М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 3

Ряд (6) в случае непрерывного ядра К(х, t) сходится абсолютнои равномерно.Повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего пределав интегральном уравнении.Резольвента R(x, t; Л) удовлетворяет следующему функциональномууравнению:жR(x, t; Л) = К(х, t) + Л.1 К(х, s) R(s, t; Л) ds.tС помощью резольвенты решение интегрального уравнения ( 1) за­пишется в видеж<р (х) = f(x) + ЛПример 1.1 R(x, t; Л) /(t) dt.(7)оНайти резольвенту интегрального уравнения ВольтерраК(х, t) = 1.Решение. Имеем К1(х, t) = К(х, t) = 1 . Далее,с ядромК2 (х, t) =согласно формуламf К(х, z) K1 (z, t) dz = f dz = х - t,zz/f---\z.(5)tх - t) 21 · (z - t) dz = ( 2ff (z - t)2 (х - t)3К4 (х, t) = 1 · -- dz = -- - ,К3(х, t) =-,ttz23!ff (z - t)n-2 dz = (х - t) n- 1Kn (x, t) = 1 · Kn-l(z, t) dz = 1 ·tzТаким образом, согласно определениюz(n - 2!)t� _лn (х - t) n� .ЛnKn+l (x, t) = L...JR(x, t; .Л) = L...Jn=On=On.1)(n - 1!= еЛ(z-t) .[>Тhава J.

Интеrр;щЬ!fы� ураsнff!ния ВолыJ�рра18.Задачи для с:амостоятеnьноrо решенияНайти резольвентыми:К(ж, t)для интегральных уравнений Вольтерра со следующими ядра-30. K(z, t)25. K(z, t) = e"'-t.=z - t.1 +z227. K(z, t) = + 21 t24.=28. K(z, t) =•a"'-t (а>0).t ch rt.2 + cos z. 29. K(z, ) =,ch t2 + cos tПредположим, что ядро К(ж, t) есть многочленотносительно t, так что его можно представить в видеК(ж, t)=ао (ж) + а1 (ж)(ж - t) + . ..+(n - 1)-йстепени�;�(�!t (ж- t)n- l ,(8)причем коэффициенты a k (ж) непрерывны в [0, а]. Если определить функ,цию g(ж, t; Л) как решение дифференциального уравнения[<!'9 - Л а (ж) d"- 1 9 + а (ж) d"-29о dжn- 1l dжn-2 + .. .

+ an-l (ж) gdжn1удовлетворяющее условиям]1=Оdgdn-29dn- l gО9 l :r=t dж t =:=dжn-2 :r=tdжn-! :e=t 1,:r=то резольвента R(ж, t; Л) будет определяться равенствомd g ж, t; Л)R( ж, t'. ) 1 " (d nЛж=1. • •='"=К(ж, t) = Ь0(t) + Ь1 (t)(t - ж) +.. . +гдеg(ж, t; Л)==Аналогично в случае, когдарезольвента,·(���;! (t - ж)n- l ,1 d"g(t, ж; Л)R(ж ' t·' Л)== dtn 'Л[есть решение уравненияd"-l gd"g(t)+ЛЬоndtdtn-! + . . .

+ Ьn- I (t) gудовлетворяющее условиям(10).]=О,,(9)(10)(11)'19<p(:z:) = J(a:) +ноКРешение.z1(�- t) <p(t) dt.оВ данном случае(ж, t) = ж.1, все остальные аk(ж) =О,Уравнениев этом случае имеет вид(8), а1(ж) =(9)следовательно, соглас-{ С,(t) е1 + C2 (t) .f:1-t :::;: О,.(12)С, (t) е1- C2 (t) е-1 = l.(12),и, следовательно;находимс,1(t) = е-t ,g(ж, t) =Согласно,g(ж, t; 1)= g(ж, t) =С, (t) е� + C2 (t)e- �.(10) даютРешая систему':d2 g(ж, t; l)- g(ж,' t; 1) = О,dж2откудаУсловияt, Л = 1,(11)21tC2 (t)=--е,2� (ez-t- e-<z-t)) =sh (ж-t) .R(ж, t; 1) = [sh (ж- t) ]:= sh (ж- t).[>Задачи для самостоятельноrо решенияНайти резольвенты интегральных уравнений со следующими ЯдРами31 .К33.К(ж, t)= 2- (ж- t) .32.К(ж t)= 2ж.34К(,•(ж, t) = -2 + )(ж- t) .ж, t)__-(Л= 1):4ж- 2 ..

