t) =j K(ж, t) <p(t) dt = cos2ж,о1 69. <р(ж) - >.1 70. <р(ж) - >.1tj К(ж, t) <p(t) dt = 1 ,о1j К(ж, t) <p(t) dt = ж,о•) { tж--ж,t,К (ж, t =о � ж � t,t � ж � 1.К(ж, t) ={К(ж, t) ={ sin. ж cos t,w/21 68. <р(ж) - 2ж(2 - t), О � ж � t,-2t(2 - ж), t � ж � 1.-2sh ж sh (t - 1)' О � ж � t,sh 1�h t sh (ж - 1)' t � ж � 1:.sh 1К(ж ' t) =sin ж cos t, о � ж � t,11'. t cossшж, t � ж � 2 "о � ж � t,sш t cos ж, t � ж � 11".{ (ж + 1)(t - 3),о � ж � t,(t + l)(ж - 3), t � ж � 1.·79§. 13.

Альтернатива Фредгольмаj K(z, t) lfl(t) dt =.sin z,11'1 71 . lfl(:t) -оt�z�j K(ж , t) lfl(t) dt = sh z,11 72. lfl(ж) -K(z, t)о=1173. lfl(z) - ЛJ K(ж, t) lfl(t) dt = сh ж , К(ж, t)0j lж - tl lfl(t) dt ==={{-е_"sh z,sh t ,1Г.О � z � t,t � z � l.ch : нh (t - 1)sh l'ch t ch (z - 1 )_.;..__..:.. , t � ж �sh l__1...174. lfl(z) - Л1.о§ 1 3 . Ал ьтернатива Фр едгопьмаДля интеrралъных уравнений Фредrольма имеют место теоремы:Теорема 1 {альтернатива Фредгольма).

Нли неоднородное линейноеуравнение 2-го рода<p(z) - Льj K(z, t) tp(t) dt = /(ж)(1)аимеет единственное решение при любой функции /(ж) (из не1Соторо­го достаточно широкого класса), ши соответствующее однородноеуравнениеtр(ж) - Льj К(ж, t) <p(t) dt = О(1)11имеет по 1ерайней .мере одно нетривиальное, т. е.

не равное тожде­ственно нулю, решение.180Глава 2. Интегральные уравнения ФредгольмаТеорема 2. Если для уравнения (1) имеет место первый случай аль­тернативы, то он имеет место и для сопряженного уравненияф(х) - Льj K(t, х) ф(t) dt =аg (x) .(3)Однородное интегральное уравнение (2) и сопряженное к нему уравнениеф(х) - Льj K(t, х) ф(t) dt = О(4)аимеют одно и то же конечное число линейно независимых решений.Замечание. Если функции ip1 (х) , 1р2 (х) , . .

. , ip,. (x) являются решениямиоднородного уравнениято их линейная комбинация(2),"ip(x) = CtiPt (x) + Clipl(x) + . . . + C,.ip" (x) = Е ck/Pk(a:),k=lгде Ck (k = 1, 2, . . . , n) - nроизвольвые nостоянные, также является реше­нием этого уравнения.Теорема 3. Необходимым и достаточным условием существования ре­шения rp( х) неоднородного уравнения ( 1) во втором случае альтернативыявляется условие ортогональности правой части этого уравнения, т .

е.функции J(x) , к любому решению ф(х) сопряЖенного к уравнению (2)однородного уравнения (4):ьj f(x) ф(х) dx = О.(5)аЗамечание. При выnолнении условия (5) уравнение (1) будет иметь бес­конечное множество решений, так как этому уравнению будет удовлетво­рять любая функция вида 1р(х) + �(х) , где <р(х) - какое-нибудь решениеуравнения (1), а �(х) - любое решение соответствующего однородногоуравненияКроме того, если уравнению (1) удовлетворяют функцииIPt(x) и ip2(x), то в силу линейности уравнения их разность ip 1(x) - <р2(а:)есть решение соответствующего однородного уравнения(2).(2).На практике особенно важное значение имеет альтернатива Фред­гольма.

Вместо того чтобы доказывать, что данное интегральное уравне­ние (1) имеет решение, часто бывает проще доказать, что соответствующееоднородное уравнение (2) или сопряженное к нему уравнение (4) имеюттолько тривиальные решения. Отсюда в силу альтернативы следует, чтоуравнение (1) действительно имеет решение .§ 13. Альтернатива Фредrольма3амечаннfl.но, т. е.81I ) Если ядро К(х, t ) интегрального уравнения ( 1 ) симмеrрич-К(х, t) =: K(t, х),то однородное соnряженное уравнение (4) совnадает с однородным уравне­нием (2), соответствующим уравнению ( 1).2) В случае неоднородноrо интеrраль�оrо уравнения с вырожденнымядромь<р(х) Аj [ � ak(x) Ьk (t)] tp(t) dt = f(x)"аусловие (S) ортоrональности правой части этого уравнения дает n равенствьj j(t) Ьk(t) dt = О4Пример 1 .., n).1J(S:c2 - 3) t21p(t) dtlf'(X) - ,\Решение.

Имеем(k = 1 , 2, . .о= ez.tp(x ) = C.\( 5z2 - 3) + е'" ,(6)(7)П одставляя (6) в (7), nолучимс = елоткуда1Jо(St4 - Зt2 ) dt +1J t2e1 dt,оС = е - 2.Данное уравнение при любых А имеет единственное решение2tp (x) == Л(е - 2)(5х - 3) + е"' ,а соответствующее однородное уравнение1<р(х)лj<sx2- 3) t2�p(t) dt == ооимеет единственное нулевое решение: <р(х) =: О.Глава 2 . Интегральные уравнения Фредгольма82Пример 2 .<р(х) - ЛРешение.Имеем1j sin ln x <p(t) dtо=2х.rр(ж) = С>. sin ln ж+ 2ж,1где С = J <p(t) dt. Подставляя выражение <p(t) в интеграл, найдем1С = С>.

