М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 22

G(<, l ) =1�ж�1� ({ - i ) · о :::;; з: :::;; { ,205. G(z, 1) =) , 1�:� 12� [(з:{)n - (� ) ] , о :::;; з: :::;; {,206. G(x , {){ n1_2Щ' [(z{)n ( ; ) ] , { :::;; x :::;; l.- {l(Iз:n {ln-{ 1 ) 2 ' о :::;; х :::;; { ,207. G(x, {)- {(Jn1n{ х- 1 ) 2 ' { :::;; з: :::;; 1."'• _{{_182212.Ответы11z2+2 1 3. у = 4 (z2 - 4:е 6) .21r= ж - 2 sin z.1214.

у == 4[(I - e 2} ln ж + :�:2 - 1].2 1 5.2 1 6. y = 2[sh z - sh (z - l) - sh l].21 8.11( :) sin z= 2 cos z + 2 -+ z211= .l(2z - 1) sin 1r:e.41Г2 1 7. y = sh z + (l - z)e"' .- 2.183Ответы221 . у(ж) = ЛЖ1ГЖ11'Ж2J-1 G(ж, {) y({) d{ + ; sin 2 + 11'2 cos 2 '; � ({ - ж) , -1 � ж � (,{где G(ж, {) =1sin11'1; sin 2 (ж - {) ,1222.

у(ж) = -Л G(ж , {) у({){jо{ � ж � 1.d( + � (2ж3 + Зж2 - 17ж - 5) ,({ - 2) ж + ( - 1, о � ж � (,(( - 1) ж - 1,{ � ж � 1.12223. у(ж) = Л G(:а Ц) у(() d{ + ; (ж2 - 4ж + 6) ,4где G(z, () =j{огде G(ж, () =(2б (Зж - (), ( � z � 1.{224. у(ж) = -Лгде G(ж, {) =2� (3( - z), О � ж � {,1j G(ж, {) y({) d{ + 1�ж(ж - 1)(ж2 + ж - 1) ,о�ж(ж - {)({ - 1), О � а: � {,1- 2 {({ - ж)(z - 1), ( � ж � 1.225.

у(ж) = е" -лj G(ж, {) у({) d{, где G(z, {) = { ((11 ++ ().ж) ж,{,1о/ F(w)e''""' dw, где F(w) - преобраэование00'1229. <р(ж)= - .,21Г-оо l +e- -:r230. <р(ж) = е-ж .231 . <p(t) ={sin 1rtt-2,t =F 1,2't = 1.�-0 � ж � (,{ � 1/: � 1 .Фурье функции /(ж).Ответы1 84t ;t 1 ,= 1.;,;21235. 't'(x) = х - . 236.

ft'(x) 2 ( зе2ж - 1 ) .234. ip(x) = 1 .2238. ip(x) = з <2 cos v'зх + 1 ) .237. ip(x) sin х.11239. ip(x) = 1 + 2х. 240. ip(x) = х + 6 . 241 . ip(x) = 2 sin x + 2 sh x.2vГsхз244. ft'(x) =242. sP(x) = х - .vГs e-2 sh Т х.1245. sP(x)= l +2xe". 246. ip(z)=e"(l+x)2 . 247. ip(x) = 2(e"'+sin z+cosx).248. fP(x) I1 (x).249. ip(x) = -I1(x).(Здесь I1(x) - модифицированная бесселева функция 1 -ro рода.)250. ft'1 (x) = sinx; ip2 (x) = O.

251 . ft't(X) = Зe"' - 2; iр2 (х) = 3е" - 2е2ж.1252. sP1 (x) = е2"'; ft'2 (x) = 2(1 - е2"').ip1(x) = (х + 2) sinx + (2х + 1) cos x;253.1 + 2х2 + -х cosx - ft'2 (x) = 22 - sin x.254.(х) = 2 х; sPz(x) 2 cos х - sРз(х) = х.255. sP1(x) cosx; ip2 (x) sinx; iрз(х) = sin x + cosx.ip1(x) = (t + �) cos x + i sinx;256. ip2(x) = 1 - х + � sin x - 1 + �) cosx;ft'з(x) cosa: 1 - ( 1 + 2 ) sinx.1259.

ip(x) = 2x sinx.258. ip(x) = -е".257. fP(x) = е"' 1.cosx.260. fP(x) = 1 261 . ip(x) =262. fP(x) = 1 - z + 2(sinz - cosx).265. ip(z) = cosz - sinx.263. ip(x) = е-ж 264. ip(x) = с+ 2e-z.- ze267. ip(x) = cosx.266. ft'(x) =l1 .tlXJж={ft' lsin1;�(е-"аа -268.270.272.1хе-" .хtГ"' .(al)а -г�р�(·) � •' - � (ch • - =•). 269.

