М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения, страница 9

Интегральные уравнения ФредгольмаЗадачи для самостоятельного реwения1 56. Найти собственные функции и соответствующие характеристические числауравнений<р(х) = А 1 cos 2 (х - t) ';'(t) dt.1f_,.Показать, что симметричное ядро11 - h2К(х' t) = 21Г 1 - 2h cos (х - t) + h2 (-1Г � х, t � 1Г)имеет при lhl < 1 собственные функции 1, sinnx, cosnx, соответствующие1 1.характеристическим числам 1, -,h"h" 1 58. Найти характеристические числа и собственные функции интегральногоуравнения1 57.';'(х) = А"1 К(х - t) ';'(t) dt,где К(х) = х2 (-1Г � х � 1Г) - периодическая функция с периодом 21Г.Экстремальные свойства характеристических чисели собственных функцийАбсолютная величина двойного интеграла (интеграла Тhльберта)! J J К(:х, t) <,о(:х) <,o(t) d:x dtj ,ьj (К<,о, <,o) j =ьаагде К(:х , t) = K(t, ж) - симметричное ядро некоторого интегральногоуравнения, на множестве нормированных функций <,о(:х) , т.

е. таких, что1 <,о2(:х) d:x = 1 ,ь(<,о, <,о) =имеет максимум, равныйа1max \(K<,o , <,о) \ = IAJ'где Л t - наименьшее п о абсолютной величине характеристическое числоядра К ( :х, t) . Максимум достигается при <,о(:х) = <р 1 ( :х) - собственнойфункции ядра, отвечающей Л 1•§ 10. Характеристические числа и собственные функцииПример 6. Найти максимум[ (К<р, <р) [ =при условии"'!jjо(<р, <р) =если"'оК(х, t) <р(х) <p(t) dx dt"'jо71l<р2(х) dx = 1,К(х, t) = cos х cos 2t + cos t cos 2х + 1 .Решение. Решая однородное интегральное уравнение"<р (ж) = ..\j (cos ж cos 2t + cos t cos 2ж + 1) <p(t) dtо1как уравнение с вырожденным ядром, находим характеристические числа ..\1 = �2и ..\2'3 = ± - и соответствующие им собственные функции <р1 (ж) = Ct , <р2 (ж) =�С2(соs ж + соs 2ж) , <р3(ж) = С3(соs ж - соs 2ж) , где С1 , С2 и Сз - nроизвольвыеnостоянные.1Наименьшим no модулю характеристическим числом является ..\ 1 = - , ему�отвечает собственная функция <р1 (ж) = С1 • Из условия нормировки (<р, <р) = 11находим С1 = ± г,;-:: .

Следовательно,v 2�max""1 j j(cos ж cos 2t + cos t cos 2ж + 1) <р(ж) <p(t) dж dt l = 2�,оои достигается он на функциях <р(ж) = ±1.vг,;-::2�Задача дпя самостоятельноrо решения1 59. Найти максимумnри условии, что1jjааК(ж, t) <р(ж) <p(t) dж dtl72Dtaвa 2. Интеrральные ураt!#ЩШНЯ Фрвдrольмаесли:а) K(x, t) = zt , O � z, t � l; б) K(x, t) = xt + �1t1, - l � z, t � l;(z + 1) t, О � х � t ,в) К(z, t) =(t + l) z, t � ж � 1 .{§ 1 1 . Решение однородных интеграл ьныхуравнений с .вырожденным ttдромОднородное интеrральное уравнение с вырожденным ядром(1)когда nараметр >. не является его характеристическим числом (т.

е.д(>.) f. 0), имеет единственное нулевое решение: <р(х) = О . Если же Лесть характеристическое число (т. е. д(Л) = 0), то кроме нулевого ре­шения уравнение (l) имеет и неиулевые решения, которыми являютсясобственные фуНкции, соответствующие этому характеристическому чи­слу. Общее решение однородного уравнения (1) nолучается как линейнаякомбинация этих собственных функций.Пример. Решить уравнен ие�(х) - >.'lfj(cos 2х cos 2t + cos 3t cos Зх) �(t) dt = О.оРешение.

Характеристические числа данного уравнения суrь Л1 =Л2 = - , а соответствующие и� собственные функции имеют вид8471'.71'<p1 (z) cos 2 z,Общим решением уравнения будет<p2 (z) = cos 3:�t.если Л8<p(z) = С cos 3z,если Л = -;<p(z)еслио,71'где С - произвольмая постоянная. Последнее, нулевое, решение получаетсяиз общих решений nри С = О.!>73§ 12. Неоднородные снммеrрН'!ные уравненияЗада чи дпя с амостоятепьноrо решен ияРе шить следуюшие однородные и нrеrралъные уравнен ия :tр(ж) - j (ж +t}lp(t) dt = О."1 60.).cosarccos жtp(t) dt == О.оо1 63.1 64. tp(x) + 6tр(ж)- Л j1161.·�(ж) -1j(ж1 - 2xt) tp(t) dt = О.� j lx1 tp(t) dt2-2О.о§ 1 2 .

