М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 6

.s(x. ' t) = ..!_12j<{l; - ·( 8 2 t - st - !3 ) ds.1...s) .+.=о ·1K6 (z, t) =1._..!_ Кз.(z' t) =.j11K2 (z, t). (z - s)(s - t) ds = ----w- � 21222о ·12ж -2124Jt..'(x+t1- - zt - 3 ) .2Отсюда следует, что итерированные ядра имеют вид:1) для n = 2k - 1(- l )H� (z t) ;2) для n = 2k�(z +t(- 1)н1 2k- tК2 •(Ж t). :::::--'.где k = 1, 2, 3, . . . .--2- жt -)3 '1 ··-Пример 2. Найти ите рированные ядра K1(z, t). и K2(z, t) , еслиК(х, t) = emin(z,t) , а = О, Ь = 1 .Решенне. По определению имеем.

{}{ . z,t,еслиО ::;;; z � t,если t ::;;; ж � 1 ;nоэтому данное ядро можно заnисать в видеmtn ж, tК(ж, t)=={ ее1,"' ,если О � ж ::;;; t ,если t � ж � l .Это ядро, как легко проверить, является симметричным, т. е.К(ж, t)=K(t, ж) ,Имеем К1(ж, t) = K(z, t). Находим второе итерированное ядро:11К2 (ж, t)=j K(ж, s) K1 (s, t) ds j K(ж, s) K(s, t) ds.=оЗдесьК(ж, s) =K(s, t) ={ ее"'',{ ее•1 ,'•оесли о ::;;; ж � s,если� а: � ) ,8если о ::;;; 8 ::;;; t,если t ::;;; s � 1 .Так как данное ядро К(ж, t) симметрично, то достаточно найти K2(z, t) толькопри z > t.·Глава.

2. Интегральные уравнения Фpf!J�44Имеем (рцс. 2)tК2(х, t) =1"'j К(х, 8) К(8, t) d8. j К(х, 8) К(8, t) d8 + j К(х, 8) К(8, t) d8.+оztВ интервале (0, t) имеем 8 < t < х, поэтомуtttе2tj К(х, 8) К(8, t) d8 j е'е' d8 == j e2'd8=оооВ интервале (t, х) имеем t < 8 < х , поэтому"'JtК(х, 8) К(8, t) d8 ==="'j е'е1 d8==; 1.ez+t - е21 .tВ интервале (х, 1) имеем 8 > х > t, поэтому1J:tо8ооtхttК(х, 8)К(8, t) d8 =18х1х81Рис. 2К2(х, t)==1j е"'е1 d8"'==(1.....х)е"'н.Складывая найденные интегралы, полу·чим1 + e2tК2(х, t) = (2 - х)е:нt -- (х > t).2Выражение для К2 (х, t) при х < tмы найдем, если поменяем местами ар­гументы х и t в выражении К2(х, t) длях > t:(2 - t) ez+t -2"'1 + е-2-Итак, второе итерированное ядро имеет вид-(х < t).еслиО�х � t,если t � х � 1.[>Замечание.

Если ядро К(х, t) , задаваемое в квадрате а � х � Ь, а � t � Ьразными аналитическими выражениями, не является симметричным, тоследует отдельно рассмотреть случай х < t. При х < t будем иметь (рис. 3)К2(х, t) =ь"'tъj К(х, 8) К(8, t) d8 = j j j.аа+ж+t§ 8 . Итерированные ядра. Построение реэольвеff1ЬI45·Пример 3. Найти итерироsанные ядра К1 (ж, t) и K2(:t, t) , если а = О,Ь= l иК(ж, t ) ={ : � ::если О � :v < t ,если t < ж � 1.Решение. Имеем К1 (ж, t) = К(ж, t) ,j1K2(z, t) =К(ж , s) К(в, t) ds,огдеsа{ ж + в, если о � ж < в,к( x, s) =если s < ж � 1,х - s,ха{ 8 + t, если о � 8 < t,К(в, t) =s - t, если t < s � 1 .tхахТак как данное ядро К(ж, t) не симметрич­но, то при нахождении K2(z, t) рассмотримотдельно два случая: 1) ж < t и 2) ж > t .sttРис.

Зl) Пусть х < t. Тогда (см. рис. 3)K2(z, t) = 11 + 12 + 1з,rдеt12 =f"'13 =f1Складываяэти1(ж + s)(s+ t) ds =st з-6-5ж3+3 2 . 3 2-xt -ж t,22xtР жt2(ж + s)(s - t) ds = - + - - жt + - - 222·61+з·интеrралы, получим2 3 . 2a: - t12+3К2 (ж, t) = t3 - 3 ж - ж t + 2zt - жt +2) Пусть ж > t. Тогда (см. рис. 2)К2(ж , t) = 11 + 12 + 1з,Ь(ж < t).sЬЬТhава 2. Интеrрвльные уравнения ФРедrольма46гдеСкладывая эти интегралы, nолучим2ж-t 1К2 (ж, t) = - 3 zэ - t3 + ж2t + 2zt2 - жt + - + З (ж > t).2{�Итак, второе итерированное ядро имеет видК2 (ж, t) =3, 4,�z t+ · о ::s;; ж < t,- ж3 + е - z2 t + 2жt2 - жt +;ж-t 12 3 з- з ж - t + z2 t + 2жt2 - жt + -2- + з ·t< ж ::s;; 1.Аналогично находятся и остальные итерированные ядра.

