М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 20

<р(ж) = l + j(жt +ж2) <p(t) dt.338. <р(ж) = 1+ ;ж +j (жt2 - ж) <p(t) dt .-1339. <р(ж) = 1 - ж(е" - е -") � J ж2е"1<р(t) dt.-11-11§ 27. Методы отыскания характеристических чисел1 65Длявырожденныхядер метод Бубнова-Галёркина дает точ­ноерешение,аобщегослучая он эквивалентен замене ядра К(х, t)на вырожденное L(x, t) .Замечание.для§ 27. Приближенные методы отысканияхарактеристических чисели собственных функцийсимметричных ядер1 ° . Метод Ритца .

Пусть имеем интегральное уравнениеср(х) = Льj К(х , t) cp(t) dtас сИмметричным ядром К(х , t) = K(t , х) .Выберем последовательность функций {ф11 (х)} , 'Фn (х) Е L 2 (a, Ь) ,такую, что система {ф11(х)} полна в L 2 (a , Ь) и для любого n функции'Фt (х) , 'Ф2 (х) , . . . , 'Фn (х) линейно независимы на ( а , Ь] . Полагаемn<J>n (x) = L: ak 'Фk(x) ,k= lпричем коэффициенты ak подчиним условию l l <t>nl l(1)=1 , и при этомусловии ищем стационарные значения квадратичной формы(Kcpn, <J>n ) ·Приходим к однородной системе относительно коэффициентов ak (и множитель Лагранжа) :nL: {(Кфj , 'Фk) - и (фj, 'Фk) }akk =l=О (j=1, 2, . .

. , n) .(2)Для существования иенулевого решения определитель системы (2) долженбыть равен нулю:(К'Фt , 'Фt ) - и( Фt, 'Фt )(К ф2, 'Фt ) - и(ф2, 'Фt )(Кфt , 'Фn) - u (фJ , 'Фn )(Кф2, 'Фn ) - и(ф2, 'Фn )=О.(3)Корни уравнения (3) дают приближенные значения собственных чи­сел ядра К(х , t) . Наибольший из корней уравнения (3) дает приближен­ное значение наибольшего собственного числа с недостатком.

Находя и166Глава 5. Приближенные методы решения уравненийиз (3) и подставляя в (2), ищем иенулевое решение ak (k = 1 , 2, . . . , n)системы (2). Подставляя найденные значения ak в ( 1), получаем при­ближенное выражение собственной функции., отвечающей найденномусобственному значению.Пример 1 . Найти no методу Ритца nриближенное значение наимень­шего характеристического числа ядраК(х, t) = xt;а =О, Ь = 1 .Решение.

В качестве координатной системы функций Фn(х) выбираемсистему nолиномов Лежандра: Фn(х) = Pn(2x - 1). В формуле ( 1) ограничимсядвумя слагаемыми, так чтоЗамечая, что='1/11Ро (2х - 1) = 1 ;'1/12находим(ф 1 . Ф д =1j dx = 1 ,о('1/12 , '1/12)=Р1 (2х - 1 ) = 2х - 1 ,('1/11, '1/12 ) = (ф2. '1/11 ) ==11j(2х - 1) dx =оJ(2х - 1)2 dx = з1 ·оДалее,(Кф1 , '1/11 ) =(Кф1 , ф2) =(Кф2, ф2) =1111j ( j К(х, t) ф1 (t) dt) ф1(х) dx = j j xt dx dt = � ·о1 1оо оj j xt(2x - 1) dx dt = 1� ,о о11j j xt(2t - 1)(2х - 1) dx dt = :6 .о оСистема (3) в этом случае nринимает вид14 - 0'12= 0,111- - -и36 312илиО,0'2 - О'(..!_12 + �4 )= о.§ 27.Методы отыскання характеристических чисел1= 3 . Наибольшее собственное значение1наименьшее характеристическое число .Л = - = 3.Отсюдаи1= О,и2и21.671= 3 , значит,0'21>Задачи для самостоятельного решенияПо методу Ритца найm наименьшие характеристические числа ядер ( а = О,ь ::::: 1 ) :342.

