М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 5

Метод определителей Фредгольма35при условии, что D(Л) =ft О. Здесь D(x, t; Л) и D(Л) - степенные рядыпо Л:оо( 1 )n(x, t)Лn ,--D(x, t; Л) = К(х, t) + ""'! BnnL.....in= l( 1 )nD(Л) = 1 + � -=-, СпЛп ,n=l n.оо(4)·(5)коэффициенты которых определяются формуламиаа,____n. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(6)K(tn ,t) K(tn,tJ) . . . K(tn ,tn )причемььJ. . . JСп =0аВ0(х, t) = К(х, t);K(t 1 , t1) K(t 1 , t 2)K(t 1 , tn)K(t 2 , t1) K(t 2 , t 2 )K(t 2 , tn)К(tз, t1) К(tз, t 2 )К(tз, tn)(7)• • • • • • • • . • • • • . • • • • • • . . • . • • . • • • • • • • • •� K(tn, t1) K(tn, t 2)K(t n , tn)Функция D(x, t; Л) называется минором. Фредгольм.а, а D(Л) .:.... опре­делителем.

Фредгольм.а. В случае, когда ядро К(х, t) ограничено или жеинтегралааимеет конечное значение, ряды (4) и (5) сходятся для всех значений Ли, значит, являются целыми аналитическими функциями от Л .РезольвентаR( х, t; Л) =D(x, t; Л)D(Л)есть аналитическая функция от Л, кроме тех значений Л, которые являют­ся нулями функции D(Л) . Последние суть Полюсы резольвенты R(x, t; Л) .Примерядра1. С помощью определителей Фредгольма найти резольвентуК(х, t) = хе1 ; а = О,Ь = 1.36Глава 2.

Интегральные уравнен/1/Я. ФредгольмаРешение.Имеем В0(х, t)В 1 (х, t)=В2 (х, t) == хе1• Далее,1! 1 t,eхе:о1 dt1 = О,xe lt1e 1:1 1 хе1 хе11 хе12t 1e1 t 1 e11 t 1e12 dt 1 dt2 = О,о оt2 e1 t2 e11 t2 e12jjтак как определители под знаком интеграла равны нулю. ОчевИдно, что и всепоследующие Bn(x , t) = О . Находим коэффициенты Cn :С1=с2 ==1оJ K(t1 , t1 ) dt1 J t 1 e11 dt 1 = 1 ,1 1! ! 1 tt21ee:l tt21 ee:22 1 dt1 dt2 = о.=:=ооо1оОчевИдно, что и все последующие Cn = О.Согласно формулам (4) и (5) в нашем случае имеемТаким образом,D(x, t; А) = К(х, t) = хе1;.R (х, t, А)D{A> = 1 - А.- D(x,D(A)t; A) - 1хе1__.-АПрименим полученный результат к решению интегрального уравнения1<р(х) - ЛСогласно формуле (2)j xe1<p(t) dtо1частности, для f(x)=_Аоe-z получаем.<р(х) = е -zf(x) (Л # 1).J 1хе1 j(t) dt.<р(х) = f(x) + ЛВ=+Л-х.1-ЛЗад ачи для самостоятельного решения73.

Показать, что для уравнения<р(х) = х + >.1j жt<p(t) dtо1>·§ 7: Меfод' О[1ределителей фредгольмаопределитель Фредrольмаа минор Фредrольма74."li(.\) = 1 - 3'D(z, t; .\)·37!zt.Показать, что для уравнеНия1<p(z) = � +).j(zt + t2)'!'(t) dtоимеем75.Показать, что если/ tl(z)/2(z) dz = А,ьK(z, t)то=/1 (z)/2(t)и}"D(.\) = 1 - .\А,D(z, t ; Л) =:= /1 (z)/2(t)и решение соответствующего неоднородноrо интегрального уравнения с nравойчастьюf(z)имеетвид ·���� j f(t) f2 (t) dt.ь<p(z) = /(z) +"76.Показать,чтоеслиK(z ; t) = /1 (z)gJ (t) + /2 (z)g2(t),то D(Л) будет полиномом вrорой степени относительно .\ ; вообще, еслиК(х , t)тоD(.\)nL fт (x)gщ(t),m=lбудет полиномом n-й степени относительноПользуясь определителями77.

