М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 7

Интегральные· урttвненн5Т · �52Пример 1 . Решить интегральное уравнениеtp(x)j (х1f.Л-cost + t 2 sin х + cos х sin t)tp(t) dt = z.(9)-'lfРешение.Запишем уравнение в следующем виде:y:>(;r} = Лх j l"(t) cos t dt + A sin x j t2tp(t) dt +�-.-J y:>(t) cos t dt;,.С1 =С1 , С2 , С3-j t 10(t) dt;..с2 =_,.rдеА соs жу:>(х)ПодставляЯ выражениеС1==(ЩС3 =_,.-rнеизвестные щк:тоянные. Тоrда1 \O(t) sin t dt,..2в равенства1 (Ct>.t(10),+(10)(9) примет видc: Лx+ C2.\ sin x + C3..\ cos z + х...+ ж.-.-_,.Введем обозначения:/ l"(t) sin t dt�к(11)nолуЧИмС2 Л sin t + СзЛ cos t + t} cos t dt,-.-I(C1>.t..С22+ С2Л sin t + Сз>. cos t + t) t dt,j(C, >.t + С2 Л sin t + СэЛ cos t + t) sin t dt,..Сэ ==-.-или( Л j t cos t dt) - С2Л j sin t cos t dt - С3>.

j cos t dt = 1 t cos t dt,С1 1к�w-,---кj t3 dt,J t dt + с2 ( 1 - 1 t sin t dt) С3>. j1 t sin t dt - С2 >. j sin 2t dt С3 (1 - 1 cos t sin t dt) 1 t sin t dt...-с1 л..3,\r- С1 .\�2Вычисляя входящие в"2�r+{этиt 2 cos t dt =>...�=уравнения интегралы, мы получим систему алrебраи­ческnх уравнений для нахождения неизвестныхС1 , Съ С3:Ct - Л'II"Сз = О,С2 + 4Л'11"Сз = О,- 2Л'II"Ct - Л1rС2 + Сз = 2'11".( 1 2)§ 9.

J1нтегральные уравнения с вырожденным ядром53Оnределитель этой системыСистема( 12)А(Л) :::::lоо-2Л1Г -Л1rимеет единственное решение2= 2Л2Л21Г 1Г2 ;Cl1+CzПодставляя найденные значенияинтегрального уравнения:2= - 8Л2Л1r21Г2 ; Сз = 211'2Л21Г2 .С1, С2, С3 (ll),1+1 +вполучим решение данного1>Задачи дпя самостоятельного решенияРешить следующие интегральные уравнения с выроЖденными ядрами;111.r/2ip(x) -4 J sin2:tv>(t) dt = 2x -1Г.1 1 2.-1о1 1 3.rp(� - / earcsin "rp(t) dt = tgz.1r/4rр(ж) - .Л J tgt<p(t) dt= ctgz.rp(z) -.Л j cos(qlnt)rp(t)dt= l.11 1 4.о-'К/4rp(z) - j arccos t rp(t) dt = . �.z21"1 1 6. rр(ж) .:...

.л J (tn �) rp(t} dt 1 (р > - 1).11 1 5...\vl -оо/<х t - t х) <p(t) dt = �(1 - 4z) .11 1 7. rp(x) - .ЛJn1nо1 1 8.r/2rp(x} - .\ j sin�Ccost<p(t)dt=sinж. 1 1 9. <p(ie)-Л j i?Г -tlsinжrp(t)dt=x.ооrp(z) - J sin (i!: -t) rp(t) dt = cos"1 20.21r;\ох..Dmвa . 2.54121 . уф:) - �1 22. у:.(ж) -�j(sin�1а:Интегральные ураанеt;�ия: ФPfЩJ)RI:IМScos t� j [r: - �-1.- sin 2z cos 2t + sin Зz cos 3t) y:.(t) .dt = cos z.]�.(3t2 - 1) + t(3a:2 - 1) y:.(t) dt == l J§ 1 о. Характеристические числ аи собственные функцииОднородное интеrральное уравнение Фредrольма�(ж) - Л2-ro рода/1J К(ж, t) �(t) dt = О(1 )4всегда имеет очевидное решение �(а:) : О , которое называют нулевым(тривиальным) решением.Значения параметра Л, при которых это уравнение имеет иенулевыерешения �(х) � О, называются характеристическими числами t ) уравне­ния (1) или ядра К(ж, t), а каждое иенулевое решение этого уравненияназывается собственной функцией, соответствующей характермстическомучислу л.Число Л = О не является характеристическим числом, так как при=Оиз (1) следует, что �(ж) = О .ЛПример.

