М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 11

Собственнойфункцией уравнения (14), отвечающей этому характеристическому числу, бу­дет ф(z) = z2• Поэтому леоднородное уравнение (12) при ,\ = 4 будет разрешимотогда и только тогда, когда11(аж + f3)z2 dz = О,оилиЗа + 4f3 = О.(15)Рассмотрим, например, уравнение1<p(z) = 4 J ze<p(t) dt + z + 1.о( 16)86Глава 2. Интегральные уравненii!Я Фредгольма5Здесь а 1, {3 = 1, так что условие (1 ) не удовлетворяется: уравнение (16)неразрешимо. Пусть теп�рь имеем уравнение3<р(х) 4 J xt2 <p(t) dt + х - 4 '( 1 7)о5где а = 1, f3 - 43 . Лри этих значениях параметров а и f3 условие (1 ), очевидно,выполняется и, значит, уравнение ( 17) разрешимо.

Его решение имеет вид====1==3<р(х) = 4Сх + х - 4==3С1 х - 4 ,г;-.:е Ci - произвольпая постоянная, откуда, в соответствии с общей теорией,видно, что решение уравнения ( 17) не единственно.1>З адачи для са мостоятельного решенияПри каких значениях параметров разрешимы следующие интегральные уравне­ния?1 82. <р(х) = .\1 83.

<р(х) = .\1 84. <р(х) = .\1J xt<p(t) dt + ах2 + {Зх +-11' ·1j(х + t)<p(t) dt + ае" + {Зх.оw/2j xt<p(t) dt + ах + {3 sin х.оНефредгольмовы интегральные уравненияЕсли в интегральном уравнении1 К(х, t)<p(t) dtь<р(х)=/ (ж) + Лядро К(х, t) удовлетворяет условиюа1 1 К2(х, t) dx dtьа(18)ь<+оо(19)а(а, Ь могут быть и бесконечными) , то для уравнения (18) справедливытеоремы Фредгольма.j'1§13. Альтернатива Фредrольма87Если условие ( 19) не выnолнено, то у интегрального уравнения ( 1 8)характеристические числа могут заnолнять целые интервалы и могут бытьхарактеристические числа бесконечной кратности.

Поэтому такИе урав­нения называют часто нефредгольмоеыми интегральными уравнениями.Задачи дпя самостоятельного решения1 85. Показать, что интеrральное уравнение4р(�)+оо.... 1 e-"'t4p(t) dt = /(�)оявляется нефредrольмовым.1 86. Показать, что интеrральное уравнение�Р(�) = ЛQQ1 4p(t)sinжtdtоимеет характеристические числа Л = :i:: {!_ бесконечной кратности,соответствующие собственные функции. У ;ннайти1 87. Показатъ, что интеrральное уравнение с ядром ГанкеляOQср(ж) = Л 1 J11(2VZt)cp(t) dtобесселева функция 1-ro рода порядка v) имеет характеристические(гдечисла Л = :i:: l бесконечной кратности, и найти соответствующие собственныефункции.J11(z)-1 88. Показать, что для интеrральноrо уравненияzлюбое число Л, для которого одно из значений n+� имеет положительНУЮдействительНУЮ часть, является: характеристическим числом.1 89.

Показать, что щпеrральное уравнение Вольтерраzср(ж) = Л 1 О - ;)cp(t) dt()имеет бесконечное множество характеристических чисел Л = � + iq, где точка(�, q) находится вне параболы � + q2 = О .88Глава 2. Интегральные уравнения Фредгольма§ 1 4 . Построение функции Грина дпяобыкновенных дифференциал ьныхуравненийПусть дано дифференциальное уравнение n-ro порядкаL [yJ = Ро (х) Y (n) + Pt (x) y<n-I) + . . . + P (x) У = О,(1)nгде функция Ро(х) , Pt (х ), . . . , P (x) непрерывны н а [а, Ь] , ро{х) f Оnна [а , Ь) , и краевые условияVk(Y) = aky(a) + а�1)у'(а) + .

