М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 18

Замена ядра интеrральноrо уравнения вырожденным ядром 147то уравнениеЫ).' / K(ж; t!ip(t) dt'+ J(ж)ь�P(it:J·аимеет единственное решение IР(ж) и разность между этим решениеми решением iр(ж) уравн�ния'.не иревосходит_\ ср(ж) - !р(ж) \ <j L(ж, �) �(t) dtьf1 (ж) + Аiр(ж)r'. .•11N!A! ( l + !ЛIR)2h1 - /A / h(l, + /Л / R) + ?J,где N - верхняя граница 1/(ж)j.Для вырожденноrо ядра L (ж , t) резольвента RL(ж, t: Л} находитсяпросто, а именно, еслиL(ж, t) =n2: Хk(ж) Tk(t),k=lто, полагаяJ Хk(Ж) Та(ж) dжьаполучаемRL (ж, t ; А) =где= a,k,D(z t; Л),D(A) ,D(Л) =Корни D(A) суть характеристические числа ядра L(ж, t) .148Глава 5: Приближенные методы решения уравнений(Л = 1) .

ПустьПриведем еще одну оценкуK(z, t ) = L(z, t) + A(z, t),где L(z, t) - Вырожденное ядро, а A(z, t) имеет малую норму в пеко­торой метрике. Пусть, далее, Rк(z, t), RL(x, t) суть резольвенты ядерK(z, t) и L(x, t) соответственно. /IA//, 1/Rкl/, /1RLI/ - нормы операторовс соответствующими ядрами. ТогдаII 'P - ii'l l � II A II · ( l + 1\Rк ll) ( 1 + 1\ RL\1) · 11111.(2)причем норма в формуле (2) может быть взята в любом функдиональномпространстве.

Для нормы резольвенты R любого ядра K(z, t) справедливаоценкаII R II �1\K II/ Л / · //К/1 '1При этом в пространстве С(О, 1) непрерывных функций на отрезке [0, 1]-11/К/1 = тах0�%� 1j /К(х, t)/ dt,о11!1 1 = max \! (z) \ .0 �%�1В пространстве функций, суммируемых с квадратом по n {а � х ,t � Ь} ,IIK I I �11 / 11 =ЬЬ(/ j К2(х, t) dx dt) I/2 ,11ь11(j !2 (х) dx) 1/2 .11Пример. Решить уравнение·tp(z) = sin z +j1о(I-х cos zt) tp(t) dt,заменив его ядро на вырожденное.Решение. Разлагая в ряд ядро K(r, t) =K(r, t)=1-rжзt2+ -2-1-r cos rt,жSt424 + . .

..получим(3)§ 23 . Замена ядра интегрального уравнения f3Ырожденным ядром 149L(z, t) первые три члена разложения (3):z3t2 ,L(z., t) = 1 - z + ТВозъмем в качестве вырожденноrо ядраи будем решать новое уравнениеИз(4) получаемгде11 (ip(�) = sin z + 1 - z + -x3t2-2 ) ip(t) dt.(4)о(5)11С1 = ip(t) dt,ос2=i 1 t2ip(t) dt.1(6)о(6), получим систему определения С1 и С2 . Имеем1С1 = 1 ( sint + C1(l -t) + C2t3] dt = ic� + � С2 + 1 - cos 1 ,1[ .11С2 = '2 t2 sшt + C1 (t2 -t3) + C2t5] dt = 241 C1 + 121 C2 +sin 1 - 1 + 21 cos 1 ,Подставляя (5) вдляооили{ 1iс1 -� с2 = 1 - cos 1 ,- 24 С1 + 1112 С2 = sin 1 + 21 cos 1.Решая эту систему, найдем1-= 0, 1674,а тогдаip(z) = 1 ,0031(1 - z) + 0, 1674z3 + sin z.Точное решение уравнения есть cp(z) :: 1.с1= 1, 003 1,с2t>Оценим теперь II<J? - ip'll по формуле (2) . В метрике пространства L2получим150Глава 5� Приближенные методы рещвния уравнений{ 2 cos l - -81 cos 2 + -16 sin 2 - -6 }1/2 < -3112}21= Л < �·IIL II � { j j ( t - x + х; у dx dt{/}1/1xsinx11 / 1 /2 d 2 = vl2 - sin 2 < 35=о5'о=s·оНормы резольвент Rк и RL оценим по формуламrдеI ЛI =1.IIR.rc ll �1 - 1.\lII 3.II1 /KI I 'KЗначит, I IRк llIIRLII �31 - l.\II 1 II· IILII 'L� 2 • 1\RL II � 2 ' а тогда� ( 1 + �) ( 1 + �) � < 0,016.IIIP - � 1 < 2 8Задачи для самостоятепьноrо решенияНайти решения интегральных уравнений с помощью замены ядра выро:ж;ценными дать оценку nоrрешности решения.31 2.