Критическая скорость вала .Известно, что nри векОторой величине скорости вращения вала, которая.называется критической, 1laJI начинает колебаться: около своей продольной оон.Для определения: критических скоростей вала используется следующий фактиз теории уnругих балок: для любой уnругой балк.и при проиэвольных условияхна ее концах всегда существует функция: влияния: G(a:, €), описывающая. откло­нение балк.и в данном напраВJJении, например, в направлении оси Оу (рис. 4 ) ,в произвольной точке M(z) балки, вызванное единичной нщруэкой, nриложен­ной в дl)уrой точке N(() балки и действующей в выбранном направлении.Вследствие nрннципа взаимности Бетти- Максвелла в теории уnругостифунtщия: влияния G(ж, () является симметричной, т.

е.G(z, �)=G(�, ж) .1 ) В отличие от характеристическоrо числа, будем называть со6стннным значение.:квеJIИ'IИну t1' = , где � - характеристическое число.f55§ 10. ХараmрисrйЧеские числа и собсrsенlfЬ!е:ФmкцииПустьp(z)есть неnрерывное расnре­деление наrруэюr , вд:о.ць бSJIIOI . Тоrда на-rрузха между х и :е + d:e равна р(z) dz.Из принцила суnерnозиции в теории уnру­rости следует, чтоотОТЮlонение .

оси балхиположения равновесия .:выраэim.:яy(z) =1 zО11 G(x, �)p(f)оd€ (О �:tтах:1у� l).Рис. 4В случае :ьращающе,rося вохруr оси Ох с уrловр1t щсор.щ;д.ю tJной плотностьюp(z)' ·расnределение наrрузхи будетp(:r:) = �V2р(ж)у(�),'есть оТХЩ'Iнение центра тяжести «ЧеНЩt, С<'Юl'ВСТС'mующеrо коорди­Подста1WIЯ выражение для p{z) в nолученное уравнение, будем иметьy(z)нате z.гдевала.с линей··.1 G(:e, €)�J(€)y(€)1у(ж ) = UJ2или, обозначаяUJ2 = >. ,у (ж) = .:%о11оd{(О � ж( 1),G(ж, �)PI0tt(€) d{ (О � :е ( 1).'.Таким образом, задача о нахождении критической скорости:' вращающеrосявала свелась к нахождению значений.Л,nри которых последнее уравнение·неиулевое решение.нмесr1>Если ядро К(ж, t) неnрерывно в квадРате Л {а ( ж, t ( Ь} илисуммируемо с квадратом в Л, nричем числа а и {1 конечнщ, то каждо­му характеристическому числу Л соответствует конечное число линейнонезависимых собс:rвенных функций; число TBКI:IX функций называет­ся рангом характеристического числа.

Разные характеристические числамогут иметь разные ранrи.Для уравнения с вырожденным ядром'IP(�) - Лъj [ 1;а-.]аrс(ж) Ьrc(t) 1,0(t) dt = О(2)характеристические числа являются корнями алгебраического уравнения-Ла1пl - >.а н-Ла 12-Ла2п..:.. ла11 1 - Ла22(3)= 0,�(.\) =-Лап \l - Лй.пп56Глава 2 . . Интегральные уравнення.