. . + akn - t ) y(n-t )(a) + fЗkу(Ь)++ /Зkl )у'(Ь) + . . . + /Зkn - l ) Y( n- I ) (Ь)где линейные формы Vi , . . . , Vn оту( а) , у'(а), . . . , y(n-t ) (a),(k = l, 2, . . . , n) ,(2)у(Ь), у'(Ь), . . . , y(n- I )(Ь)являются линейно независимыми.Предnолагаем, что однородная краевая задача ( 1)-(2) имеет толькотривиальное решение у(х) = О.Оnределение. Функцией Грина (функцией влияния) краевой за­дачи (1)-(2) называется функция G(x, �) . построенная для любойточки � . а < � < Ь, и имеющая следующие 4 свойства:1° . G (x, {) неnрерывна и имеет непрерывные nроизводные по хдо (n - 2) -ro nорядка включительно при а � х � Ь.2" . Ее (n - 1)-я производпая по х в точке х = { имеет разрыв 1-ro1рода, nричем скачок равен - , т.

е.Ро (� )".on - I G(x, �)1on- I G(x, �).дxn - tдx - t= = =(З)nх � - о Ро Юх нокаждом из интервалов [а, �) и ({, Ь] функция G (x, {) , рассма­триваемая как функция от х , является решением уравнения (1):113". ВL [ G] = О.4., . G(x, �) удовлетворяет граничным условиям (2):Ytc (G) = О(k = 1 , 2, . . . , n) .(4)Теорема 1 . Если краевая задача (1)-(2) имеет лишь тривиальноерешение у(х) = О, то оператор L имеет одну и только одну функциюГрина G (x, �).89.§ 14. Построение функции ГринаДоказательство.у 1 (х), У2(х), . . .

, у,.(х) - линейно независи­L[y] = О . Тогда в силу свойства 3° искомаяинтервалах [а, �) и (� , Ь] должна иметь следуюше еПустьмые решения уравненияфункцияG(x, �)напредставление:иG(a:, �)Здесьа1 , а2 ,• • •ность функцииЬ 1У1 (х) + Ь2У2 (х) + . . .+Ь,. у,. (х)при� < х � Ь., а,. , Ь1 , Ь2 , , Ь,. - некоторые функции от � . Непрерыв­G(a:, {) и ее первых n - 2 производных от х в точке а: = {• • •дает нам соотношения(Ь!УI({) + . . . + Ь,.у,. ({)] - [а ,у! ({) + .

. . + а,.у,. ( {)} = О ,[Ь , у{ Ю + . . . + ЬпУ� Ю] - [a t yj (�) + . . . + а,.у� (�)] = о,2[Ь , у�n- ) Ю + . . .а условие+2n 2n 2Ь,.у�n- ) Ю] - [aty� - ) IO + . . . + a,.y� - ) (�)]о,(3) принимает вИдь ( 1[ IYtn - ) ({) + . .•+Положим с�: Ю =(n l t JЬnY - )( .. )nЬk({) - а�:({) (k = 1, 2, . . . , n) ,ck (�) :тогда получим системулинейных уравнений относительноC! Yl (�) + C2Y2I0 + . . .

+ с,.у,.({) = О,C1 yj ({) + с2у� ({ ) + . . . + с,.у�(�) = 0,nCt Y:n -l)IO + C2Y�n -l) ({) + . . . + c,.y� -l) ({) = О ,(n- 1(n 1l(n 1Ct Y1 ) ({ ) + С2У2 - ) ({) + + Cn Yn - ) ({ ) =Ро ({)· · ·(5)·(5) равен значению вронскиана W(y1 , У2, у,.)х = { , а потому отличен от нуля. Поэтому система (5) однозначноопределяет функции ck({ ) (k = 1, 2, .

. . , n) . Для определения функцийak({) и ЬkЮ воспользуемся краевыми условиями (2) . Запишем Vk(Y)Определитель системы• • • •в точкев вИдегде(6)90Dlaвa2 . Интегральные уравненИR ФредгольмаТогда в силу условий(4)п олучимVi: (G) = a , A�r,(Yt) + a2A�r,(y2) + . . . + anAk(Yn) ++ Ь,Bk(yt ) + Ь2В1:(112) + . .

