М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 4

> -1) и проинтегрируем по жот о до z:ж)РJ z)P (/(ж- t)PVJ(t) dt)%(}(z-il:оdz=;;J хл(z- z)P dz.оПолагая в интеграле в правой части (7) ж = pz . получимz1охл(z- х)Р dx+ l= z Л p+1 p"(l- р)Р dp::::: zЛ+р+I В(Л1о+ 1, р. + 1) =(7)28Глава 1. Интегральные уравнения Во11ьтерра1) Г(JL+l) (Л+JL+1 > Лz�+.и+l . Г(Л+Г(Л+JL+2)--"---;---'-.......;;._--:-...;_z� 0).(8)Меняя порядок интегрирования в левой части (7), nолучимжzzj (J<z-x)P(x-t)f1v>(t)dt)dx= j (j<z-x)P(x-t)fi dx)v>(t)dt.ооtо(9)Положим во внутреннем интеграле nравой части (9)t p(z-t).х=+Тогдаz1j (z- х)Р(х - t)fi dx =(z- t)P+fi+l j /(1-р)" dptо==(z -t)P+f'+Iв(,в+l, JL+1) =Г(�(;� :� ; 1) (z-t)1щнt.Учитывая (8), (9), (10), из равенстваz(10)(7) flайдемГ(,д+l}Г(Л+1) A+p+l.В+Г(,д+JL+2) j(z - t)P+ Iv>(t) dt Г(Л+JL+2) z . (11)Выберем JL так, чтобы JL+ ,в+ 1 =n, где n - неотрицательное целоечисло.

Тогда из (ll) будем иметьГ(,д+1) j(z- t)nv>(t) dt = Г(Л+1) zA+n-.ВГ(.\+n-,в+1)Г(n+1)оz'оилиz(z-t)n v>(t) dtГ(Л+1)A+n-,8 (12)Г(,д+l}Г(Л+n ,д+1) z .Дифференцируя обе части (12) n+ l раз no z, получим( ) Г(Л+1)(.\+n-,д)(Л+n-,д 1) ... (Л-,д) z�-f.i-l'v> z =Г(,д+l)Г(Л+n-J'+l)или для Л /3+ k #О (k =О, 1, ... , n)(13)v>(z) - Г(,д+Г(1)Л+Г(1)Л-J') z .Jоn!_-_Л-/НЭто и есть решение интегрального уравнения (6).§ 5. Интегральное уравнение Абеля и его обобщенияПример.Решить ин тегральное уравнениеzРешение.j(x- t) �(t) itоВ=х2•данном случае f3 = 1, .Л = 2. Так как .ЛО, 1, 2, ... , n) , то по формуле ( 1 3)Г (З)<р(х) = Г ( 2)Г ( 1) хн-1- f3 + k -:1- О (k =[>= 2·Задачи для самостоятельного решенияРешить интегральные уравнения:59.61 .жjоzjо29(х ..:_ t) 1 13<p(t) dt = х413 - х2•(х - t) 1 14<p(t) dt = х+х2 •60.62.жj(x- t) 1/2<p(t) dt = 1rx.оzj(х - t)2<p(t) dtо;:", ж3•Интеrраilьн�tе.

уравненияФредгольма§ 6 . Уравнения Фредгольма.Основные понятияЛJJнeйHlJIМ интегральнwм уравнением ФредгольМа 2-го рода называетсяуравнение вида1 К(х, t) tp(t) dt :::; J(x),ьtp( x)- Л(1)агде tp(x) - неизвестная функция, К(х, t) и f(x) - известные функции,х .и . t - деЙствителъ!tьiе переменные, изменяющиеся в интервале (а, Ь) ,Л - числовой множитель.Функция К(х, t) называется ядром интегрального уравнения ( 1); пред­полагается, что ядро К(:с, t) определено в квадрате П {а ( х � Ь, а � t � Ь}на плоскости (х� t) и непрерывно в П , либо .его разрывы.