Ф{Х!IД�асtеnень которогоной системыр�n.ЗдесьА(Л)-оnределитель однородной линей­- ..\a 1 1)Cr- Ла12С2 - . . . - Лa,nCn = О,2���·2·1 �1. : ·(·1· � :�� .>.�: .�.·::. � �����n. � ..-Лап1С1 - Лап2С2 - . . . + (1 - Лам)Сn = ,0,amk и Cm (k, т = l, 2, . . . , n) имеют тот же{ (l�·(4)где величинысмысл, чтои в nредыдущем nараграфе.Если уравнение (3) имеет р корней ( 1 � р � n), то интегральноеуравнение (2) имеет р характеристических чисел; каждому характеристи­ческому числу Лт (т = 1, 2, .

. , р) соответствует иенулевое решение.с'(р) , с2(р) ,. . . ,сn(р>__.Лрсистемы (4). Соответствующие этим решениям иенулевые решения ин­тегрального уравнения (2), т. е. собственные функции, будут иметь видnn2<р1 (а:) = 2: C�l )a�;: (a:), . <р2 (а:) = 2: Ck )aA: (:t),k=lk=ln. . . ' <рр(а:) = 2: ci;)a�e(a:) .k=lИнтегральное уравнение с вырожденным ядром имеет не более n харак­теристических чисел и соответствующих им собственных функций.В случае nроизвольнаго (невырожденного) ядра характеристическиечисла являются нулями оnределителя Фредгольма D(Л), т.

е. nолюсамирезольвенты R(a:, t ; Л) . Отсюда, в частности, следует, что интегральное:1'<р(а:) '- Л J К(х, t) <p(t) dt = О, где К(х, t) Е L2 (Л0),оt � а}, не имеет характеристических чисел (для него D(.Л.) =уравнение ВольтерраЛо { О � ж,см. задачу 108).е-А,л ,Замечание.Собственные функции оnределяются с точностью до nостоян­ного множителя, т.

е. еслиtp(x)- собственная функция, соответствующаяCtp(x) , где С - nроизволь­пекоторому характеристическому числу .Л, то ипая постоянная, тоже является собственной функцией, соответствующейтому же характеристическому числуЛ.§ 10. Характеристические числа и собственные функции57Пример 1 . Найти характе ристические числа и собственные функцииинтегрального ура вненияj(cos 2х cos 2t1frp(x)ЛЗх cos 3t)rp(t) dt :== О.+ cosоРешение. Имеемtp(r)Вводя....:::: Л cos 2z J tp(t) cos 2t dt + Л cos Зж J tp(t) cos 3t dt.QообозначенияJ tp(,'t) cos 2t.."Ct =dt,С2обудем иметь�р(а:) =Подставляя1 <p(t) cos 3t dt,о(5)'C1>..

cos 2z C2J\ cos+(6)3:�:.(б) в (5), nолучим линейную систему однородных уравненийс,....( 1 cos cos 2 dt) - с2лl cos зt cos 2t dt1-ло-СtЛ..2tt..о""'о,1 cos 5t dt С2 ( - f cos 3t cos 3t dt) ::::::: О.1+>..ооТак=как(7)..."J cos 2t cos 2t dt = � ' 1 cos 3t cos 2t dt = О,о..:rоj <:os 5t dt = О, /cos 3t cos Зt dt = �'отоосистема (7) nримет вид(8)58Уравнение для нахождения характеристических чисел:1Л1i-о4Лr = 0.1-т.\1 = -,4 Л2 = -.8(8)Л = -4� · С1 = 0,-2 · С2 = О'2х,С2 = О,С1.ЛС1= 1 ,ip1(x)=С1Лсоs2cosip1(x) = ж..Л = -8(8){ (-1) ·С1 = О,О·С2 = О,С1Зж,= О, С2 с2.л = 1 ,фун1Р2(ж) =с2л cosИтак,IP2(x) = cos Зх.ЛI = -,4оХарактеристические числа:1rПриоткудаили, полагая:Приоткудасистема1r1r{nринимает видnроизвольно. Собственная: функция будетполучим1rсистемаnpm!eт видпроизвольно, и, значит, собственная:ИЛИ, полагая:кция будетnолучимхарактеристические числа:1(соответствующие им собственные функции:ip1 (ж) = cos 2z, iр2(ж) = cos Зж.Однородное интегральное уравнение Фредrольма может вообще не 'ИМетьхарактеристических чисел и собственныхфункций,JIИбо же может не иметьдействительных характеристических чисел и собственных функций.Пример 2.