. .).К,.(ж, t) (n =1>Задачи для самостоятельного решенияНайти итерированные ядра указанных ниже ядер nри заданных93. К(ж, t) = sin (ж - t) ;а = -1, Ь = 1.1Га = О, Ь = i (n = 2, 3) .94.95.96.97.а = - 1 , Ь = 1 (n = 2, 3) .а = -1Г, Ь = 1Г.а = О, Ь = 1 .а = О, Ь = 1Г.92. К(ж, t) = :е - t;К(:е, t) = (ж - t)2 ;К(ж, t) = ж + sin t;К(ж, t) = же1 ;К(ж, t) = е"' cos t;а и Ь.В следующих задачах найти K2 (z, t) :98.

К(ж, t) = elz-tl ;99. K(:e, t) = el"'l+t ;а = О, Ь = 1 .а = -l, Ь = 1 .Приведем пример построения резольвенты интегрального уравненияс помощью итерированных ядер.§ 81. Итерир0t3ан�:�ые ядра. nостроение резолqsенты47Рассмотрим интегральное уравнение1р(х) - Л11 xt 1p(t) dtо==j(x).( 1 1)Здесь К(х, t) = xt; а = О, Ь = 1 . Последовательно находим:К1 (х, t)=К2 (х, t) =xt,11 (xz)(zt) dz = �t,о1К3(х, t) = З11(xz)(zt) dzо=xt32 ,xtКп (т, t) = зn- J .Согласно формуле (5)R(x, t; Л) =оо� Kn(x, t)лn-t=xtоо�( Л ) n-13=3 t3 �Л•где .

I Л I < 3.В силу формулы (7) решение интегрального уравнения ( 1 1 ) заnишетсяв виде1Зжt1р(ж) /(ж) + ЛJ f(t) dt.В частности, nри /(ж) = ж nолучим=где Л 1-3оiр(ж)=.3Зж3-_..\..\ 'Задачи для самостоятельного решенияПостроить резольвеНТЪI для с ледуЮщих ядер:1 00.

К(х , t) = е"'н ;а = О, Ь = 1 .11'1 01 . K(x, t) = sin x cos t; а = О, Ь = 2 ·а = -1 , Ь = 1 .Глава 2. Интеграл�:>ные уравнения Фредголы.tв481 03. K(ж, t) = (1 + ж)(l - t) ; а = - 1 , Ь = О.а = -1, Ь = 1.1 04. К(ж, t) = ж2 t2 ;а = -1, Ь = 1.1 05. К(ж, t) = жt;ЕслИ М (ж, t) и N(ж, t) - два ортогональных ядра, ·то резольвентаR(ж, t; >.) , соответствующая ядру К(ж, t) = М + N , равна сумме резоль­вент R1(ж, t; >.) и R2 (ж, t; >.) , соответствующих каждому из этих ядер.Пример 4. Найти резольвенту для ядраК(ж, t) = жt + ж2t2, а = - 1 , Ь = 1.Решение.

Как бьmо показано выше, ядра М(ж, t) = жt и N(ж, t) = ж2t2ортоrональны на [-1, 1] (см. с. 41). Поэтому резольвента ядра К(ж, t) равнасумме резольвент ядер М(ж, t) и N(ж, t) . Используя результаты задач 104 и 105,находим3t>где IЛI < 2 ·Задачи для самостоятельного решенияНайти резольвенты для ядер:1 06. K(ж, t) = sin ж cos t + cos 2ж sin 2t; а = О, Ь = 21Г.а = 0, Ь = 1 .1 07. К(ж, t) = 1 + (2ж - 1)(2t - 1);Указанное свойство можно расnространить на любое конечное чи­сло ядер.Если ядра мО>(ж, t), м<2>(ж, t), . . . , м<п>(ж, t) поnарно ортогйналь­ны, то резольвента, соответствующая их суммеnК(ж, t) = L: м<т> (ж, t),m=lравна сумме резольвент, соответствующих каждому из слагаемых.Назовем n-м следом ядра К(ж, t) величину/ Кп(ж, ж) dжьAn=а(n = 1 , 2 .