�(·) �•' + ch 2•.1ip(x) = 1 [е"' - Л(е" - 1 ) ] 271 . ip(x) �(cos х + Л sш.ip(x) = 1 ,\2 [cos х Л( - sш х)].2-Л1_1_+х..)х .1 85Ответы273. ср(х) =sin x1 _Л.275. ср(х) =f (x)+�1 - Л21 - Л2 у ;1-- •v 1r l + x 21 - х ln 3 .276. ср(х) = е-ж +278. ср(х) �274. ср(х) =�284. ср(х) = 1 .f!.Jooо2+ v'1r е- " .1 + х2f (t) sin xt dt (IЛI :f. 1 ) .277.

ср(х) = cos x - sin x .279. ср(х) = /1(х) - f(x) ln a.z2282. ср(х) = е Т (х2 + 2) - 1 .2.85. ср(х) = е-" .286. ср(х) = 4 х .287. cp(x) = cos x - 2 sin x .289. cp(x) = 2 sin x .15288. ср(х) = 2х - х2 •290. ср(х) = 3!(хе-" - х2е-").х2291 . ср(х) = J0(x) .ж2281 . ср(х) = хе- т .х2292. ср(х) = 1 - 2 .хз293. ср(х) = 1 +2х+ 2 + з ·294. Имеем х2 - t2 = х2 - 2xt + t2 + 2xt - 2t2 = (х - t)2 + 2t(x - t) .

Поэтому�3 = /<x - t)2cp(t) dt + 2 j t(x - t) cp(t) dt. Переходи к изображениям и применяяжжоотеорему умножения и теорему дифференцирования изображения, в силу которойtcp(t) 'F -Ф1{р) , получим22- = -з Ф{р) р4рили1Ф {р) =12- Ф1 {р) ,р21р Ф(р) - р.2Решая это дифференциальное уравнение, находим1Ф{р) = С · р + - .2рВ силу того, что Ф{р) есть функция-изображение, Ф{р) должна стремиться к О11при р -+так что С = О и , значит, Ф{р) =откуда ср(х) =2р ,2.296. ср(х) = С + J0(2Vx) .

297. ср(х) = С + х .295. ср(х) = С - х.298. ср(х) = 2 + б(х) - б1(х) . 299. ср(х) = б(х) - sin x.300. <р(х) = б(х) + 3 .301 . ср(х) = 1 + х + б(х) + б1 (х) . 302. cp(x) = l .303. Неразрешимо.304. Разрешимо.305. Разрешимо.35t3 - 27t002n + 1(О < Х < 1 ) . 307. cp(t) = L --Pn (t) (О < Х < 1 ).306. cp(t) =22n=Oоо ,е1ТХ308. cp(t) = 1 + 2t - 2 ( l x l < 1 ) . 309. ср(х) = 1 + т ·( 11":3 ) .3 1 0. ср(х) = 6 х2 +31 1 . ср(х) = 3(1 + 2х2).1 86Ответы3 1 2.

�(ж) = е'" - ж - 0,5010ж2 - 0,1671ж3 - 0,0422ж" ; I<J' - � < 0,008; точное<р(ж) = 1 .3 1 3. �(ж) = соs ж + (78 - 78 sin 1 - 24 cos 1 + ж(84 sin 1 + 108 cos 1 - 84)];I <J' - �� < 0,040; точное решение <р(ж) = 1 .314. �(z) = (3a: - l + e -"' ) - 0,252z2 + 0,084z3 ; I <J' - � < 0,016; точное решение<p(z) = ж .ж + sin ж58 16 .5231 5. <p(z) =+ 9 - 3 sш 1 - cos 1 ж3 ; I<J' - <p l < 0,005; точное152решение <р(ж) = ж.3 1 6. Точное решение <р(х) = 1 .3 1 7.

