М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения

Пoбeg,umenu коику.рсаno созgанuю но.выхучебнtiковMuнucmepcmвaоб''разованuя Poc.cuuМ.Л.КрасновА И. Кисепев..Г.И.МакаренкоМ.П.Красиов, А. И.КНсепев, Г.И. МакаренкоИНТЕГРАЯЬНЬIЕУРАВНЕНИИЗАДАЧИиnримеры с nодро6ными решениимиИздание третье,исnравленноеКнига бЬJЛа допущена Министерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля студентов высших технических учебных заведенийУРССМосква • 2003ББК22.161.6я73Краеиов Мцанл Леонтьев ич,Киселев Александр Иванови ч,Макаренко JPи ropиl Иваиови чИитеrральные уравнении: Задачи и примеры е подробными решениями:Учебноепособие. Изд. 3-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 192 с.(Вся высшая математика в задачах.)5-354-00390-3настоящемучебномпособииавторы предлаrают задачи по методамрешенииинтеrралъныхуравнений.В начале каждого раздела книги приводитсясводкаосновныхтеоретичесКихположенийи формул, 350а также, определенийподробноразбираетсяболее70типовыхпримеров.книгесодержится:ЩЦачиответамипримерови указаниимидля самоетоительногорешениибольшинствокоторыхснабжено,к решению.Пособиепредназначенодля студентовтехническихвузов с математическойпоДготовкойатакжедлявсехлицжелающихпознакомитьсяс методами,,решений основных типов интегральных уравнений.ISBNВВИэдательство •Едиториал УРСС•.

117312, r. Москва, nр-т 60-летия Октября, 9.Лицензия ИД N/05175 от 25.06.2001 r. Подписано к печати 15.05.2003 r.Формат 6Ох90/16. ТИраж 3000 экз. Печ. л. 12. Зак. N9 264Отпечатановтипографии ИПО •Профиэдат•. 109044, r.Москва, Круrицкиll18.ISBN 5-354-0039.0-3ИЗДАТЕ ЛЬСТВОНАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫE-mail: URSS@URSS.ruУРССКаталог изданий/ntemвt: http://URSS.ruТеп./факс: 7 (095) 135-44-23Твл./факс: 7 (095) 135-42-46вал,в!©Едиториал УРСС,2003nредварительные замечания1 . Функция f{ж), неотрицателъная на интервале (а,Ь), называетсЯьсуммируемой на этом интервале, если J f (ж) dж конечен О.аФункция f(ж) произволъноrо знака будет суммируемой на интервале(а, Ь) тогда и только тогда, когда суммируема функция 1/(ж)\, т.

е. когдаьинтеграл J I J(ж) l dж имеет конечное значение.адальнейшем мы будем иметь дело с основным интервалом I :::::(а,Ь) (или 10 = (О, а)) и основным квадратом fl{a � ж, .t � Ь} (илиВПо {О� ж, t�а}).2. Пространство L1(a, Ь). Говорят, что f(a:) есть функция с интегри�квадратом на (а, Ь], если интегралруемым1 !2 (3:) d:J:,ьасуществует (конечен). Совокуnность всех функций с интегрируемымквадратом на [а, Ь] обозначим L2 (a, Ь) , или коротко L1•Основные свойства функций иэ L21. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть инте­грируемая функция.2.

Сумма двух функций из L 2 также принадлежит L 2•З. Если f(a:) Е L2 и Л Произвольное действительное число, то-4. Если f(a:) Е L2 и g(:1:)скоrо-ШварцаЕЛ/(:7:) Е L2 .L2, то имеет место неравенство Буняков­ь(//(а:) g(ж) dx) jьtJ2�а/2 (ж) dжьj i(x) dж.(1)аИнтеграл nон!fмается а смысле Лебеrа, однако читатель, незнакомый с интеграломЛебега, может всюду понимать интегралы в смысле Римана.1)Предвврител�ные замечания4Скалярным произведениемНормой функции J(x) Е L211/11 =Для f(x)иg(ж) Е L2j J(ж)g(ж) dж.назы-ь(J,g) =5./(ж) Е L2двух функцийвается числоиg(ж)изL2(2)аназывают неотрицательное число/(i:i)+ь=1 /2 (х) dж.(3)аимеет место неравенство треугольника11/ull � 11/11 + llu/1.(4)6.