таковы, чтоДВОЙНОЙ инrеграл1 1 IK(:c, t) l2 d:c dtьаьаимеет конечн'?С значение.Если /(:с) � -О, то уравнение (1) называется неоднороднwм; если же/(:с) :: О, то уравнение (1) принимает вид1 К(:с, t) tp(t) dt = Оьtp(:c) - Л;11.'"а(2)и называется однороднwм.Интегральное уравнение видаьJ К(:с, t)<p(t) dt = /(:с),(3)ане содержащее искомой функции <р(:с) вне· Интеграла, наЗывается инте­градщl;IIМ уравнением Ф�ikольма 1-го рода.§ 6. Уравнения Фредгольма.

Основные понятия31Пределы и�егрцро1*Ufия а и Ь в урщ��е�ЯJ( (Н, (2) и (3) мoryr бытькак конеЧными, так и бескон�ЧНымИ. ·Решением интегральных уt)&.Внеиий {1), (2) ц (3) назывilется лю­бая функция tp(z) , при подстЗновке которой в уравнения последниеобращаются в тождества относительно z Е (а, Ь) .,·· ··.·Пример 1 . Задач а о распределен ии яркости света .�Согласно закону геометри­·ческой оптики изображение объ­'' А'Векта nодобно самому объекту, так· --��·�·· r;· -·�'· �·rl --�• 0'l--�что отрезок отображается в отре­·ниб/S(s)Изо раже езок, причем мины этих отрез­1ков, вообще говоря, различны.1 .1При заданной системе линзв приборе р выберем масшта� .бы на осях Ot и О'в так, чтобыд11Я двух взаимно соответствую­Приборшик точек T(t) и S(s) имело меА f·В06� ктсто равенство в = t (рис.

l).l -+i----'-'-_....-'1о-· --'--1._ ,'---�·tT(t)Светящаяся точка T(t) объ­екта АВ влияет на освещениеРмс. 1всего изображения А1В', nриЧем.'наибольшая яркость освещения nриходится на точку S(в) . Таким образом, Ин:.тенсивность освещения К (т. е. яркость света) явЛяется функцией в и t , т. е.К = K(s, t).Обозначим через rJ(t) плотность яркости объекта. Тогда величина8�·...rJ(t)K(s, t)Atбудет давать приближеиное значение яркости изображения в точке S(1), nорожда­емого элементом t:.t светящеrося объекта. Здесь величИНа К(1, t) опреДщетсясвойствами оnтИЧеского прибора.

Яркость изображения в 'tOЧJCe S(&), в силуnринципа суnерnозиции, nриближенно выразится сумМой:Е rJ(t11)K(s, tc)At�o,(4)lrгде суммирование распространяется no всему объекту - отрезку АВ. Пусть минаотрезка АВ равна l. Переходя в сумме (4) к пределу nри max t:.t11 - О, получим'расnределение .яркости изображения в виде,1g(s) =JоK(s, t)rJ(t) dt.(5)В зависимости от различных постановок физической задачи из (5) получаемразличные виды интеrралъных уравнений.

Функция K(s, t) является известнойфункцией, оnредетrемой выбором оnтического прибора. Если плотность ярко­сти изображения g(s) задана, а ищется такое распределение яркости объекта,32Глава 2. Интегральные уравнения Фредгольма.которое дает заданную яркость изображения, тогда g(s) будет данной функци�ей, а ч(s) '- искомой, и, следовательно,будет интегральным уравнениемФредrольма ro рода.Большое физическое значение имеет воцрос: когда изображение таково, что,кроме геометрического подобия, яркость изображения таюке nодобна яркостиобъекта? В этом случае g(s) и q(s) пропорциональны, т. е.(5)1-lg(s) = �ч(s)!и(5) превращается (если написать �(s) вместо g(.s)) в1О �(s) - j K(s, t) � (t) dt,..\от. е.

в однородНое интегральное уравнение Фредгольма 2-ro рода, в котором �(s)является искомой фунJЩией. При этом возникает ВОПроС: Аt()Ж:ет JIИ коэффициентпропорциональности nринимать любые значения, или Же, если это не так, то Д11Якаких значений ..\ физическая задача имеет решение?Е<:ли изменить физическую постановку вопроса и nоrребовать, чтобы раз�ница яркости между точкой объекта и точкой изображения uмena всюду заранеезаданную величину f(s) , т.