8(ж - t)+2ж. + 12ж + 1 .35. Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра, ядро которого зависит лишьот разности своих аргументов:<р(ж) = f(ж) +Показатъ, что для уравнениялишь от разности ж- t.jz К(ж- t) <p(t) dtо(Л = 1).(13)(1)) все повторные ЯдРа и резольвента также зависят20Глава 1. Интегральные уравнения ВольтерраПример 3.уравненияС помощью резольвенты найти решени е интегральногоср(х)"'2=е +1zое2 2-t cp(t) dt."'-t2 2при .Л = 1 есть R(ж, t; 1) =Решение. Резольвента ядра К(ж, t) = е"'2 2е"'-1е"'(см.

задачу 26) . Согласно формуле решением данного интегрального-t(7)уравнения является функция[>Задачи для самостоятельного решенияИспользуя результаты предыдущих задач, найти с помощью резольвент решенияследующих интегральных уравнений:36. ер(ж) = е"+38. ер(ж) = жЗ"'J"' e"'-1cp(t) dt .о37. ср(ж) = sinж + 2z- J 3"'-1cp(t) dt.о40. ср(ж) = 1- 2ж42. ер(ж) = 1 + �? +zJ -t cp(t) dt."' 1 + ж2 cp(t) dt.! t2оое.,2 21.,39. ер(ж) = е sinж+41.жj e"'-1cp(t) dt.оj"'о2+ соsжcp(t) dt.2+ cost"'J е"2-12 cp(t) dt.2ср(ж) = е"2+ "' + 2о+Замечание. Однозначная разрешимость интегральных уравнений Волътер­ра 2-ro родаср(ж)=f (ж) + .\"'j К(ж, t) cp(t) dtо(14)имеет место при значительно более общих предположениях относительнофункции /(ж) и ядра К(ж, t), нежели их непрерывность.Теорема.

Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода (14); у ко­торого ядра К (х, t) и функция f(x) принадлежат соответственно§ 4 . Эйлеровt>� интегралы21. поi)проетранствам L2(П0) и L2(0, а) , имеет одно и только одно реше­ние uз пространства L2( 0, а) .Эrо решение дается формулойzJ R(x, t; Л) J(t) dt,�J?(x) = J(x) + Логде резольвента R(x, t; Л) оnределяется nри nомощи ряда00R(x, t; Л) = 2:: ЛvKv+l (x, t),v=Oсоставленного из итерированных ядер и сходgщегося почти всюду.Задача для самостоятельного решения43. Показать, что уравнение"'�(х) f t''-1�(t) dt(0::;,; х, t ::;,; l)оимеет, кроме непрерывного решения �(х) =О, бесконечное множество разрыв­ных решений видаtp (x)Сх'н,где С - произвольпая постоянная.§ 4 .