K(z, t) = 2z - t;фредfольма, найти ре��венты следУiощих ядер;О � z � 1 , О � t � l.О � z � 1 , О � t � 1.78.79. K(z, t) = sin z cos t ;О � z � 211', О � t � 211'.80. K(z, t) = sin z - sin t ; O � x � 2i, O � t �· 211'.22К(х, t) = x t - xt ;Л.DJaвa 2.Интегральные уравнения ФредrольмаВычисление по формулам (6) и (7) коэффиЦмемтов Bn (x, t) и Cnрядов (4) и (5) nрактичесхи возможно лишь в очень редких случаях,но из этих формул nолучаются следующие рекуррентные соотношения:n! К(х, s)Bn-l (s, t) ав,ьBn (x, t) = CnK(x, t) ь(8)(9)= J Bn-! (s, ) dв.Зная, что коэффициент Со = 1 и В0(х, t) = К(х, t) , no формулам (9)С итдвCnаи (8) найдем посЛедовательно Ct ' B I (X, t), с2 , В2(Х, t), з.

.Пример 2. Пользуясь формулами (8) и (9), найти р.езольвенту ядраК(х, t)= х - 2t,Решение. ИмеемгдеО � х � 1, О � t � 1.Со = 1 , В0(ж, t) = ж-2t.Ct = j<-s)ds= -�.Пользуясъ формулой(9), найдем!оПо формуле(8)получимж - -2t - j(ж- 2s)(s- 2t) dв = -ж -t 2жt + з2 ·ВI(ж, t) = -2 о1Далее будем иметь+1= 1 (-28 + 2i + n ds �·оВ.(ж,t) = ж - 2 }(ж - 2s) (-в -t + 2вt + �) ds =О,оСэ = С-. = ... =О, В3(ж, t) = В4(ж, t) = ... = О.2D(Л ) = 1 + 2 + 6 ; D(z, t; Л) = z - 2t + (ж + t - 2жt - З ) Л.с2::;:2t -Следовательно,лл2Резольвента данноrо ядра будетR.(ж, t; Л) = ж - 2t + (ж +Л t - 2zt- Ч Лl+2+6,\2э1>§8.

.Итернрованные ядра. Построение резольвенты39Задачи для самостоtlтельного решенияИспользуя рекуррентные соотношенияядер:(8)и (9), найm резольвенты следующИХiK(z,t) = z +t + l; -l � z � I. -l � t � l.K(z, t) = 1 + 3zt; -0 � ж � l , О � t � 1.К(ж, t) = 4жt - ж2; - 0 � z � l , � t � 1 .84 . К(ж, t) = е"'-1;-о � ж � l, О � t � 1.О � t � 271'.85. К(ж, t) = sin (z + t); -0 � ж � 271',- l � ж � 1,-1 � t �86. К(ж, t) = z - sht;81 .82.83.О1.С помощью резольвенты решить следующие интегральные уравнения:87.21r�(ж) - .Л Jsin(ж +t) �(t)dt = l.88.оh89.�(ж) - j sin z cost �(t) dt = cos 2z.о91.90.1�(z) - J(2ж t) �(t) dt = �..\о1�(z) + J e"'-1�(t) dt = е"'.о1�(z) - ..\ J(4zt- z2)�(t) dt = z.оО 8. Итерированные ядра.Построение резол ьвентыс помощью итерированных ядерПусть имеем интегральное уравнение Фредrольмаtp(z) - Л11j К(ж, t) tp(t) dtа=f(z).( 1)Как и в случае уравнений Волътерра, интегральное уравнение ( 1 )можно решать методом nоследовательных nриближений.

Для этоrо пола­гаемtр(ж} == /(z) +00L: Фn(х)Лn ,n=l(2)40.IЛава2:· Интегральные ypasнeiOfJI:�aгде Wn(x) определяются nо·формуламW I (x) ='Ф2 (х) :;=Фз (х) =К2 (х, t) =и вообще1 К(х', t) /(t) dt,а.ЗдесьььЬ.Ь.·;,1 K(x, t) ,P! (t) dt = J K2(x, t) f(t) dt,,ааьь1 К(х, t) ф2(t) dt = 1 К3(х, t) /(t) dtаи т. д.а1 К(х, z) К:,(z, t) dz,К3(х, t) =аKn(X, t)=ьJж(x;.t) K2(z, t) dz,аь·1 К(х, z) Kn-t (z,аt) dz,(3)n = 2, 3, , причем К1 (х, t) = К(х, t) . Функции Kn(X , t) , определя­емъiе по формулам (3), назыВаются итерирОваннЬIJ4u ядрами.

�я нихсправедливо. соотношение. . ...-'1 Кт(Х, s) Kn-m(s, t) ds, ..ьKn(X, t) =а(4)'где т - любое натуральное число, менъшее.n.Резольвента интегрального уравнения (1) опреде.цяется через Итери­Р9ванные ядра формулой00R(x, t; Л) = 2::: Kn(x, t)лn-l ,(5)n=lгде ряд, стоящий в правой части, ·называется рядаМ llейi.шна ядра К(х, t).Он сходится для1'1IЛ I < В 'гдеВ=ьь1 1 K2 (x, t) dx dt.аа(6)§ 8 .

