М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 2

.2� J-ооЧтобы придать формулам nрямого и обратного nреобразований Фурьебольшую симметричность, их часто записывают в видеj(>..) =�J+оо/(ж) e-i>.z dж,-оо/(ж)=1м-:-v21r/+оо--оо',\/(Л) е1 z d>..ГЛАВАИнтегралЬные уравненияВольтерра§ 1 . Основные nонятияУравнениеz(1)<p(z) /(z) + Л j K(z, t) rp(t) dt,где /(х), K(z, t) -известные функции, <p(z)- искомая функция, Л ­числовой nараметр, называется 11Uнейным. интегральным уравнением Воль­терра 2-го рода. Функция K(z, t) называется яд[ЮМ уравнения Вольтерра.Если J(x) = О, уравнение ( 1) nриюtмает<p(z) Л J К(х, t) rp(t)(2)=ато=ВИдzdtаи называется однородным уравнением Вольтерра 2-ro рода.Уравнение·11:·jк(х, t) rp(t) dt f(x),аrp(х) -(3)=гдеискомая функция, называют интегральным уравнением Воль­терра 1-го рода. Не нарушая общности, можем считать нижний nредел аравным нулю, что мы и будем nредnо,лаrать в дальнейшем.называют функ­Решением интегрального уравнения ( 1), (2) илицИюкоторая, будучlf nодставлеца в это уравнение, обращает егов тождество (по .rp(x),(3)х).· ·1<р(х) = (2)312 является решением ин тегрального уравнения Вольтерра l + хt <p(t) dt.<р(х) l+x1 - J -(4)1 +х2�ример 1.

Показать, что функция=--2.zоlРешение. Подставляя вместо у;(ж) в правую часть (4) функцию (l + 2 312,)жбудем иметь11 + ж2 -z/оt11 + z2 (1 + t2)3/2dt =1ll + z2 - l + ж 2(z1 1 ) lt= =- (1 + t2)1 2t=o10Глава1.Интегральные урванеlilия Bo�n>teppa111•1/2 =<p(z).1+:е2 * (1 + ж2)Э/2 - l+z2 = (1'+z2)3.1Таким образом, nодстаковка <р(ж) = + 2 312 в обе части уравнения (4) обра­(1ж)щает nоследнее в тожцество по ж:;=(1 + .z2)3/2=(1 + ж 2)3/2 ·l 3Это означает, согласно определеюrю, что <р(ж) =2 ) 121х(+rралъного уравнемня (4).ест!Греwение инте1>З адачи для самостоятельного решенияI1ровернтъ, что данные функции являются решенними соответствующих инте­rральных ура�нений:1 .

tр( ж) = + 2 S/2;(1 ж )2. <р(ж) = e'"(cose" - е'"sine");tp{z) = (1- же2"' ) cos1- е2"'"sin 1 +j (1- (ж - t)e2"']<p(t) dt.оЗ. <р(ж) = же "' ; <p(ж) = e"' sinж+24. <р(ж) = ж-�3";<р(ж) = z"'5 . <p(z) = 1- z;о\}j e"'-1 <p(t) dt =о1 f �<p(t) dt =t7. <р(ж) = 2;"j"/ cos(ж-t) <p(t) dt .оsh (ж-t)х..fi.<p(t) dt.6.

<p(z) =8"3;z3 =j (z- t)2<p(t) dt.о.,(t).1<pdt = 1.( )=.<рхzvz-t1Гv1·'-;.о�Замечание. Интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачахфизики, в которых существует nредпочтительное наnравление измененнянезависимого переменкого (наnример, времени, энергии и т.

д. ) .Пример 2. Рассмотрим nучок рентгеновских лучей, проходящий черезвещество в направлении оси ОХ. Будем считать, что nри рассеянииi 2. • С81lЭЬ с дифференциальными ураsн.ениямиnучок сохраняет это наnравление. Р ассмотрим совокуnность лучейс заданной длиной волны. Проходя через слой вещества толщины tЩ:,часть этих лучей nоглощается, а часть изменяет длину волны из-зарассеян�я.

С другой стороны, эта совокуnность nоnолняется за счет техлучей, которые, обладая nервоначально большей энергией (т. е. имеяменьшую длину волны Л), теряют часть своей энергии из-за рассеяния.Таким образом, если функция f(>., ж) d>. задает совокуnность лучей,длина воли которых заключена в интервале от до >. +то>.d>.,дf�� ж) -рf(Л, а:) + j Р(>., т)f(т, ж) dт,где- коэффициент nоглощения, а Р(>., т)dт - вероятностьтого, что· луч· длиной волныnроходя слой еДинИчной т�лщины,nриобретет длину волны, заключенную меж,nу Л и >. + d>..Мы nоnучили так.