Сходимость в среднем. Пусть функции/(х) , / J(x) , / 2(ж), . . . , /n(x) , . . .суммируемы с квадратом на(а , Ь) .ЕслиJ [/п(х) - J(x)]2 dxь���О,ато говорят, что nоследовательность функцийдится в среднем/(х)..или, точнее,... СХQ­к функцииJ1(ж), /2 (ж) ,в среднем квадратичномUn (x)} функций из L2 сходится равно-:­Un(x)} сходится к /(х) в среднем.nоследовательность {/n(x)} функций из L2 сходитсяЕсли nоследовательностьмерно кf (x), то /(х) Е L2Говорят, чтов среднем в себе,N >О , чтоnриn >Nютсяи теслидляилюбого числа е:.>Осуществует такое число1 [/n(x)- /т(ж)]2 dx�еьа> N.

Сходящиеся в себе nоследовательности называ­фундаментальными.Чтобы nоследовательность{/n(x)}сходищ1сьв среднем к пекоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы этаnоследовательность бьmа фундаментальной. ПространствоL 2 nолно, т. е.L2 сходитсявсякая фундаментальная nоследовательность функций изL2•/(ж) и g(x) из L2 (a, Ь) называются эквивалентнымина (а , Ь ) , если /(ж) 'f:. g(x) лишь на множестве меры нуль.

В этом случаеговорят, что /(х) = g(x) nочти всюду на (а , Ь).к функции, также nринадлежащейДве функцииnредварительные jамечанйя53. Пространство с<'>(а, Ь). Элементами этоtо пространства являют­ся всевозможные функции, определенные на отрезке [а, Ь] й имеющиена этом отрезке непрерывные производные до l-й включительно.

Опе­рации сложения функций и умножения функции на число определяютсяобычным образом.Норму эл�мента j(x) Е с(')(а, Ь) определяем по формуле11111 =12:max //k)(x)/,k=O aii;;;z�Ь·..причем /(о)(х) =f(x).Сходимость в с<')(а, Ь) означает равномерnую сходимость как по­следовательности самих функций, так и последовательностей их произ­водных k-го порядка (k = 1, 2, . , l).Понятие суммируемой функцИI.i ш�реноснтсЯ: на случай простран­ства большего числа измерений . Так, например, функцию F(x, t) будемназывать суммируемой с квадратом на П{а � х, t� Ь}, если.ь.ьJj F2(x, t) dx.dtаа< +оо.Норма функции F(x, t) в этом случае определяется равенством1 1 F2(x, t) dx dt.ь//F/1 =аьа4.

Функция f(z) ·комплексного nеремениого z, дифференцируемаяв каждой точке области· G плоскости комплексного перемениого z,называется аналитической (регулярной) в этой области.Функция j(z) называется целой, если она аналитическая во всейплоскости (исключая бесконечно удаленную точку) .Функция /(z) называется мероморфной (или дробной) , если онаможет быть представлена в виде частного двух целых функций:g(z)f(z) = h( ),z.h(z) �О.Мераморфная функция f(z) в любой ограниченной области может иметьлишь конечное число полюсов.Точка z =а называется изолированной особой точкой функции /(z),если существует окрестность О< /z - al < б этой точки, в которой f(z)аналитична, а в самой точке z = а аналитичuостъ функции нарушается.6Пред13арительные замечанияИзолированная особая точка z == а называется по�юсом фуцкции f(z),еслиlim f(z) = ооz-->a!,(пр едполагается, что f(z) однозначна в окрестности точки z =а, zf/:: а).Для того t{Тобы точка z = а бьmа полюсом функции f(z), необ1{одимо1и достаточно, чтобы эта точка была нулем для функции <p(z) =, т.

е.f(z)чтобы <р(а) =О..Порядком полюса z = а функции f(z) называют порядок нуля z ==афункции1<p(z) = f(z) ·5. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z = аназывается число��� f(z) =2:i 1 f(z) dz,сгдес - окружность lz- al = р достаточно малого радиуса.Если точка z =а есть полюсn-го порядка функции f(z), тоres /(z) =z=a,r-11lim n-l { (z- a)n J(z)}.n( - 1)! z-->a dZДля простого полюс·а {n = 1)res f(z) = lim { (z- a)f(z)} .z=az--+a<p(z), причем <р(а) ::f. О, а -ф(z) в точке z =а имеет нуль'Ф(z)первого порядка, т. е.

