М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010)
Текст из файла
Пoбeg,umenu коику.рсаno созgанuю но.выхучебнtiковMuнucmepcmвaоб''разованuя Poc.cuuМ.Л.КрасновА И. Кисепев..Г.И.МакаренкоМ.П.Красиов, А. И.КНсепев, Г.И. МакаренкоИНТЕГРАЯЬНЬIЕУРАВНЕНИИЗАДАЧИиnримеры с nодро6ными решениимиИздание третье,исnравленноеКнига бЬJЛа допущена Министерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля студентов высших технических учебных заведенийУРССМосква • 2003ББК22.161.6я73Краеиов Мцанл Леонтьев ич,Киселев Александр Иванови ч,Макаренко JPи ropиl Иваиови чИитеrральные уравнении: Задачи и примеры е подробными решениями:Учебноепособие. Изд. 3-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 192 с.(Вся высшая математика в задачах.)5-354-00390-3настоящемучебномпособииавторы предлаrают задачи по методамрешенииинтеrралъныхуравнений.В начале каждого раздела книги приводитсясводкаосновныхтеоретичесКихположенийи формул, 350а также, определенийподробноразбираетсяболее70типовыхпримеров.книгесодержится:ЩЦачиответамипримерови указаниимидля самоетоительногорешениибольшинствокоторыхснабжено,к решению.Пособиепредназначенодля студентовтехническихвузов с математическойпоДготовкойатакжедлявсехлицжелающихпознакомитьсяс методами,,решений основных типов интегральных уравнений.ISBNВВИэдательство •Едиториал УРСС•.
117312, r. Москва, nр-т 60-летия Октября, 9.Лицензия ИД N/05175 от 25.06.2001 r. Подписано к печати 15.05.2003 r.Формат 6Ох90/16. ТИраж 3000 экз. Печ. л. 12. Зак. N9 264Отпечатановтипографии ИПО •Профиэдат•. 109044, r.Москва, Круrицкиll18.ISBN 5-354-0039.0-3ИЗДАТЕ ЛЬСТВОНАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫE-mail: URSS@URSS.ruУРССКаталог изданий/ntemвt: http://URSS.ruТеп./факс: 7 (095) 135-44-23Твл./факс: 7 (095) 135-42-46вал,в!©Едиториал УРСС,2003nредварительные замечания1 . Функция f{ж), неотрицателъная на интервале (а,Ь), называетсЯьсуммируемой на этом интервале, если J f (ж) dж конечен О.аФункция f(ж) произволъноrо знака будет суммируемой на интервале(а, Ь) тогда и только тогда, когда суммируема функция 1/(ж)\, т.
е. когдаьинтеграл J I J(ж) l dж имеет конечное значение.адальнейшем мы будем иметь дело с основным интервалом I :::::(а,Ь) (или 10 = (О, а)) и основным квадратом fl{a � ж, .t � Ь} (илиВПо {О� ж, t�а}).2. Пространство L1(a, Ь). Говорят, что f(a:) есть функция с интегри�квадратом на (а, Ь], если интегралруемым1 !2 (3:) d:J:,ьасуществует (конечен). Совокуnность всех функций с интегрируемымквадратом на [а, Ь] обозначим L2 (a, Ь) , или коротко L1•Основные свойства функций иэ L21. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.2.
Сумма двух функций из L 2 также принадлежит L 2•З. Если f(a:) Е L2 и Л Произвольное действительное число, то-4. Если f(a:) Е L2 и g(:1:)скоrо-ШварцаЕЛ/(:7:) Е L2 .L2, то имеет место неравенство Буняковь(//(а:) g(ж) dx) jьtJ2�а/2 (ж) dжьj i(x) dж.(1)аИнтеграл nон!fмается а смысле Лебеrа, однако читатель, незнакомый с интеграломЛебега, может всюду понимать интегралы в смысле Римана.1)Предвврител�ные замечания4Скалярным произведениемНормой функции J(x) Е L211/11 =Для f(x)иg(ж) Е L2j J(ж)g(ж) dж.назы-ь(J,g) =5./(ж) Е L2двух функцийвается числоиg(ж)изL2(2)аназывают неотрицательное число/(i:i)+ь=1 /2 (х) dж.(3)аимеет место неравенство треугольника11/ull � 11/11 + llu/1.(4)6.