Эйлеравы интегр алыrам.ма-функцией или эйлеровым интегралом 2-ro рода называетсяфункцИя Г(х), определяемая равенством=Г(х)00J e-te-I dt,\)(1)где х -любое комплексное число, Re х > ·о. При х = 1 получаемГ(1) =00j e-tоdt =1.(2)Интегрируя по частям, из равенства (1) находимГ(х)1х00Jоe-t tz dt=Г(х + 1).х(3)22Эrо равенство выражает основное свойство rамма-функции:(4)Г(х+ 1) = zГ(ж).Исnользуя (2), nолучаемГ(2) = Г(l + 1) = 1 Г(1) = 1,Г(З) = Г(2 +1) = 2 Г(2) = 2!,Г(4) = Г(З+1) = З Г(З) = 3!,···и вообще nри целом nоложительном значении nГ(n) = (n - 1)!.!00Известно, чтооа:Положив в этом равенствеj00ое-z1(5)dх=т·y1i= t112, найдемe-tt(t/2)-t dt= ../i.Учитывая выражение (1) для гамма-функции, nоследнее равенство запишем так:{ �) =г.Ji.Отсюда с nомощью основного свойства гамма-функции, выраженногоравенством (4),находим()()г �2 =!2г !2 = !..fi'2и т.д.Вообще, как нетрудно убедиться, справедливо равенство11 3 S (2n- 1) r=v'trГ n+- =22n(n( )··• • •·целое nоложительное).Зная значение гамма-функции nри каком-то значении аргумента,можно из равенства (3) вычислить значение этой функции nри аргументе,уменьшенном на единицу.

Наnример,-г(�) = �../i.Поэтому( ) г (1�) =г � =2v;r..2Действуя аналогично, найдем(4 )Jг..'....: � -:- +.....: ,= -2v;i,12г 1) =�+(�)(г (-� ) = -�Vi2г - �2 =fiзv·л,32и т. д.'.15.Нетрудно nроверитъ, что Г(О) = Г(-1) = ... = Г(-n) = . . = оо. Вышемы оnределищ1 Г(z) для Re z >О. Указанный сn�об ВЫЧJf: СЛения Г(z)·nродолжает эту функцию в левую nолуnлоскость, ·где Г(z) оnределенавсюду, кроме точек z = -n (n- целое nоложительное и 0).Отметим еще следующие соотношения:.Г(z)Г(l - z) = -.1[7rZ-Stn,( �) =21-2:r7r1/2Г(2z),Г(z)Г z+вообще,( ;) г (z+ ;) ...

г (z+ n : ) =(21r)<n:I)/2n<112)-n:rг(nz)1Г(z)r z+(теорема умножения Гаусса и Лежандра).Гамма-функция была оnределена Вейерштрассом nосредством уравпенияll { (t .=-.).· e""'ln } '_1_ = zerzГ(z)n=lгде7=2� (1+ 2l + 31...+ .. +.+n,.(6)·:)1;;; - ln т = 0,5 7721 ....24Глава 1 . Интеrральные уравнения Вольтерра, __,.постоянная Эйлера. Из равенства (6) видно, что фунiЩия Г(z) анали·тична всюду, за исключением точек z = О, z = -1 z = -2, .

. . , где онаимеет простые полюсы .Приведем еще формулу Эйлера, которая получается из (6):,Она имеет место всюду, кроме точек z = О, z = -1, z = -2, . . ..Задачи для самостоятельного решения44. Показатъ, что Г'(l) = -"'(.45. Показатъ, что Rez > Оl ( l z-1Г(z) = J ln ;) dx.о46. Показать, чтоГ'(I)Г(I)47. Доказать, что.Гz( ) =limn-ooг'О) =2In2.-гО)l · 2 . . . (n - 1)zn.z(z + 1) .

. . z( + n - 1)Введем эйлеров интеграл 1-ro рода В (р , q), так называемуюФУ1:1,КЦ1fЮ:В (р, q) =бета­1j af-1(1- x)q-l dxо(Re р >О, Re q > 0).Сnраведливо следующее равенство, устанавливающее связь между инте­гралами Эйлера 1-ro и 2-ro рода:В(р , q) =Г(р) Г(q)Г(р + q) .25§ 5. Интегральное уравнение Абеля и его обобщенияЗадачи для самостоятельного решения48: Показать, чтоВ(р, q)::: B(q,p).49. Показать, что==В(р, q)В(р + 1, q) + В(р, q + 1).50. Показать, чтоВ(р + 1 , q) ::: Е В(р, q + 1).q5 1 . Показать, что1j( 1 +-1:r)P-1( 1 - x)q-l dx = 2Р+Нв(р, q).•52. Вычислить интегралI=1r/2Jоcos m- lx sin n- l :r dx (Re т> О, Re n·>0).§ 5.