'Ф(а) =О, 'Ф'(а) ::f. О, тоЕсли f(z) =res f(z)z=a=<р(а)( .'1' а)·"'6. Лемма Жордана. Если f(z) непрерывна в области iz\ � Ro,Im z � а ( а - фиксированное действительное число) и lim f(z) = О,то для Любого Л > ОZ-->001ei'Az f(z) dzR-->oolim= О,где сп - дуга окружности \zl = R , лежащая в рассматриваемойобласти.7Предварительные замечания7.

Функция j(x) называется локально суммируемой, ec.Ji:и она суМми­руема на любом ограниченном множестве.Пусть комплекснозлачная функция <p(t) действительного перемен­иого t локально суммируема, равна нулю при t < О и удовлетворяетусловию l�p(t)l < ме•оt для всех t (М > О, в0 � 0 ). Такие функции �p(t)будем называть функциями-оригиналами. Число s0 называется показат'елемроста функции <p(t).Иреобразованием Лапласа (изображением) функции <p(t) назовемфункцию Ф(р) комплексного перемениого р = в +опредеJ(ЯемуюравенствомФ(р) =iu,001 e-pt<p(t) dt.оДля всякого оригинала ·<p(t) функция Ф(р) определена в полуплоско­сти Re р > в0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.Тот факт, что функция Ф(р) есть иреобразование Лапласа функции <p(t) ,будем записывать так:�p(t) ;:::! Ф(р).8.

Теорема обращения. Если функция <p(t) является оригиналом,а функция Ф(р) служит ее изображением, то<p(t) =-y+ioo2�i 1 еРtФ(р) dp,-y- ooi'У> so,(5)где интеграл берется вдоль прямой Re р = 'У, параллельной мнимой оси,и понимается в смысле главного значения:-y+ioo1 еРtФ(р) dp-y-ioo=-у+iыlimЫ-+001 �Ф(р) dp.-у-iыФормула (5) называется формулой обращения преобразованця Лапл_аса.Если(р)Ф(р) = М 'N(p)где М (р) и N(р) - многочлены от р, причем степень многочленаменьше степени многочлена N(p) , то оригиналом для Ф(р) будетl1(}!lk-1n<p (t) = 2: (n - 1)' lim d nt- 1 { (р - ak) tФ(p) ePt} ,k-+at.Рpk= 1•М (р)8Предварительные замечания .где а�е - полюсы Ф(р), n� .

...,... . их .. nорядюси i;�м!f берется по всемполюсам функцИи Ф{Р) .'М(р)В случае, когда все nолюсы щ, (k::=. 1; 2, . . ; . ,()функции Ф(р) =N(p)простые, имеем.···М(р) ::: � М(а�е)еN(p) · L..J N'(a�e).lle=··. ·'.·,(,okt'= I(J(t)'•'9. Теорема умножения. Пусть функции J(t) и �p(t) являются функ­циями-оригиналами, и пусть�p(t) ;::: Ф(р).J(t) ;::: F(p),ТогдаF(p) · Ф(р) :=t'j J(т)�p(t- т) dт.(6)оИнтеграл в nравой части (6) называется сверткой функции j(t) и �p(t)и обозначается символом j(t) * �p(t),.Таким образом, произведение Изображений является также изобра­жением, а именно, изображением свертки оригиналов:.F(p) · Ф(р);::: j(t) * �p(t).'10. Пусть функция-оо <ж<+оо.j(>.) =J(ж) абсолютно интегрируема на всей осиФункция+ооJJ(ж ) e-i.\z dж-оо(J /(ж) eiAz dж)+ооилиf(>..) =-ооназывается преобразованием Фурье функции f (ж) .Формула обращения преобразования Фурье имеет вuд+оо/(ж) =_!__2?Г fJ(>.) ei>.z d>.-00(ИЛИJ(ж) =)+ооj(>.) e-i>.z d>.