е . чтобыч(s) - g(s) = /(s) ,(6)топосле замены в нем g(s) из ( 6) , лереходит в(5),f (s) = q(s) -1j K(s, t)q(t)оdt- неодНородное интеrраnьное уравнение Фредrолъма 2-ro роДа. Здесь искомойфунКЩfей является 11(s).1>11"%Пример 2. Показать, что функция У'(х) = sin Т является решениеминтегрального уравнения Фредгольма.!р(х) - 2 К(х , t) !p (t) dt11" 141о{где ядро имеет видK(x, t) =х(2 - t)2 't(2 - х)2{j'х=l't � х � 1.Решение. Левую часть уравнения заnишем в виде� (z) -2 1: j K(z, t) �(t) dtо=�(х) -2:"оК(х, t) � (t ) dt+1j К(х, t) �(t) dt } ="§ 6.33Уравнения Фредгольма. Основные понятия2 t 2- ж <p(t) + 1 �}<р(х)- '11"4 { J УJ z 2- t <p(t) dt= <p(z) - : { 2 � ж j t <p(t) dt + i ]<z- t) <p(t) dt }·�==.оdtzzо'11":1:sin ,<р(х)ttsin �- dt } =11':t 411'2 { (2 - ж) 1., t sin 'If dt +ж 11(2-t)sin 222=211't2tl'Ifi:1:!.�'11"{= s n 2 4 (2-ж) (- '11" cos 2 + 11'2 sin 2 ) .

t=O +2- t cos-'Ift - 2s2 in -'ll"t ] lt=l } = -.z+ж [--211'2 t=� 211'жх;t2 2,<р(ж) =sin Тnодставляя в nолученное выражение вместотак, получаеместьбудем иметьжо11'функцию=а это означает, согласно определению,решение данного интегрального уравнения.чтоt>3ада чи дпя самостоятельноrо решенияIlроверить, хакие из данных функций являются решениями указанных Инте­гральных уравнений.164.<р(ж) = l, <р(ж) + jz(e"'t - l) <p(t) dt = e"' ..... x.65.<р(х) = 2е" (ж- �) , <р{ж) + 2/ e"'-1<p(t) dt = 2же"'.о1..о<р(х) = 1 - 2sinж..

, <p(z)- j cos (ж + t) <p(t) dt = 1 .1-2167. <р(х) = у'Х, <р(х) - / К(х, t) <p(t) dt = v'X � ;5 (4ж312- 7),ж(2-t)-2- , O � x � t,К(х, t) t(2-ж)--2- , t � z � l.66.--оо{Глава 2. Интегральные уравнения Фредгол�а34J1"88. <p(z) = е"1<p(z) + Л..sin zt <p(t) dt = 1 .о/(z2 + t) cos t <p(t) dt = sin z ."69. <p(z) = cos z ,<p(z) -о70. <p(:t) = же-",,J e-<нt) <p(t) dt = (z - l) e-" .""<p(z) - 4о1t71 .

<p(z) = cos 2z<p(z)1....ЗJоК(ж , t) =72. <p(z)4С .- sш z,1ГгдеС-K(z:, t) <p(t) dt = cos :�:,{ sinsin tzcoscosz,t ,О � ж � t,t � z � 1Г.nроизвольная: постоянная,4<p(z} - 1Г100оsin 2tsin z - <p(t) dt = О.t§ 7 . Метод о пределитеп ей Ф редгоп ьмаРешение уравнения Фредrольма 2-ro родаь�(ж)даетсЯ формулой·- >.1 К{ж , t) �(t) dt�(ж) = /(ж) + >.=J{ж)( 1)ь1 R(ж, t; >.)J(t) dt,(2)где функция R(ж, t; >.) , называемая резольвентой Фредгольма уравне­ния (1)1 оnределяется равенством.DR(ж , t ; >.) = (ж, t; >.)D(>.)(3)§ 7.