1 sin ln t dt + 1,оооткудаc (I + �) = l.>. =/::. -2, то данное уравнение имеет единственное решение<р(ж) = 2 2>.+ >. sin ln ж + 2ж;соответствующЕсли--ее однородное уравнение1<р(ж) - >. 1 sin ln ж <p(t) dt = Оимеет только нулевое решение: <р(ж) = О.Если же >. = 2 то данное уравнение не имеет решений, так как праваячасть f(ж) = 2ж не ортогональна к функции sin ж; однородное уравнениеимеет бесконечное множество решений, так как из уравненияопределения С( О · С = О) следует,Спроизвольная постоянная; все эти решения даютсяформулой<р(ж) = ё sin ln ж (ё = -2С).о-1n,чтодля-·1>Пример З .11"<р (х) - ЛРешение.J cos (а: + t) <p(t) dtо=cos За: .Перепишем уравнение в виде11"<р(ж) - >.

j(cos ж cos t - sin ж sin t) <p(t) dt = cos Зж.оОтсюда имеем<р(ж) = С1 >. cos ж-C2 J.. sinж+ cos Зж,(8)83§ 13. Альтернатива Фре.о.гольмагде·с2 jj �P(t) cos t dt,"С1 ="=о�P(t) sin t dt .оПодставляя (8) в (9), получим(9 )j(С1Л cos t - С2Л sin t + cos Зt) cos t dt,"С1 =оС2 =j(С1Л cos t - С2Л sint + cos Зt) sin t dt,"ос1 (1-Л j )"оJ cos t sin t dt"-С1 Лоили..j sin t cos t dt = j cos Зt cos t dt,..l + Л J sin 2t dt) = f cos Зt sin t dt,"cos 2t dt + С2 Л({с�(�-л�) =О,с2(1 +Л�)=1-л!о+ С2"ооо(1(})о.Определитель этой системы равен2�(Л) =с.

1) с2оо.1rl + Л22Л # ±- (�(Л) # 0) , то система (10) имеет единственное решение1r= о,= о, следовательно, данное уравнение имеет единственное решение'Р(ж) = cos Зх, а соответствующее ему однородное уравнениеECJIИ..�Р(х) - Л j cos (z + t) 'P(t) dt = Ооимеет только нулевое решение: !p(z) = О.{с,с2.22) Если Л = - , то система (10) nринимает вид1r· 0 = 0,2 = о.(11)84Глава 2 .

Интеrральные уравнения ФредгольмаС2 = О, С = С, С <р(х) = -2 С · cosx cos Зх,<p(x) = C· cosx +cosЗx (С 2:" ) .·Отсюда следует, чтоа 1rдепроизвольная постоянная.Данное уравнение будет иметь бесконечное множество решений, которые даютсяформулой+1Гилисоответствующее однородное уравнение ( l L) имеет бесконечное множество ре­шений:<р(х) = ё · cos х..Л = - -2 , то система ( 10) принимает вид{ 2 · С = 0,О·С2 = О,откуда С, = О, С2 = С, где С - произвольмая постоянная.Общее решение данного уравнения имеет вид2 sin х + cos Зх,<р(х) = -С·3) Если1Г11Гили<p(x) = C·sinx+ cos Зx (ё = 2� ) .В этом примере ядро К(х, t) = cos (х + t) заданного уравнения симметрично:К(х,t) = K(t, х); правая часть уравнения, т.

е. функция f(x) = cos Зх, ортого­нальна к функциям cos х и sin х на отрезке [О, 11').[>З адач и дnн с амостоятельного решенияИсследовать на разрешимость при различных значениях параметраинтегральные уравнения:..<р(х) -.Л J cos 2х y?(t) dt = 1 .2\t .1 77. <р(х) - Л J l x - 1rl <p(t) dt х.1 75.оо1 79.1f11 76.<р(х) - Л J xe1<p(t) dt = х.-111 78.<р(х) - .Л J(x2 - 2xt) <p(t) dt = x3 -x.-1Л следующие<р(х) -Л J(2xt-4x2) <p(t)dt = 1-2х.о85§ 13. Альтернатива Фредгольма2r<p(z) - ,\ j ( ; cosz cost + ; sin 2z sin2t) <p(t) dt = sinz.180.о181.1ch z sh t, О � z � t,<p(z) - ,\ 1 K(z, t) <p(t) dt = 1 , где K(z, t) = { cht· sh � , t -'":::: z ::::-'" 1 .о·wПример 4. При каких значениях параметров а и {3 разреш имо инте­гральное уравнение<р(х) = >.1j xt2<p(t) dtо+ ах + {3 ?(12)Решение.

Если ,\ не является характеристическим числом ядра K(z, t) =zt2, то уравнение (12) разрешимо при любой правой части, т. е: при любых а и fЗ.Рассмотрим однородное интегральное уравнение1<p(z) = ,\ j zt2<p(t) dt,о( 13)соответствующее данному уравнению (12). Решая (13), как уравнение с вы­рожденным ядром, найдем, что ,\ = 4 есть характеристическое число этогоядра. Собственная функция, отвечающая характеристическому числу ,\ = 4, есть<p(z) = z (с точностью до постоянного множителя).Рассмотрим однородное интегральное уравнение, сопряженное уравне­нию (13):1ф(z) = 11 1 tz2ф(t) dt.о( 1 4)Характеристическим числом этого уравнения является 11 = 4.