�Иrернроввн�t�:о�в ядра. ПосrроеJ:Ше реэольsенты41Решение уравнения Фредr9льм;ц 2-ro рода (1) ВJ»ражается формулойь!p(:t) = /(:t) + ЛJ R(z, t;c �)J{t).Jlt�(7)аГраница (6) является существенной для сходимости р.яда (5). Однако.решение уравнения· (!) может существовать и для значений \Л\ > В .Рассмотрим пример:11IP(:t) -лf 1p(t) dtоЗдесь К(ж , t) = 1 , и, следовательно,в211=1.11(8)= j' j к2(:с, t) d:c dt j 1 dж dt d: 1.о;::;оооТакИм образом, условие (6) дает, что ряд (5) сходится nри \ЛI < 1.Решая уравнение (8) как уравнение с вырож.ценнымядром (см.

§ 9 ),.nолучим ( 1 - Л) С=1, где.С :::::::1f 1p(t) dt.оПри Л = 1 это уравнениенеразрешимо, а значИт, hрн Л = 1 интегральное уравнение (8) решенияite ' имеет. Отсюда следует, что в круге радиуса, большего единицы,последовательные nриближения для уравнения (8) не моrут сходиn.ся.Однако при \Л\ > 1 уравнение (8) разрешимо. В самом деле, если Л :f: 1,1тО функция IP(:c) = -� явnяется решением данного уравнения, что1-Алегко. nроверить неnосредственной nодстановкой.Для некоторых уравнений Фредrолъма ряд Неймана (5) для резоль­венты сходится nрИ лЮбых значениях Л.

Пока::жем это;Пусть имеем два ядра: К(ж , t) и L(ж , t) . Будем называть эти ядраортогональными, если выnолняются два условия:jаj L(ж � z) K(z, t) dz = ОььК(ж, z) L(z , t) dz= О,(9)аnри любых доnустимых значениях х и t .Наnример, ядра К(:с, t) = :c t и L(:c, t ) = хЧ2 ортогоналъны на [-1, 1].В самом деле,11-1(xz)(z2t2) dz2= жt11j z dz = О, j-13-1(ж2z2)( zt) dz=2жt11 z3dz = О.-1, Ihaвa 2.42ИнтеГральные уравнения ФредгольмаСуществуют также ядра, ортогональные самим 'себе. Для та:ких ядервторое итерированное ядро. В этом случае,K2 (z, t) :::::: О, где K2 (z, t)очевидно, все последующие итерированные ядра также равны нулю,и резольвента совпадает с ядром K(z, t) .-Пример.

K(z, t)= sin (zИмеемk- 2t) ;О � z � 21Г , О � t � 21Г .k.j sin (z - 2z) sin (z - 2t) dz = � /[cos (z + 2t - 3z) - cos (z - 2t - z)] dz =] , .=2.. = 0,1 [ 1= - -- sin (z + 2t - 3z) + sin (z - 2t - z)оо23ТакиМ образом, в этом случае резольвента ядра равна самому ядру:что.�R(z, t; �) = sin (z - 2t),( 5)состоит из одного члена и, очевидно, сходится прилюбом � .Итерированные ядраядропо формулеKn (z, t) можно непосредственно выразить через Данноетакряд НейманаK(z, t)Кп(z, t) =ъъъJ J ... J K(z, St )K(s t , s2 ) .

. . K(sn- t • t) ds 1 ds2 . . . dSn-tа аа( 10)K,.(z, t) , начиная с K2 (z, t) , будуr непрерывнымиz � Ь, а � t � Ь} , если начальное ядро K(z, t)Все итерированные ядрафункциями в квадрате n {а �суммируемоСКВадРаТОМ В fl .Если данное ядротоже симметричны.K(z, t)симметрично, т о все итерированные ядраK,.(z, t)t>Приведем примеры отыскания итерированных ядер.Пример 1. Найти итерированные ядра для ядра K(z, t) = z - t, еслиа = О, Ь = 1 .Решение. Полъзуясь формулами (3), найдем последовательно:Kt (Z , t) = z - t,1z+t1K2 (z, t) = (z - s)(s - t) ds = -- - zt - 3 '2о1z-ts+tКз (z, t) = (z - s) -- - st - З ds == -и ·2f/о1K4(z, t) = 121(1)11J(z - s)(s - t) ds = - 12 K2 (z, t) = - ио( -z +-t - zt - 31 ) , .2§ 8.•• Ит�рнрr:танные ядра. nостроение ре�О/IЬЕЩНТЫ_К.