Сходимость в среднем. Пусть функции/(х) , / J(x) , / 2(ж), . . . , /n(x) , . . .суммируемы с квадратом на(а , Ь) .ЕслиJ [/п(х) - J(x)]2 dxь���О,ато говорят, что nоследовательность функцийдится в среднем/(х)..или, точнее,... СХQк функцииJ1(ж), /2 (ж) ,в среднем квадратичномUn (x)} функций из L2 сходится равно-:Un(x)} сходится к /(х) в среднем.nоследовательность {/n(x)} функций из L2 сходитсяЕсли nоследовательностьмерно кf (x), то /(х) Е L2Говорят, чтов среднем в себе,N >О , чтоnриn >Nютсяи теслидляилюбого числа е:.>Осуществует такое число1 [/n(x)- /т(ж)]2 dx�еьа> N.
Сходящиеся в себе nоследовательности называфундаментальными.Чтобы nоследовательность{/n(x)}сходищ1сьв среднем к пекоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы этаnоследовательность бьmа фундаментальной. ПространствоL 2 nолно, т. е.L2 сходитсявсякая фундаментальная nоследовательность функций изL2•/(ж) и g(x) из L2 (a, Ь) называются эквивалентнымина (а , Ь ) , если /(ж) 'f:. g(x) лишь на множестве меры нуль.
В этом случаеговорят, что /(х) = g(x) nочти всюду на (а , Ь).к функции, также nринадлежащейДве функцииnредварительные jамечанйя53. Пространство с<'>(а, Ь). Элементами этоtо пространства являются всевозможные функции, определенные на отрезке [а, Ь] й имеющиена этом отрезке непрерывные производные до l-й включительно.
Операции сложения функций и умножения функции на число определяютсяобычным образом.Норму эл�мента j(x) Е с(')(а, Ь) определяем по формуле11111 =12:max //k)(x)/,k=O aii;;;z�Ь·..причем /(о)(х) =f(x).Сходимость в с<')(а, Ь) означает равномерnую сходимость как последовательности самих функций, так и последовательностей их производных k-го порядка (k = 1, 2, . , l).Понятие суммируемой функцИI.i ш�реноснтсЯ: на случай пространства большего числа измерений . Так, например, функцию F(x, t) будемназывать суммируемой с квадратом на П{а � х, t� Ь}, если.ь.ьJj F2(x, t) dx.dtаа< +оо.Норма функции F(x, t) в этом случае определяется равенством1 1 F2(x, t) dx dt.ь//F/1 =аьа4.
Функция f(z) ·комплексного nеремениого z, дифференцируемаяв каждой точке области· G плоскости комплексного перемениого z,называется аналитической (регулярной) в этой области.Функция j(z) называется целой, если она аналитическая во всейплоскости (исключая бесконечно удаленную точку) .Функция /(z) называется мероморфной (или дробной) , если онаможет быть представлена в виде частного двух целых функций:g(z)f(z) = h( ),z.h(z) �О.Мераморфная функция f(z) в любой ограниченной области может иметьлишь конечное число полюсов.Точка z =а называется изолированной особой точкой функции /(z),если существует окрестность О< /z - al < б этой точки, в которой f(z)аналитична, а в самой точке z = а аналитичuостъ функции нарушается.6Пред13арительные замечанияИзолированная особая точка z == а называется по�юсом фуцкции f(z),еслиlim f(z) = ооz-->a!,(пр едполагается, что f(z) однозначна в окрестности точки z =а, zf/:: а).Для того t{Тобы точка z = а бьmа полюсом функции f(z), необ1{одимо1и достаточно, чтобы эта точка была нулем для функции <p(z) =, т.
е.f(z)чтобы <р(а) =О..Порядком полюса z = а функции f(z) называют порядок нуля z ==афункции1<p(z) = f(z) ·5. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z = аназывается число��� f(z) =2:i 1 f(z) dz,сгдес - окружность lz- al = р достаточно малого радиуса.Если точка z =а есть полюсn-го порядка функции f(z), тоres /(z) =z=a,r-11lim n-l { (z- a)n J(z)}.n( - 1)! z-->a dZДля простого полюс·а {n = 1)res f(z) = lim { (z- a)f(z)} .z=az--+a<p(z), причем <р(а) ::f. О, а -ф(z) в точке z =а имеет нуль'Ф(z)первого порядка, т. е.