К(ж , t) ={�341 . К(ж, t) ={t,ж,ж(2 - t) , ж � t ,1:2 t(2 - ж) ,z� t.2° . Метод следов.Назовем т-м следом ядра К(х, t) числоJьAm=Кт(t, t) dt,агде Кт(х, t) означает т-е итерированное ядро.Для наименьшего характеристического числа Л1 при достаточнобольшом т справедлива следующая приближенная формула:[>.J ! �2.(4)Формула (4) дает значение IЛ1 1 с избытком .Следы четного порядка для симметричного ядра вычисляются поформулеj j K�(z, t)ьА2т=ьj j K�(z, t) dt dz.zьdz dt=2а(5)аПример 2.

Найти по методу следов nервое характеристическое числоядраК(х, t)={ t,z,z � t,z � t,а=О, Ь =1.Глава 5. Приближенные методы решения уревнений1 68Решение. Так как ядро К(х, t) симметрично, то'достато'4но найти К2 (х, t)nри t < z.только·ИмеемК2 (х , t) =1jоК(х, z) K(z, t) dz ===Далее, по формуле (5)"А2 = 2 J 1dxоА4 == 2=2== ZdxоK� (x,t) dt == 2оj j1одля1Jtо"1 dz 1оtt2 dt == 2j j(��"x2 t t зxt dz == xt - Т - 6·о11 х: dx== �·о: + �:1- - + -)x t2x2 t2 +dxоеtЗХ2 е Ж4ХЗ t З1 (+ - + -- - 127 · 3633оzt dz +т == l и т == 2 соответственно находим1оKi (x,t) dt == 2j"z 2 dz +1X2 tS30xtS15l=zt=O: :)44- x3t2 - х + x tdt ==dx =1 ( 3zs + z712 + 7z· 376 _ 3ж6 _ ж156 + ж307 ) dж = бзо17 ·оСогласно формуле (4),, ��А6301>�, .••.Задач и для са мостоятельного решенияМетодом следов найти nервое характеристическое число следующих ядер ( а == О ,ь == 1 ) :{�343. К(х, t) = xt .345.

К(х, t) =х(2 - t),12 - ж),2t(х � t,х � t.634.>-К(x, t -{-v'it ln t,-./it ln ж,х � t.х � t.§ д.Метод�;�� от�;��скания характеристических чисел1693° . М етод Kennora. Пусть К(:с , t) симметри чное ядро, ко­торое Д11Я определенности будем считать положительно определенным,произвольпая функция из L2 (a, Ь) . Строим последова­и пусть w (:c)тельность функций-ь1 К(:с, t) w(t) dt,WJ (:c) =w2(:c ) =Uln(:c) =аь1 К(:с, t) WJ (t) dt,аь1 К(:с, t) Uln- 1 (t) dt,аи рассматриваем числовую последовательность1 11 }{ llwn.//wп/1(6)Пусть <р1 (:с) , <р2(:с), . .

.ортонормированные собственные функцииядра К(:с, t) и Л 1 � Л 2 �соответствующие характеристичес­кие числа. Пусть, далее, функция w (:c) ортогональна к функции <р 1 (:с) ,102 (:с) , . . . , \Ok - t (:c) , но не ортогональна к собственной функции \Ok(x) .

То­гда последовательность (6) имеет своим пределом k -e характеристическоечисло Лk .-• • •-Последовательность функций{ 1/wUlnn(:c)(:c) l/ }сходитсяв этом случаек пекоторой функции, являющейся линейной комбинацией собственныхфункций, отвечающей характеристическому числу Лk . К тому же пределу,что и последовательность (6) , сходится последовательность{ �}·Если (w , \Ot) # О, получаем две nриближенные формулы Д11Я наименьшегохарактеристического числа:Л�AJ��/lwn- t ll�.1--:==�·(7)(8)1 70Глава 5.Flриближенные методы решения уравненийпричем формула (7) дает значение Л1 с избытком.

Если ядро К(х, t)яRЛЯется положительно определенным, то формулы (7), (8) дают при­ближенное значение наименьшей абсолютной величины характеристи­ческого числа данного ядра. При удачном выборе w(x) метод Келлогасравнительно прост для вычислений .Недостаток метода в том, что заранее неизвестно, какое из характеристических чисел удалось определить.Пример 3.