fP(:t)31 3. fР(ж)==314. fР(ж) =31 5. fР(ж)=1е:е - ж - j :c(e:et - 1) IP(t) dt.о:c + cos :c +1j .:фin ret - l) IP(t) dt.о1�(е-"' + Зж - 1) + j(e-zt2 - 1) <e!p(t) dt.1о� + � sin ж + j (1 - cos ret2) Ж!р(t) dt.о§ 24 . Земена·· инrеrрвла.конечна,. С'/М.МОЙ§ 24. Замена интеграла коне чной суммо йПусть имеем интегральное уравнение Фредгольмаtp(�) - Л2-ro родаьj К (ж, t)1p(t) dt = /(ж),( 1)аК (ж, t) и / (ж) имеютЛ - заданное число.rденеnрерывн ые nроиЭВОднJ>Iе 'нужноrо nорядка,Возьмем какую-либо квадратурную формулуЬj Ф(ж) dж'n�а2: АkФ(х11),(2)J:=Jж 1 , ж 2,, Жn - абсциссы точек отрезка [а , Ь] , а коэффициентыА1, А 2 , , А11 не зависJIТ от в ида функции ;Ф(ж) ., n ) , получимПолагая в уравнении (1) ж = ж �с (k = 1;2 ,где• • •• • •.

. .•<р(ж rс) - Льj К(ж11, t)<p(t) dt = /(ж�с ),k = l, 2, . . . , n.(3)аИнтеrрал в левой частиформул ы(2):tр(ж�: ) - Л(3)заменим суммой с nомощью квадратурнойfl2: АтК(ж�:, Жm)<p(zm) = /(жk) ,k = 1 , 2, . . . , n.(4)(4) есть линейная система n алrебрiUIЧесКИх уравнений с n не­tр(ж1 ) , tр(ж2),, tр(ж11 ) , которые яаляются nриближеннымизначениями решения <р(х) в узлах ж 1 , ж2 ,, ж 11• За nриближенное реше­ние уравнения (1) на отрезке [а, Ь] можно принJrrь функциюСи стемаи звестн ыми• • •• • •?(ж) = /(ж) + Лfl2: АтК(� . �т)tр(ж щ},,m=lкоторая nринимает в точках ж1 , ж2 ,, ж11 значения <p(:tt ) , <р(ж2), .

. . , <р(жn) .З нач ения коэффи циентов А11 и абсцис.с з:11 . квадратурной формулы (2).будуr:• • •l)для формулы прямоуrольни ков:Ж1 = а,:t2 = а + h,...'А, = А2 = . . . = An = h,Жь = а + (n - l)h;Ь-агде h = -- ;n152Тhава 5. Приближенные методы решения уравнений2) для формулы трапеций:...'�2 = a + h ,hAt = An = 2,Az = Aз = . . . = An-1I)h = Ь;Ь-агде h = -- ;n- lh,3) для формулы Симлеона (n = 2m + 1):�� = а, �2 = а + h , . . . , �2m+l = а + 2 mh = Ь;h4hА 1 = A2m+l = 3' А2 = А4 = .

. .А2т = 3'2hЬ-а.2mПример. Найти nриближенн�е решение интегрального уравненияАз= As = . . . = A2m-l�(�) +1jо=3'где h =� (e"'t - l)�(t) dt = е"' - �.(5)Решение. Возьмем на отрезке [О, l] три точt<и: ж 1 = О, ж2 = 0,5, z3 = lи nоложим в уравнении (5) ж = О, ж = 0 ,5, х = 1 . Тогда nолучим соответственноср (О) = 1,cp(O,S) + 0,5cp( l ) +1J(ое1J(1о-0 51е '-l)cp(t) dtl)cp(t) dtе -0•5е-0,5,(6)1.Заменим каждый из интегралов конечной суммой, восnолъэовавшисъ квадратур­ной формулой Симnсона1! Ф(t) dtо��Ф(О) + 4 Ф ,5) + Ф(l).Для второго уравнения системы (6) nодынтегральная функцияФ(t) =так чтоФ(О) = О,Значит,'0 ,51о2еО.25 - 1Ф(О,S) = --cp(O,S) ,20 51е •J(e0,5t - 1--cp (t) ,-Ф(l) =eo,s -12 -cp{ l ).eo,2seo,s11l)cp(t) dt � -3-cp(O,S) + ----u- cp(l).__(7)§: 24. Замена интеграла конечной суммой15.3Подынrеrральная функция третьего уравнения системы ( 6)Ф(t) = (е1 - l)<p(t),так чтоФ{О,5) = (е0'5 - l)<p{0,5) ,Ф{О) :::: О,Ф(l)(е - l)<p{l),и, следовательно,/(e1 - l) <p(t) dt :=::: 4(ео'5 - 1)<р{О,5)6 + (е - 1)<p(l) .1о(8)Подставляя {7) и {8) в {6), получим линейную систеМу<р( О) = 1,eo.2s + 2ео,5 1--<р(О,5) + ---<p(l) е0'5 - 0,5,312е+52(е0.5 - 1)<р(0,5) + --cp(l) = е - 1 ,36_{или<р(О) = l ,1,0947 <р(0,5).