Интегральное уравнение Абел яи его обобщени яИнтегральным уравнением Абеля называется уравнение видаzdt=j(x),(1)J�vx=tгде rp(x) - искомая функция, а f(x) - заданная функция. Это�естьинтегральное уравнение Вольтерра 1-го рода.оУравнением Абеля называют также несколько более общее уравнение:аz- постоянная,rp(t) a dt=f(x),J ( t)ох-< а<1 (обобщенное уравнение Абеля).(2)Оf(x) будем считать имеющей непрерывную производную на пекоторомгДеФункцию26,''"Dnma..l.,Интегральные уравнения Вольrерра·:' ' : • '" ' ··1отрезке [О, а}. Заметим, что при t::r' � 2 ЯДро, уравненИя (2) не интегрн.::.руемо с квадратом, т . е.

не является L2-Функцией. Однако уравнение (2)имеет решение, которое может быть найдено. следующим образом.Допустим, что реШение уравнения (2) существует. Заменим в урав­,,''''''нении х на 8 , умножим обе ч асти полученного равенства на(хи проинтегрируем по s •от О до х:_.•zJоjz,jd8I{J(t)dt (х s) 1-a , (s t) a_о_о_d88) 1_а/(8)d8(х 8) 1-а •_Меняя слева порядок интегрирования, получимzzj !p(t) dt j (х- 8)1�:(8-t)a = F(x),огдеtF(x)Во внутреннем интегралеzJt=z/о/(8)) l d8.(Х- 8 -а.(3) сделаем nодстановку 8 = t + у(х- t) :j1d8=(:с- 8) 1 -a (s - t) a .Тогда из уравненияJI{J(t) dtоилиоdy= 11'.ya ( l - у) 1-а sin t::r1Г(3) имеемz=sin t::r1Г-11'.sinsint::r1ГI{JX( ) = a1r F' (х) =.(3)11'.--11'--F(x),(jz·оf(s)d8(:с- 8) 1 -а).'z(4)Итак, единственное решение уравнения (3) дается формулой (4), которуюс помощью интегрирования по частям можно переписать еще в виде/{)(а:)= sin t::r1Г11'[/(0)j+z 1 -azо./ '(s)](а:.__ 8) 1-а ds .(5)§ 5. Интегральное уравнение Абеля и eta обобщения21,Задачи для самостоятельного решенияf(z) Е С== const решением уравнения: Абеля (1)является циклоида.

(Задача о тауоохроне: найТи кривую, сколюя: моль коrоройбез трения, тяжелая частица дocrnraeт своеrо �ro НJIЭKoro положения: за (ЩНОи то же время независимо от ее начального положения.)53. а) Показать, что в случае5жб) Показатъ, что в случае /(ж) =решением уравнения: Абеля�удут JiрЯМЫ!.'.Решить следующие интеrральные уравнения:"'54.1оrp(t) dt = zn(z- t)"(О< а< 1).t)55. 1 rp(zv '57•Z,оdtг::::--;trp(t)-dtt-1 vre'"ог::::--7.= sm z.z1/2 .58. Решить двумерное уравнение Абеля-frJDJrp(re, у) az ау='J(Yo- у)2- (zo- re)2 /(rt&, Уо).•Здесь область Dравнобедренный nрямоугольный треуrо,ЛЬНJIК с гипотенузойна оси ОХ и с вершиной в точке ( z0, Уо) ·Рассмотрим интегральное уравнениеJ(ж:1-о- t)P �P(t) dt = �;.(6)(Л � О, {З > -1вещественное), являющееся в некотором смыследальнейшим обобщением уравнения Абеля (2).Умножим обе части (6) на (z(р.