называемоеА=11.(}т,синтегро-дифференциальное уравне­уравнение, в которое неиэвестная функция /(Л, а:) входитnод знаками nроизводной и интеграла.Полагаяние , т. е.00/(Л,а:)= J е-рzф(>.,р) dp,огде ф(Л, - новая неиэвестная функция, найдем, чтоудометворять интегральному уравнению Волыерра 2-го родаф(Л,р) будетр)1ф(Л , ) = --Ар р-р JР(>.,т)ф(т,р)dт.о§ 2. Связь между линейнымидифференциальными уравнениямии интегральными уравнениямиВоnьтерра_,Решение линейного дифференциального уравнения-tflyd + a1(z)d-tfl-1y + ..

. + an(z)yЖ11жn- 1=F(ж)с неnрерывными коэффициентами аi(ж) (i = 1, 2, .. . ,n)условиях. у(О) = Со, у' (О) ;::: Ct ,· -- ·'(1)nриначальных(2),12DraЩt 1�. И�:�теrральНh/f3 ураанения Вольтерраможет быть сведено к решению интегрального· уравнеН;ИЯ ВоJ1ьтерр�2-го рода.Покажем это на nримере дифференциального уравнения 2-ro nо­рядка2ddy-y2 + a1(a:)d· .+ а2(х)у = F(ж),(1')жdx'у(О) = Со, у (О) = С1.(2')········.Полагаем(3)Отсюда, nринимая во внимание начальные условия (2'), nоследовательнонаходим' ф:: = 1 <p(t) dt + С1,оу=•1(ж .... t)!p(t) dt.·о+С1а: + Со.(4)При этом мы исnользовали формулу"':/)$j dx j dx ...

j J(x) dx= (n� l)! j<x-z)n-IJ(z) dz.zozo.жоnzжоУчитывая (3) и (4), дифференциальное уравнение (1') заnишем так:"'rp(a:) +жj a1(x)<p(t) dt+C1a1(x)+ / a,2(x)(x-t)rp(t) dt+оили<р(х) +ожj [а1(ж)о+а2 (х)(х- t)Jrp(t) dt =)ПолагаяJ((a:, t) = -[а ,(х) + а2(а: ) (х- t)],f(x) = F(a:)- C,ai(x)- С,ха2 (х)- Со�2(а:),(б)(7)§ 2. Свяэь с дифференциальными уравнениямиПриведем (5) к видуzv.'(a:) =t) v.'(t) dt + f(x) ,J К(х,о13(8)т. е. придем к интегральному уравнению Вольтерра 2-ro рода.Существование единственного решения уравнения (8) следует из су­ществования и единственности решения задачи Коши (11)-(21) для линей­ного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентамив окрестности точки ж = О.И наоборот, решая интегральное уравнение (8) с К и f , определен­ными по формулам (6) и (7), и подставляя выражение, полученное дляv.'(a:), в последлее из уравнений (4), мы получим единственное решениеуравнения (l'), удовлетворяющее начальным условиям (21).Пример 1 .

Составить интегральное уравнение, сооtветстеующее диф­ференциальному уравнениюf/1у + ху + у = ои начальным условияму(О) = 1, у'(О) = О.Решение.Полагаем(9)ТоrдаdydzПодставляя.,==frp(t)о1J I{J(t)dt + у (О)=z.,оdt ,у=1(z- t)rp(t)dt + 1.о(10)(9) и (10) в данное дифференциальное уравнение, найдемrp(z) + j zrp(t)dt + j<z- t)ip(t)dt + 1 =О,.,.,оrр(ж) = - l -о:zJ(2ж - t) rp(t) dt.о1>Задачи для самостоятельного решенияСоставить интегральные уравнения, соответствующие следующим дифференци­альным уравнениям с заданными начальными условиями:9.

у"+ у== О; у(О) =О, у'(О) = l .1 0. у'- у::::: О; у(О) = 1.Thatm ·1. Интегральные уравненйR Вольтврра1411.12.13.14.у"+у=cos:r;у(О)=у'(О) =О.у"- 5у'+6у=О;у(О)=О, у'(О) 1.у"+у=соsж;y(O)=O,y'{O)=l.у"- if sinz+ е"'у=ж; у(О)= 1, if(O)= - 1 .1 5. у" 4- (1 + ж2)у соsж; у(О)=О, u(O)=2.18. у111 + ху11+(х2- х)у=же"+1 ; у(О)=у'(О) = 1, у"(О)=О.1 7. у"'- 2жу=О;у(О =}i,у (О)=у"(О = 1 .')18.