Точное решение <p(z) = 1 .31 6. Точное решение <p(z) = 1rж.3 1 9. <p(z) = sin ж. 320. <p(z) = cos ж. 321 . <p(z) = chz. 322. !;'(:t) = 1 .325. !;'(:t) = 2.326. !;'(z) = 2.323. !;'(z) = :z:.324. <р(ж) = е'" .327. !;'(:t) = ж2 - 2z. 328. <р(ж) = О .413 4 1 s 1 6 1 13330. ip2 (z) = 1 + z + 2 z2 + 3 ж3 + :.: + 4ж + lS z + ж (!;'о(ж) = 1).2463:z:• z' ж1о331 . !;' (ж) = -ж +(!;'o(z) = 0) .+4 - 1 4 160э332. <р(ж) = ж + 5z2 , !;'o(z) = ж333. !;'(ж) = ж, !;'о(ж) = О.221 2 2 3 1 4l s1 6334. <р3 (ж) = l + ж - 2 ж - 9 ж + ж ж ; l;'o(z) = 1 ; точноеж 2472012015решение !;'(Ж) = cos ж + tg 1 · sin z.335. Ядро уравнения имеет характеристические числа Л,. = n2 и собственныерешение��(_)_.(ортонормированные) функциикает разложениеВданном случаеитерацийИмеемк<Л1 = 1 .!р,.(ж) =ж, t)БеремЛ sin nж ,так что- �1r z:"" sin n:z:n sin nt_"= 1lt'o(z)=1sin 2z-- ,2аядро К(х, t)•Л = 1,и nрименяем формулу]jft'•нl(z) = !;',.(ж) + Л [t(z) - К(х, t)1;'11(t) dt ..."[12 � sin nx sin nt 1]lt' t = - sin 2х + - sin 2z - j- sin 2t dt =ь1220- L.;1r ,.= 1731= 8 sin 2z = 41Ро + 2" sin 2ж,n2допус­21 81Ответыsin nx 2sin nt -7 sin2tdt =ip2 = -78 sin 2x+ [ -21 sin 2x - /..

-1Г2 �L...J8 ]nn=l= 3372 sin2x = '43 lf>t + 21 sin2x и т. д.13Вообще, lf>n+t (x) = lf>n(x) + 2 sin2x. Отсюда4lim lf>n+t (X) = -43 lim lf>n (x) + sin2x-2-,или !f>(x) = �!f>(x) + � sin 2x , так что !f>(x) = 2 sin2x. Непосредственной подста�. есть решение.4 2новкой !f>(x) = 2 sin 2х в уравнение убеждаемся, что336. Выбираем !f>o(x) = cos 31Гх и А = 1 (А > 0).

Формула итераций дает!f>(x) = 1r2 cos 31Гх - решение данноГо уравнения.337. !f>з (х) = 6х2 + l - точное решение. 338. l{>з (х) = l - точное решение.339 . !f>з(х) 1 - точное решение.1341 . А1 = 2 ,4 86; А2 = 32,181.340. А1 = s7 (точное значение А1 = 5).342. A t = 4 , 59.344. А1 = 5.343. А1 = 3.345. А1 = 4 , 19.346. At = 5 ,7 8.347. А1 = 3.348. А1 = 4.349 . А1 = 2 ,475.350.

А 1 = 4,998.0n-"oon-+ooэто=nриложеннеСпециал ьные функции1. Полиномами Лежандра называются многочлены Pn (x) , определя­емые формулойdn [(1nх2 - 1) ] .(=Pn х)2 n n! dxnТак как Р0(х) = 1 , Р1 (х) = х , то, полъзуясь рекуррентной формулой(n + 1)Pn+1 (x) = x(2n + 1)Рп(х) - nPn- 1 (x), можно найти полиномыЛежандра любой степени n = 2, 3 . . .

.Производящая функция для полиномов Лежандра-- -·1у1 + t2 - 2tx=00,'L: Pn(x) · tn ,n=Ol xl � 1 .О < t < 1,Квадрат нормы полиRомов Лежандра равенII Pn (x) ll 2 =11 Pn2 (x) dx-1=22n + 1 .2. Полиномами Чебышёва-Лагерра называются многочлены Ln (x) ,определяемые формулойdn n Ln(x) = ex -n (x e x ) .dxРекуррентная формулаLn+1=(2n + 1 - x)Ln (x) - n2 Ln-1 (x)(n � 1)позволяет получить полиномы любой степени n, зная L0(x) = 1 иL1 (x) = 1 - х . Производящая функция имеет виде - xt/(1-t)1 -tооn= "'\;"""L..J.. Ln (х) t·n=OКвадрат нормы равен II Ln (x) ll 2 = (n!)2 •·ОглавлениеПредварительные замечанияГлава..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Интеrральные уравнения Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1 . Основные nонятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Связь между линейными дифференциальнымиуравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра§ 3 .

Резольвента интегрального уравнения Вольтерра.Решение интегрального уравненияс nомощью резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Интегральное уравнение Абеля и его обобщения . . ..IЛава2. Интеrральные уравнения Фредrольма.. . .915. . . 21. . . 25§ 6. Уравнения Фредгольма. Основные nонятия . . . .

. .§ 7. Метод определителей Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Итерированные ядра. Построение резольвентыс помощью итерированных ядер . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9. Интегральные уравнения с вырожденным ядром . . . . .§ 10.