М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 14

ФункцияФурье искомой функции <p(t). Применяя формулу (6) обращения синус-nреобра­зования Фурье, будем иметь+оо+оооо<p(t) = Л 1 !'fe-z sinжt dж = ; 1 e-z sinжt dж.(7)Интеграл в nравой части (7) вычисляем с nомощью двукратного интегрированияпо частям. Получим+оо1 -z sin tz dz = : tz ,отак что1еt"'(t) - -11'2 1 + t2 'тt>В задачах о колебаниях тонкой уnругой nластины nриходимк следующему интегральному уравнению:Пример 4.'Ф (t) =где /(ж)-� Тжf(ж) sin ::t dж,2tискомая функция,(8)Решение.

Уравнениео(8)ф(t) - известная функция .- это интегральное уравнение 1 -ro рода. Полагая1 z2 = v ,t = 4Ьа'nреобразуем уравнение (8) к виду+оо�Ф (4�а) = 1 f(v'V) sinavdv.оИспользуя формулу обращения для синус-преобразования Фурье, nолучим+ооилиf(v'V) = 3.11' j ф ( 4-1Ь-а ) sinaа v da ,оф(t) sin -z2 dt./(z) = -2 / t1r+ооо4Ы1>§ 18. nримененив преобраэовання Лапласа111З адач и для самостоятельного решенияРешить следуЮщие иитеrральные уравнения:+аоf tp(t) cos жt dt = :231 . j tp(t) sin жt dt = f(ж),(ж > 0).230.о+ООоrде /(ж) =+аоf233. j tp(t) cos жt dt = е-= соs ж232.оtp(t) cos жt dt = /(ж) , rде f(ж) =+ооо(ж > О).{{� sin ж,2о,ж > 1Г,соs ж, О � ж � 1Г ,о,:t > 1Г.§ 1 8. При м ененив nре.о бразованин Лапласак решению некоторых интегральныхуравнен и А1 о .

Интегральные уравнения Вопьтерра тиnа с вертки ..2-ro родаРассмотрим интегральное уравнение Волътерра1р(ж) = J(ж) +j К(ж - t)1p(t) dt,жо{1)ядро которого зависит лишь от разности ж - t. Будем называть уравне­ние (1) интегральным уравнением типа свертки.Пусть J(ж) и К(ж) - достаточно гладкие функции, растущие nриж - оо не быстрее nоказательной функции, так что(2)Мо:ж:но nоказать, что в этом случае и функцияоценке типа (2) :IIP(a:)l � Мз е•зz .1р(ж)будет удовлетворятьСледовательно, мо:ж:ет быть найдено изображение по Лаnласу функцийи IP (а:) (оно будет оnределено в nолуплоскости Re р = 8 >J (ж) , К (а:)max{ 8t , 82, 8з } ).1 12Глава3. Примененив интегральных преобразованийПустьК(х) -F К(р).rp(x) ;: Ф(р),j(x) ;: F(p),Применяя к обеим частям уравнения ( 1) иреобразование Лапласа и ис­пользуя теорему умножения, найдемФ(р) = F(p) + К(р)Ф(р).ОтсюдаФ (р)Оригинал rp(x)для--F(p)(К(р) =1= 1).1 - К(р)Ф(р) будет решением интегрального уравнения (1).П ример 1.

Решить интегральное уравнениеrp(:c) = sin :с + 2Решение. Известно, что.stn:r: :=.zjоcos (х - t) rp(t) dt .cos :r: :=.-2-- ,р + 11р.2р + 1Пусть <р(а:) := Ф(р) . Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравненияи учитывая при этом теорему умножения (изображение свертки), получимф [Отсюда(р)илиФ1 -(р)2р-р2 += (р1_1]1) 21- --р2 + 1 '.:= же"' .Следовательно, решение данного интегрального уравнения есть<p(:r:) = :r:e"' .З адачи для самостоятел ьного решенияРешить следующие интегральные уравнения:234. <р(ж) = е"' -"1оe"-1 <p(t) dt.235.