. . ),где Кп(ж, t) - n-e итерированное ядро для ядра К(ж, t) .(12)§ 9 . Интегральные уравнения с ВЬiрожденным ядром49Имеет место следующая формула для определителя Фредrольма D(Л) : 'D'(Л)D(Л)(В)Радиус сходимости степенного ряда ( 1 3) равен наимен"шему из модулейхарактеристических чисел.Задачи для самостоятельного решенияПоказать, что ,!I.Шt уравнения Вольтерра1 08.IJ'(z) - Аоnределитель Фредrолъма"'1 K(z, t) (J'(t)оD(Л) = e-At.\ ,и, следовательно, резольвента для урав­нения Волътерра есть uелая аналитическая1 09.Пустьdt = f(:t)фуmщияотЛ.R(ж, t; ..\ ) есть резольвента некотороrо ядра K(z, t).Показать, что резольвента уравнения(J'(:t} - tJравнаR(z, t; Л + p).1 10.Пустьь1 R(ж, t; Л) �P(t)<1ьВ ,rдеК,.�х, t)а "-n -eь1 J к'i,(ж, t) dж dt =2В2·dt = /(ж)" аитерированное ядро для ядраВ , то для любоrоnбудет В,.= В" .K(z, t).в; ,Доказать, что если§ 9 .

И нтегральные уравненияс вырожденны м ядромЯдро К(х, t) интегральною уравнения Фредrольма 2-ro рода назы­вается вырожденны.м, если оно является суммой конечною числа nроиз­ведений функций только от х на функции только . от t , т. е. если оноимеет видК(х, t)=n2: ak(x) Ь�t(t);k=l0)50Dtaвa 2 . . Интегральные уравнения ФредголЬfdВфункции a11 (z) и Ь11(t) (k = 1 , 2, . .

. , n) будем .считать. непрерывнымив основном квадра� а � z , t � Ь и линейно независимыми между собой.Интегральное уравнение с вырожденным ядром ( 1)so(z) - �.Ьn1 [L:lc= l11]ak(z)Ь�c(t) so(t) dt = /(z)решается следующим образом.Перепишем (2) в видеso(z) = J(z) + �·.nL: a11(z)lc= lи введем обозначенияь/ Ь11(t) V'(t) dt = С1с(3)примет видso(z)=1.Ь�с(t) so(t) dt(3)11(k = 1, 2, , . .

, n).11ТогдаЬ(2)/ (z) + �С11 -(4)nL: C�call(z),(5)lc=lнеизвестная постоянная (так как функция so(z) неизвестна) .Таким образом, решение интегрального уравнения с вырожденнымядром сводится к нахождению постоянных С1с (k = 1 , 2, . . . , n) . Под­ставляя выражение (5) в интегральное уравнениепосле несложныхвыкладок долучимгде(2) ,� { Cm - 1 Ьт(t) [!(t) f; C�ca�c(t)] dt} am(z) = О.nЬ11+n�В силу линейной независимости функцийследует, чтоилиCm - �nL: С�с11=1Ь111a11(t) Ьт(t) dt =Ьam (z) (т = 1 , 2,1 Ьm(t)j(t) dt11.

. . , n) отсюда(т = 1 , 2, . . . , n) ..§ 9. ИнfефаJtЬнЫtJ уРавнения с вЬфо)iДенным#дром'siВводя для крапости запИси обозначенияьа1ст =получим, что{J a�c(t) Ьт(t) dt ,аСт - ЛJ Ьт(t) /(t) dt,ь/т ="а(т :::::: 1 ,;2,а�стСlс = !тLlc=lили в развернутом виде:.

. . ,'n),( 1 - Лt:iн)CI - Ла12С2 . . . ...:: ..\a1nCn !1 .���.': �'. � ( 1. � �::>.�� .� .. . � �.����: '�-ЛaniCI - Лаn2С2 - . . . + ( 1 - Лann)Cn - fn·=-·.�·..(6)·Для нахождения неизвестных С�с имеем лnнейную dистему из n алге­браических уравнений с n неизвестными. Определи�елъ этой системыравен-Ла1 2 . . .Ла22 . . .1-�(Л) =-Лanl-Лаn2...(7)1 - Лаn11Если �(Л) :;6 0 , то система (6) имеет единственное решение С1 , С2получаемое по формулам Крамера•. • • •·-Лallc- 1 /1 - Лallc+l-Ла21с - 1 !2 - Ла21с + 1(k =1,- Лanl2, .

. . , n) .Решением интегрального уравнения (2) будет функдняделенная равенством<р(ж) = / (ж) + Лгде коэффициентыС1с (k =, С� .(8)<р(ж) ,onpe'-"С�с а�с (ж) ,Llc=l1, 2, . . . , n) определяются по формулам (8).Систему ( 6) можно получить, если обе части равенства (5)последовательно умножить на a1 (:r), a2(:r), . . . , a,.(:r) и цроинтеrриррватъв пределах от а до Ь, либо же подставить пt.ф!!Жение (5) для 1p(:r) в равен­ство (4), заменив :r на t.Замечание.Ц.ава 2.