'Ф(а) =О, 'Ф'(а) ::f. О, тоЕсли f(z) =res f(z)z=a=<р(а)( .'1' а)·"'6. Лемма Жордана. Если f(z) непрерывна в области iz\ � Ro,Im z � а ( а - фиксированное действительное число) и lim f(z) = О,то для Любого Л > ОZ-->001ei'Az f(z) dzR-->oolim= О,где сп - дуга окружности \zl = R , лежащая в рассматриваемойобласти.7Предварительные замечания7.
Функция j(x) называется локально суммируемой, ec.Ji:и она суМмируема на любом ограниченном множестве.Пусть комплекснозлачная функция <p(t) действительного перемениого t локально суммируема, равна нулю при t < О и удовлетворяетусловию l�p(t)l < ме•оt для всех t (М > О, в0 � 0 ). Такие функции �p(t)будем называть функциями-оригиналами. Число s0 называется показат'елемроста функции <p(t).Иреобразованием Лапласа (изображением) функции <p(t) назовемфункцию Ф(р) комплексного перемениого р = в +опредеJ(ЯемуюравенствомФ(р) =iu,001 e-pt<p(t) dt.оДля всякого оригинала ·<p(t) функция Ф(р) определена в полуплоскости Re р > в0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.Тот факт, что функция Ф(р) есть иреобразование Лапласа функции <p(t) ,будем записывать так:�p(t) ;:::! Ф(р).8.
Теорема обращения. Если функция <p(t) является оригиналом,а функция Ф(р) служит ее изображением, то<p(t) =-y+ioo2�i 1 еРtФ(р) dp,-y- ooi'У> so,(5)где интеграл берется вдоль прямой Re р = 'У, параллельной мнимой оси,и понимается в смысле главного значения:-y+ioo1 еРtФ(р) dp-y-ioo=-у+iыlimЫ-+001 �Ф(р) dp.-у-iыФормула (5) называется формулой обращения преобразованця Лапл_аса.Если(р)Ф(р) = М 'N(p)где М (р) и N(р) - многочлены от р, причем степень многочленаменьше степени многочлена N(p) , то оригиналом для Ф(р) будетl1(}!lk-1n<p (t) = 2: (n - 1)' lim d nt- 1 { (р - ak) tФ(p) ePt} ,k-+at.Рpk= 1•М (р)8Предварительные замечания .где а�е - полюсы Ф(р), n� .
...,... . их .. nорядюси i;�м!f берется по всемполюсам функцИи Ф{Р) .'М(р)В случае, когда все nолюсы щ, (k::=. 1; 2, . . ; . ,()функции Ф(р) =N(p)простые, имеем.···М(р) ::: � М(а�е)еN(p) · L..J N'(a�e).lle=··. ·'.·,(,okt'= I(J(t)'•'9. Теорема умножения. Пусть функции J(t) и �p(t) являются функциями-оригиналами, и пусть�p(t) ;::: Ф(р).J(t) ;::: F(p),ТогдаF(p) · Ф(р) :=t'j J(т)�p(t- т) dт.(6)оИнтеграл в nравой части (6) называется сверткой функции j(t) и �p(t)и обозначается символом j(t) * �p(t),.Таким образом, произведение Изображений является также изображением, а именно, изображением свертки оригиналов:.F(p) · Ф(р);::: j(t) * �p(t).'10. Пусть функция-оо <ж<+оо.j(>.) =J(ж) абсолютно интегрируема на всей осиФункция+ооJJ(ж ) e-i.\z dж-оо(J /(ж) eiAz dж)+ооилиf(>..) =-ооназывается преобразованием Фурье функции f (ж) .Формула обращения преобразования Фурье имеет вuд+оо/(ж) =_!__2?Г fJ(>.) ei>.z d>.-00(ИЛИJ(ж) =)+ооj(>.) e-i>.z d>.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