<р(ж) = ж -"'1 e"'-1<p(t) dt.о1>113§. 18. Применение преобразования Лапласа236. ip(x) = е2"' +"'"'1e1-"1p(t) dt.о237. 1р(х) = х -"'238. !fJ(x) = cos х -1(х - t) cos (х - t) 1p(t) dt.239. !fJ(X) = l + х +1 e-2(ж-t)1p(t) dt .241 . !fJ(:t) = sin x +243. !fJ(x) =lо"'о"j<x - t) 1p(t) dt.о- 2х - 4х2 +244. ip(x) = sh x 246. !fJ(x) = e"' + 2zz1 [3о242. �Р(х) = х -о"'1 sin (х - t) 1p(t) dt.о"'j sh (х - t) 1p(t) dt.о+ 6(х - t) - 4(х - t)2) 1p(t) dt.1 ch (х - t) 1p(t) dt.о240. 1р(х) = х +1(х - t) �P(t) dt .245.

�Р(х) = 1 +z"'21 cos (х - t) 1p(t) dt.ожl cos (x - t) ip(t) dt. 247. �P(z) ::c cos z + 1 1p(t) dt.ооТеорема о свертке может быть использована такженелинейных интегральных уравнений Вольтерра видадлярешенияж�(ж) = j(ж) + ЛПусть�(ж) := Ф (р),j �(t)�(ж - t) dt.о(3)j(x) := F(p) .Тогда в силу уравнения (3)2Ф (р) = F(p) + ЛФ (р),откудаФ (р) =1 ± .jl - 4ЛF(р).2ЛОригинал для Ф (р) , если он существует, будет решением интеграль­ного уравнения (3)..1 14Diaтt 3.Примененив интегральнщпрео6раэованийПример 2.

Решить интегральное уравнение•:r.з1 <p(t)<p(x - t) dt � .=о(4)Пусть cp(z) ;::: Ф(р). Применяя к обеим частям (4) nреобразованиеЛапласа, получимРешение.ф2откуда1(р) = -4 ,р1Ф(р) = ± 2 .рФункции cp 1 (z) = z, cp2 (z) = -ж будут решениями уравнения (4) (решениеуравнения (4) не единственно) .!>З адачи дл я са мостоятел ьного реш енияРешить интегральные уравнения:248. 2cp(z) -"'j cp(t)cp(z - t) dt = sin ж.о1249.

cp(z) = '2"'.1f cp(t)cp(z "- t) dt'- 2 sh z.о2° . Системы интеграл ьных уравнени й Вол ьтерра ти ­па свертки. Преобразование Лапласа может быть использовано прирешении систем интегральных уравнений Вольтерра вида<J'i (x)='/i(x) + �:r.1 Кi;(ж - t) <J'j(t) dt(i = 1 , 2, . . . , s) ,J=l о•(5)где Кi;(ж), /i(x) - известные неnрерывные функции, имеющие изображение по Лапласу.Применив к обеим частям: , (5) п�еобразовщше Лапласа, получим.,·Фi {р)=Jii {p) +L Kij(p) Фj{р)j=l·(i = 1 , 2, . . . , s) .··Это система линейных алгебраических уравнений относительноФj{р) .Рещая ее, найдем Фj{р), оригиналы для которых и будут решениямиисходной системы интегральных уравнений ( 5).§ 18.

17рнм�ненив преобразования Лs.пласа115Пример З . Реш ить сиСтему интегральных уравненийzipt(z) = 1 - 2IP2 (z)=4z -Jоe2(z-t)IPt (t) ,dt +zzj IP1 (t) dt + 4 j (ооzJ ip2(t) dt,ож-(6)t) 1P2 (t) dt.Решение. Переходя к изображениям и исnользуя. теорему Об изображениисвертки, nолучимрФ, (р) = (p + I )2 = p +1 l - (p+l I)2 'Ф2(р) = (р - 2)(р+ 2+ 1)2 = 98 .