Покаэать, что линейное дифференциальное уравнение с nостоянными коэф­фициентами nри любых начальных условиях сводится к интеrральному уравнениюВольтерра 2-ro рода с ядром, зависящим лишь от разности аргументов (х- t){интеrральное ураJ!Нение С эамкнуrым ЦИЮIОМ ИЛИ ураВНt\НИе CБe);mGI).Некоторые частные виды уравнений Волътерра 1-ro и 2-ro родовможно решать, с.еодя: их к дифференциальным уравнениям.Пример 2.Решить интегральное уравнениеz<р(х) = ж+Решение.(11)оПереnишем уравнение ( l l) в следуЮщем виде:"'( j t1p(t) dt),lf'(z) == ж l +иj жt<p(t) dt .положимy(z)= l +1)(12)"j t1p(t) dt.( 13)1)Дифференцируем nоследнее равенство:у1(ж)=ZfP(ж).Но так как согласно (12 ) и (13)iр(ж)=zу(ж),то nолучим дифференциальное уравнение относительно функции у(х):Общее решение этого уравненикr/{z)=:r2у(ж).у(х) == Се"'3/3•Заметим, что в силу (13) имеем у(О) = 1 и, следовательно, С= 1.

Таким образом,решение fP(x)=жу(ж) уравнения (11) имеет вид·!>15§ 3. Резольвента. уравнения ВольтерраЗадачи дnя самостоятельноrо реwенияМетодом дифференцирования решить следующие инте гральные уравнения::�1 9. �(z)::: ж-je"'-t�(t) dt.оz20.f ( 2t+ 1)2�(t)dt+1.22.�(ж)==2zоj e=+t�(t)о2ж+ 123.dt = z;. 21.lf(ж) ="'�j e"-t�(t)оdt==:Z·j tp(t) dt +е"'.о§ З. Резольвент�;� и нтеrрапьноrо уравненияВольтерра.

Решение интеrрапьноrоуравнения с nомощью резольвентыПусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода1p(:z:) = /(:z:) +Л:1:j К(х, t) 1p(t) dt,(1)огде К(х, t) есть неnрерывная функция при О� х �а, О� t� х, а /(ж)непрерывна nри О� ж� а.Будем искать решение интегрального уравнения: ( l) в виде бесконеч­ного стеnенного ряда по стеnеням Л:ср (ж) = сро( ж) + Лср1( ж) + Л2tр2 (х) + . .. + Лп'Рп (ж) +....(2)Подставляя формально этот ряд в (1), получимсро(ж) + Лср1(ж) + ... + Лп'Рп(х) +=/(х) + Лre. . .=f К(х, t) ['Po(t)о+Л1Р1 (t) + . ..

+ Лп'Рп (t) +. . .] dt.Сравнивая коэффициенты nри одинаковых степенях Л, найдемЧ'о(х) = /(ж),.iрф:) =Ц'2(ж) =jо К(х, t) 'Po(t) dt jо K(:z:, t) /(t) dt ,Jо К(х, t) Ц'1(t) dt Jо К(х, t) fо K(t, t 1 ) /(tl ) dt 1 dt,re=z:zz=t(3 )16Глава 1. Интегральные уравнения 8ольТ{1рраСоотношения (3) дают способ последовательного определения функций'Pn (x). Можно показатъ, что при сделанных предположениях относитель­но f(x) и К(х, t) полученный таким образом образом ряд (2) сходитсяравномерно по х и Л при любом Л и х Е [0, а] и его сумма естьединственное решение уравнения ( 1).Далее, из (3) следует:'Pt (x)='Р2 (х) ==zj К(х, t) /(t) dt,j К(х, t) [/ K(t, tt) /(t1) dt1] dtооztоzz=z1 /(tt) dtt 1 К(х, t) K(t, tt) dt 1 К2 (х, t1) /(t1) dt1,о=tlгдеК2 (х, tt) =оz1 К(х, t) K(t, tt ) dt.tlАналогично устанавливается, что вообще'Pn (x) =zJ Kn (x, t) /(t) dtо(n = 1, 2, ...

).(4)Функции Kn(x, t) называются повторными или итерированными ядрОми.Они, как нетрудно показать, определяются при помощи рекуррентныхформулKn+t(X, t) =zК1 (х, t) = К(х, t),J К(х, z) Kn(Z, t) dzt(n = 1, 2, ... ) .Используя (4) и (5), равенство (2) можно записать так:00vr.p(x) = f(x) + L: лv=JzJ Kv(x, t) /(t) dt.О(5)17§ 3. Резольвента уравнения ВольтерраФункция R(x, t; Л), определяемая при помощи ряда00R(x, t; Л) = L Лv Kv+l (х, t),v=O(6)называется резольвентой (или разрешающим ядром) интегрального урав­нения (1).