. + ЬnBk(Yn) = ОУчитывая, что а1 = Ь�r. - с�; , будем иметь(k = 1 , 2, . . . , ,,(Ь, - c,)A�:(Yt) + (Ь2 - с2)А�:(У2) + . . . + (Ьп - еп )АТс(Уп) + Ьt B�:(Yt) + rОтсюда в силу( 6)+ Ь2В�:(у2) + . . . + Ь11В�;(Уn) = О (k = 1 , 2, . . . , n) .Ь, V�:(Yt) + Ь2 Vi: (y2) + .

. . + Ьп V�r.(Yп) == с,АТс(Уt ) + с2А�:(у2)+ . . . + enA�r.(Yп) (k = l , 2 , . . . , n) .(7)Заметим, что система (7) является линейной относительно величинbt , . . . , Ь11 • Оnределитель этой системы отличен от нуля:Vt (yJ)V2(Yt )Vn(Yt )Vi (У2)V2(112)Vn(Y2)..····· · ·Vj (Yn)V2(Уп) #: О,Vn(Yn)в силу нашего nредп оложения о линейной независимости формV:z, . . . , Vn .V1,Следовательно, система уравнений (7) имеет единственное реш ениеносиоттельно Ь1 (�). �(�) • • • • , ЬпЮ , а так как а�:(�) = Ь1:Ю - с�:Ю , тои величины аа (�) (k = l , 2, .

. . , n) оnределяются однозначно. Тем са­мым существование и единственность функции fРнна G(a:, �) доказаны,•и одновременно дан метод ее nостроения.Замечанне 1. Если краевая задачаГрина является симметричной, т. е.(l)-(2) самосоnряженная, то функцияG(ж, �) = G(�. ж).Сnраведливо и обратное утверждение.Замечанне 2. Если на одном из концов отрезка [а, Ь) коэффициент nристаршей производной обращается в нуль, например, P�J(a) = О, то ставит­ся естественное граничное условие ограниченности решения при z = а ,а на друтом конце задается обычное граничное усЛовие (см.

ниже nример 2).Важный частный случайРассмотрим построение функuии rt>ина2-ro порЯдка видауравнениядлядифференциального(р(а:)у' ) ' + q(ж)у Ор(а:) #: О на [а, Ь), р(ж) Е с(0[а, Ь] ,=,(8)91§ 14. nостроение функции rринас граничными условиямиПредположим, что у1 (х)начальными условиямиу( а) = у(Ь) = О.есть(9)решение уравнения (8), определяемоеЭто решение, вообще говоря, не обязано удовлетворять второму гранич­ному условию, поэтому мы будем предполагать, что у1 (Ь) :/= О .

Но функ­ции вида С1у1 (х), где С1 - произвольная постоянная, очевидно, явля­ются решениями уравнения (8) и удовлетворяют граничному условиюу(а) = О .Аналогично находим иенулевое решение у2 (х) уравнения (8), причем:такое, чтобы оно удовлетворяло второму граничному условию, т. е.У2 (Ь) = О.Этому же условию будут удовлетворять все решения семейства С2 у2 (х) ,где С2 - произвольная nостоянная .Теnерь функцию fРина для задачи (8)-(9) ишем в видеG(x �) =•'{ СС1у21121 (х)(х)nри а � х � �.при { � х � Ь,( lO)причем nостоянные с, и С2 выберt\М так, чтобы выnолнялись свой­lo и 2° , т . е. чтобы функция G(x, �) была непрерывна по х nрификсирОванном {, в частности, непрерывна в точке х = {:с:rва1и чтобы G�(x, {) в точке х = � имела скачок, равный р( ) :{С2У2 ({) - с, у, Щ = р (.;) ·111Перепишем дВа nоследних равенс:rва так:(11)Определитель системы ( 1 1) есть оnределитель ВронскогоW(y1 (x) , 1J2 (x)J = W (x),Глава 2.