1 2 + 3l . (р +1 1)2 - 98 . 1 l .Ф1(р) Ф2(р)�1(ж) = е-"' - же-",�2(ж) = 98 е2"' + з1 zе - 98 е_".�1(z) , �2(ж) даютЗрОригиналы дляр-ир+равны соответственно_"Функцииний (6).решение исходной системы интегральных уравне­Задачи для самостоятельного реше нияРешить следуюпЬlе системы и нirеrральНЪIХ уравнений:"'250.�1 (z) = sin ж + j �2(t)о"'dt,�2(:�:) = 1 - cosz - j �1(t)dt.о251 ."�1(z) = е2ао + j �2 (t) dt,о"'�2(ж) = 1 - J e2<ж-t)�l(t) dt.оЕ>1 16Глава 3. nрименение интегральных hреобраэований"'"'<pi(x) = e + J <p1(t) dt - J e"'-1<p2(t) dt,"'<р2(х) = -х - J(х - t) <р1 (t) dt + J <p2(t) dt."'252.оо"'о"'253.о"'<р1 (х) = е"' - J <р1 (t) dt + 4 J e"'-1<p2(t) dt,"'<р2(х) = 1 - J e1-"' <p1(t) dt + J <p2(t) dt.ооо"'о"'<р1 (х) = ж + J <p2(t) dt,"'<р2(х) = 1 - J <р1 (t) dt,"'1.s1<р3(х) = ш х + 2 (х -t) <р1 (t) dt.о254.оо"'"'<р1 (х) = 1 - J <p2(t) dt,о255.<р1(х)=х+1+ J <p3(t)dt,о"'<р2(х) = cos х - 1 + J <p3(t) dt,"'о"'256.<р3(х) = cos х + J <р1 (t) dt.о<р2(х)=-х+ J(x-t)<p1(t)dt,"'<p3(x)=cosx-1-J <p1(t)dt.оо3° .

И нтегро -дифференциальн ые уравнения .Пусть име­ем линейное интегро-дифференциальное уравнение видаsжrp(n) (x) + а! rp(n-I ) (x) + . . . + anrp(x) + � J Кт(Х -t) rp(m) (t)dt = /(х), (7)m=O oгде а 1 , а2 , . . . , a - постоянные, J(x), Km(x) (m = О, 1 , . . . , s) - из ­nвестные функции, rp(x) - искомая функция.1 17§ 1 8 . Примененив преобраэования ЛапласаДля искомой функции <р(а:) ставятся начальные условия вида<р(О)=ер' (О) =<ро ,<р�,...(n- 1 ) .'Ро'(8)Пусть функции /(т) и Кт (х) являются функциями-оригиналами и/ ( а:) ;:d F(p),(т = О, 1, . .

.Km (a:) ;:d Кт (р), s) .Тогда функция <р ( х) будет иметь изображение по Лапласу <р ( х) := Ф (р).Применяя к обеим частям (7) иреобразование Лапласа и используя тео­рему об изображении производной и теорему умножения, придем к урав­нению[Ф (р) pn + a1pn- ! + . . . + an +i;]Кт( р) pm=А(р) ,(9)где А(р) - некоторая . известная функция от р . Из (9) находим Ф(р) оператормое решение задачи (7)-(8).

Функция <p(z) := Ф(р) будет ре­шением интегро-дифференциального уравнения (7), удовлетворяющимначальным условиям (8).Пример 4. Решить интегро-дифференциальное уравнение<р" (х) +Решение. Пусть <p(z)jож e2(ж-t)cp'(t) dt<р {О) = <р1 (О)== еа,О.(10)( 1 1)Ф(р). В с илу ( l l)<p1 (z) := рФ (р) , tp"(z) := р 2 Ф(р) .Поэтому после применения nреобразования Лаnласа уравнение (10) примет вид2р Ф(р) +илиФ (р)Из ( 1 2) находимФ(р)р-2Ф (р) =2р(р - 1 )р-21,р 2-:;: -�- .р-2( 12)l:= же"' - е"' + 1 .(р р 1)2Следовательно, решение <p(z) интеrро-дифференциального уравнения ( 10), удо­влетворяющее начальным условиям (1 1 ) , определяется равенством<р(х) = хе"' - е"' + 1.Лр111менение.

интегральных .tJРеобраэованийТhава 3.1 18З адач и д.nя са мостоятел ьного реwенИяРешить следующие интеrро-дцфференциалъные уравнения:j e2<"'-t) �'(t) dt = e2"' ;"'257. �'' (z) +�(0) = 0 , �1(0) = 1 .оj<x - t) �'(t) dt - J �(t) dt = x ;:а:258. �'(ж) - �(а:) +:а:о�(0) = - 1 .оJ cos (z - t) �11(t) dt+2 J sin (z -t) �'(t) dt"'2 59. �"(ж) - Ц'(ж) +�(ж) + 2о<р(О) = �'(О) = О.2 60 . �''(а:) + 2�1(х) - 2f"'cos x ;о"'sin (ж- t) <р1 (t) dt = cos а:;�(О) = <р1(О) = О.о/ sh (z ;_ t) <p(t) dt + J ch (z - t) �'(t) dt = ch a: ;"'28 1 .