По методу Келлога вычислить наименьшее характеристи­ческое число ядра К(х, t) = x2t2 , О � х, t � 1 .11.1(:�:) = ж. Тогда1 22 2(ж)j11.11 = ж t t dt = �Решение. Воэъмемо14,11.12 (ж) = J 2 4t dt = 41 2оДалее,ll.l,.(ж) =l ll.l,.(ж) l =Таким образом, согласно (7):1:14 . sn- 114 . s n-1:1:•sl 'ж2 .F=14 . sn-11. vrs ·t>Задачи для самостоятельного решенияПо методу Келлога найти наименьшие характеристические числа следующих ядер:347.

К(:е, t)1.= жt;О � ж, t �K(ж,t) = sinжsint; -1r � z, t � 1r.t, ж � t;349. К(ж, t) = {z, ж � t; О � ж, t � 1 .348.{!§ 27, Методы отыскания характеристических чисел.350. K(z, t) =.. ·..z(2 - t),1:1:� t.О � x, t �- t(2 - z),.171I.2Устойчивость сжатого стержня {продольный изгиб стержня)Уравнение изогнутой уnругой линии стержня имеет вид( )dyd- EI- = М,dжdж·( 9)где М - изгибающий момент, 1 - момент инерции поперечного сечениястержня с абсциссой ж, Е - модуль Юнга.Рассмотрим случай, когда стержень сжимается силами, приложеи­ными к его концам.

Величину каждой из этих сил обозначим через Р.Тогда М = -Р · у и уравнение (9) nримет вид( )dyd- EI- + Р · у = О.dxdж( 10)Концы стержня не смещаются в наnравлении, перnендикулярном стержню, поэтому(1 1)у(О) = y(l} = О,где l - длина стержня. Деля обе части уравнения ( 10) на Е и полагаярЕ=Л, получим( 1 2)-функция Грина дифференциального уравнения (12)Пусть G(ж, t)nри граничных условиях (1 1).

Тогда задача (12)-( 1 1) оказывается экви­валентной задаче решения однородного интегрального уравнения Фред­rольма 2-го родау(х) = Л1j G(ж, t)y(t) dt.( 1 3)оЯдро G(x, t) уравнения ( 1 3) симметрично как функция l}:шна самосоnрЯ­женной граничной задачи. Таким образом, прогиб у(х) сжатого стержняудовлетворяет интегральному уравнению ( 1 3). При nроизвольно взятойрсиле Р число Л = Е не будет характеристическим и решением уравнения (13) будет функция у(х) :::: О. Иными словами, произвольно взятаясжимающая сила оставляет стержень прямолинейным.

В случае, когда172Глава 5. Приближенные методы реше�:�ия уравнttнийР = ЛnЕ, где Лn - характеристическое число ядра G( х , t) , уравнение ( 13)будет иметь неиулевое решение, что отвечает искривлению стержня, т. е.потере его устойчивости.Наименьшая сила Р, при которой стержень теряет устойчивость,называется критической силой. Она, очевидно, равна Ркр z Л1Е, где Лt ­наименьшее характеристическое число уравнения ( 1 3).

Для практическихцелей достаточно хорошей является приближенная формула1Лt � -;:====( 14)11j j G2 (x, t) dx dtоодающая Л1 с недостатком.Пример 4.Найти критическую силу для стержня, имеющего формуусеченного конуса с радиусами оснований r0 и r1 = r0( l + q), q > О(рис. 8).Решение. Радиус сечения с аб­сциссой х будетrr(x) r0 ( 1 + q1x ) .t-t<:--0 1'----f::------ххМомент инерции этого сечения будетравен1-f<I а )4= /Т + х 4 ,а f.1плотность стержня, =Уравнение ( 12) в этом случае прини­мает видгдеРис. &2Л(15)-yr�·Для нахоЖдения критической силы определим наименьшее характеристиче­ское число интегрального уравнения1J G(x, t)y(t) dt О,где G(z, t) - функция Грина задачи ( 1 5), ( ).