+ 0,0541 <р(1)1, 1487'0,4325 <р(О,5} + 1,2864 <p( l) = 1,7 183.(9)Решая систему (9), получим<р(О) = 1 ,За<р(О,5) = 0,9999,<p(l) = 0,9996.приближенное решение уравнения (5) принимаем функцию3�(х) = е" - х - Е Атх(е"''""' - l)<p(xm),m=l213 А3 = 6 ' или�(х) = е'" - х(0,6666 е0•5"' + 0,1666 е") - 0,1668 х.Точное решение даниого иитеrрального уравнения !f>(x) =:l.!>Задачи для самостоятельного решенияРешить следующие · иитеrральные уравнения с помощью замены интеrрала ко­нечной суммой:j �e"'11p(t) dt = е" .1316. <р(х) +о154:Глава 5. Приб.!Jижен�rtыв методы рещенН!f уравнений-1z+t317. !p(z) - J(t) dtl + z + t !pо318.

IP(z) + 1Г·'·-ln=1j z2 cos 1rzt !p(t) dt•о2+zl +z-=.1rz(I + sin 1rz) - 2 sin 21ГZ2 .§ 25. Метод последовательных приближений1 о . И нтеграл ьные ура внения Вольтерра 2-ro рода .Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 2-ro рода<р(х) = f(x)z+ Л 1о К(х, t)<p(t) dt.(1)Будем предполагать, что f(x) непрерывна в [0, а] , а ядро К(х, t) непре­рывно при О � х � а, О � t � х.Возьмем какую-либо непрерывную в [0, а) функцию <р0(х) . Подста�вляя в правую часть уравнения (1) вместо <р(х) функцию <р0(х) , получаем<р 1 (х) = /(х)z+Л 1о К(х, t)<po(t) dt.Определенная таким образом функция <р1 (х) также непрерывна на отрез­ке [0, а) . Продолжая этот процесс, получим последовательность функций<ро (х), <р 1 (х) , .

. , IPn(x), . . ,.гдеIPn (x) = /(х).z+ Л/о К(х, t)<pn- l (t) dt.При сделанных предположениях относительно f(x) и К(х, t) последова­тельность { IPn (х)} сходится при n --+ оо к решению <р( х) интегральногоуравнения {1) .Если, в частности, в качестве <р0(х) взять f(x), то <pn(x) будуткак раз частичными суммами ряда (2) из § 3, определяющего решениеинтегрального уравнения (1). Удачный выбор «нулевого» приближения<ро (х) может повести к быстрой сходимости последоваrе,льности {<pn (x)}к решению интегрального уравнения.§ 25. Метод последовательных прнблнжвний155Пример 1 . Методом nоследовательных приближений решить инте­гральное уравнениеср(:с) = 1 +взявср0(:с) = О.z1 cp(t) dt,оРешение.

Так как <р0 (ж) = О , то <р1 (ж) = 1 . Далее,"'<р2 (ж) = 1 +1 · dt = 1 + ж,Jо<р3(ж) = l +/"'о,ж2(1 + t) dt = 1 + ж + 2'Очевидно,"" ж"Таким образом, <р,.(ж) есть n-я частичная сумма ряда Е - = е"' . Отсюдаn=O n!следует, что <р,.(ж) --+ е"' . Нетруд»о проверить, что функция <р(ж) = е"' естьn-ooрешение данного интегрального уравнения.t>З адачи для самостоятельно го решенияМетодом nоследовательных приближений решить следующие интегральные урав­нения:"'319.

<р(ж) = ж -J(ж - t)<p(t) dt,о.,320. <р(ж) = 1- J(ж - t)<p(t) dt,о321 . <р(ж) = 1 += О.<р0(ж) = О ..,J(ж - t)<p(t) dt,о<р0 (ж)<р0 (ж) = 1 .156Глава 5. Приближенные методы решения уравненийz<р(ж) = ж + 1 - 1 <p(t) dt, а) <р0(ж) = l, б) <р0(ж) = ж + l.о2ж2323. <р(ж)= � + ж- <p(t)dt, а) <;'о (ж) = 1, б) <;'о (ж) = ж, в) <;'о (ж) = т +ж .1о .,324. <р(ж) = l + ж + 1 (ж - t)<p(t) dt, <р0 (ж) = l .322.zоz<р(ж) = 2ж + 2 - 1 <p(t) dt, а) <р0(ж) = 1, б) <р0(ж) = 2.о326.