Однородное интегральное уравнение�p(z) - ,\fie1jо(Зz - 2)t�p(t) dt = Оимеет характеристических ч исел и собственных функций.В самом деле, имеем1p(z)1= .Л(Зх - 2) j tip(t) dt.оt>§ 10. Хврактернсrическме числа и собСтвенные фуикцннПолагая:с=nолучимПодставляя: (10) в59 ·11 ti(J(t) dt,(9)оI(J(z) == СЛ(3z - 2).(10)[t - .\ J(зt2-2t) dt] · С = О.( 1 1)(9), nолучим1оНо так какJ(3t2 - 2t)1оdt= о,...\то уравнение (11) дает С ::: О, и, следовательно, l.fJ(z) =i О.Итак, данное однородное уравнение nри любых имеет только одно ну­левое решение l.fJ(z) = О, а значит, оно не имеет характеристических чисели собственных функций.t>•·Пример З. Уравнениеtp(z) - Л1j (v'Ж t - v'i х) cp(t) dtо=Оне имеет действительны.

х ха ра ктер истических чисел и собственныхфункций .В самом деле, имеем(12)где1j ti(J(t) dt, С2 j .Л I(J(t) dt.1С1==о(13)оПодставляя (12) в {13), nосле несложных nрообразований nопучим систему алгебраических уравнений·( 14)·Глава 2. Интегральные ураsнёнНR: Фред,гольмв60Определигель этой системы равен1�(Л) == О С2 = О, ЛПри действительныхчаемС125.л2л3-..\21 + -л5он не обращается в нуль, так что из(14)полу­а значит, для всех действительных .\ данное уравне­иние имеет только одно решение, а именно нулевое:(j'(:t)=О.Итак, данноеуравнение не имеет действительных характеристичесхих ч.исея и собственных1>функций.Задачи для с амостоятельного решенияНайти характеристические числа н собственные функции для следующиходно·родных интегральных уравнений с вырожденнымr/41 23.

(j'(x) - Л J sin 2 жtp(t) dt = О.о1 25.Л1 27. tp(x) - .Л1 28.2r1 24. tр(ж) - Л J sin cos t (j'(t) dt == О.о.(j'(ж) - J sinжsint !p(t) dt = О.о1Jо(45:е2 Jn t -1 26.9t21n ж) tp(t) dt = О.1о11 29.1 30.tp(x) - л J (sxe + 4x2t) IP(t) dt = о.-11tp(x) - j<sжe + 4ж2t Зхt) tp�t) dt = о.л-11131.+!р(ж) - .Л j<жcht - tshж) !f'(t) dt = O.-Jх..!f'(x) - Л J соs(ж +t)tp(t)dt =О.tp(x)- J(2xt - 4x2)tp(t)dt =О.Лядром:оХарактеристические числа и собственные функции§ 10.1 32.611lfl(ж)- Л j<жcht- t2 sh ж) 1p(t) dt = О.-1J1 33.lfl(ж)- Л j(:t: сьt-t ch ж) tp(t) dt = О.-1Если n-e повторное (итерированное) ядро Kn (z, t) ядра K(z, t) естьсимметричное ядро, то можно утверЖдать, что K(z, t) имеет по крайнеймере одно характеристическое число (действительное или комплексное)и что n-e степени всех характеристических чисел - числа действитель­ные.