Интегральные уравненЮt Фредгольма92вычисленный в точке х = � � для линейно независltмых решений Yl (x)и у2(х) уравнения (8), а значит, он отличен от нуля:W ({) :f= O,так что величины С1 и С2 из системыУ2 (�)cl =p(�) WI0 '(11) немедленно определяются:С2 =YI IOPIO WIO 'Подставляя выражения для С1 и С2 в ( 10), окончательно получимG(x, �) ={У1 (х) Y2I0р(�) WIO 'YI (�) У2(х)р(�) wю '(12)Замечание 1. Выбранные нами решения у1 (х) и у2 (х) уравнения (8)являются линейно независимыми в силу предположения, что у1 (Ь) # О.В самом деле, все линейно зависимые от у1 (х) решения имеют видС1у1 (х) , и, следовательно, при С1 # О не обращаются в нуль в точке х Ь,в которой, согласно нашему выбору, обращается в нуль решение у2 (х).=Замечание2.

Краевая задача для уравнения 2-ro порядка вида++(13)у" (х) P 1 (z) y'(z) P2 (z) y(z) = Ои краевых условийу(а)= А,у(Ь)=В( 1 4)сводится к рассмотренной задаче (8)-(9) так:1 ) Линейное уравнение (13) приводится к виду (8) путем умножения ( 13)на p(z) e/Pt(z)dz (в качестве q(z) надо взять p(z)p2 (z)).2) Краевые условия ( 14) сводятся к нулевым условиям (9) линейной заменойискомой функции=z(x)= у(х) - -Вь -- аА (z - а) - А.При этой замене линейность уравнения (13) не нарушается, но в отличиеот уравнения (8), теперь получаем уравнение с правой частью L[z] f(x) ,где=f(z)= - [А+ ВЬ -- аА (z - а)] q(z) - ВЬ -- аА p(z)p1(z) .Однако функцию Грина мы строим для однородной краевой задачи L[ z]z(a) = z(Ь) = О , которая полностью совпадает с задачей (8)-(9).= О,§ 14.

Построение функции Грина93Пример 1 . Построить функцию rрина АЛЯ однородной краевой задачиy 1v (x) = 0,( 1 5){у(О) = у' (О) = О ,( 16)у( 1 ) = y' (l) = о.Решение. Сначала покажем, что краевая задача (15)-(16) имеет лишь три­виальное решение. В самом деле, фундаментальная система решений для уравне­ния (15) естьу, (х) = 1 , У2 (х) = х, Уз (х) = х2 , у4(х) = хз ,(17)так что его общее решение имеет виду(х) = А + Вх + Сх2 + Dхз ,где А, В, С, Dпроизвольные постоянные. Краевые условия (16) дают намчетыре соотношения для определения А, В, С, D:у(О) = А = О,у'(о) = в = о,y(l) = А + В + С + D = О,у'(1) = В + 2С + 3D = О.Отсюда имеем А = В = С = D = О.Итак, задача (15)-(16) имеет только нулевое решение у(х) = О, а значит,для нее можно построить (и притом единственную) функцию I}шна G(x, {) .Теперь построим функцию Грина.

Используя фундаментальную системурешений (17), представим искомую функцию Грина G(x, {) в виде( 18)G(x, {) = а1 · 1 + а2 х + аз · х2 + а4 хз при О � х � {,G(х, {) = Ь1 · 1 + Ь2 · х + Ьз · х2 + Ь4 · хз при { � х � 1 .(19)где а , , а2 , аз , а4 , Ь1 , Ь2 , Ьз , Ь4пока неизвестные функции от { . Положимck({) = Ьk({) - ak({) (k = 1 , 2, 3, 4) и выпишем систему линейных уравнений длянахождения функций ck({) (см. систему (5)) :с, + с2{ + сзе + с4{ = О,с2 + сз · 2{ + с4 3{ = О,сз · 2 + с4 · 6{ = О,с4 6 = 1.Решая эту систему, получим-·{·-:·•(20)Далее воспользуемся свойством 4• функции Грина, а именно тем, что она должнаудовлетворкть краевым условиям (2) , 'f .