Неоднородны е симметричныеуравнеимяНеоднородное интегральное уравнение Фредголъма 2-ro родаьIР(ж) - Л1 К(х, t) 1p(t) dt = /(ж)(1)аназывается симметричным, если его ядро К(х , t) си мметрично: К(ж, t) =K(t , x).Если /(z) непрерывна И параметр Л не совпадает с характери ­стическими числами Лn (n = 1 , 2, . . . ) соответствующего однородногоинтегрального уравнения1р (ж) - Льj К(х, t) 1p(t) dt = О,(2)то уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение, котороедается формулойip(X) = / (ж) - л00L л аплn IPn(x),n=lгде IPn(x) - собственные функции уравнени я (2),ьan =J f(:r:) I.Pn(x) d:r:.а(3)(4)74Тhава 2 .

Интегральные уравнения Фредrольмапричем ряд, стоящий в правой части формулы (3), сходится абсолютнои равномерно в квадрате а � х , t � Ь.Если же параметр >. совпадает с одним из характеристических чисел,например >. = >.1 0 ранга q (кратность числа Л�с) , то уравнение ( 1), вообщеговоря, не имеет решений. Решения существуют тогда и только тогда,когда выполняются q условий1 f(x) !i'm (x) dx = Оь(m = 1, 2, . . . , q),о(5)т. е. когда функция f(x) ортогональна ко всем собственным функциям,принадлежащим характеристическому числу Л�с . В этом случае уравне­ние (1) имеет бесконечное множество решений, которые содержат qпроизвольных постоянных и даются формулой�р(х) = f(x) - >.00:Ln=q+J>.:\ !i'n (x) +n+ CI!i'I(x) + С2�р2 (х) + . .

. + С9�р9 (х) ,(6)где С1 , С2,, Cq - произвольные постоянные.В случае вырожденного ядра• • •.. К(х, t) =т:L а�с (х) Ь�с(t),k=Jформулы (3) и (6) будут содержать в правых частях вместо рядов конечныесуммы.Когда правая часть уравнения ( 1), т. е. функция f(x), будет ортого­нальна ко всем собственным функциям !i'n (:с) уравнения (2), то решениемуравнения (1) будет являться сама эта функция: �р (х) = f(x) .Пример 1 . РеШ!I\ТЬ уравнение�р (х) - >.гдеК(х , t) =11оК(х, t) �p(t) dt = х,{ x(tt(x - 1),1),-(7)если О � х � t,если t � х � 1.Решение. Характеристические числа и соответствующие им собственныефункции имеют видЛn==-1r2 n2 ;<t'n(z)==sin7ГПZ,n = 1, 2, .

. . .75§ 12. Неоднородные симметричные уравненияЕсли Л i- Л,. , то решением уравнения (7) будет(8)правой11 части уравнения:// z d( - �cos n'lfz )(- 1)"+ 1а" = x sin mra: dж =�·Находим коэффициенtы: Фурьеа,.оПодстамяк в (8),оnолучиму?(х).==Лоо(- l }n+lх - - Е (Л . 2 2) stn n'l!'x.· + n 11'1!' n: l n•При Л = -n2 1r2 уравнение (7) не имеет решений, так как(- l )n+ lа,. = --- ;l: O.rиrПример 2.

Ре шить уравнение1<р(х) - ,\гдеК(а: ' t) =j К(а:, t) �p(t) dtо{= cos 1ra:,(ж + 1) t, если О � ж � t ,(t + 1) ж , если t � ж � 1 .Решение. Характеристические числа:Ao = l ,Л,. = -n2 11'2(n = 1, 2, . . . ).Соответствующие им собственНЪiе функции:ж<р0(х) = е , <р,.(х) = sin n1rx + n11' cos n11'z (n = 1, 2,)22Если Л i- 1 и Л "f. -n 1r , то решение данного уравнения будет иметь вид• .

.и так как.Глава 2. Интегральные уравнения Фредгольма76ТО1 + е , е"<p(z) = cos 1ГХ + Л [1 + 1Г 2 л - 1•·_1Г) (sin 1\'Ж + 11" соs1Гж) .2( Л + 1Г 2.]2При .Л = 1 и .Л = -1Г (n 1 ) уравнение решен:цй не имеет, так как его пращчасть, Т. е. фунКЦИЯ COS 1Г Z, не ортоrоналъна К соответствующим собствi:ННЬlМфункциямlf'o (z)е"' , ip1 (z) = sin 1Гx + 1Г cOS 1ГX.Если же .Л = - n2 1r2 , где n = 2, 3, . . . , то данное уравнение имеет бесконечноемножество решений, которые даются формулой (6):<р(х) = cos 1ГЖ + .Л[ /::2 /"' 1 - 2(..\:1Г2]) (sin 1ГЖ + 1Г cos 1Гх) ++ C(sin n1rж + n1r cos mrж),где С - произвольная nостоянная.[>В некоторых случаях неоднородное симметричное интегральноеуравнение можно свести к неоднородной краевой задаче.

Это можносделать тогда, когда ядро К(х, t) интегрального уравнения являетсяфункцией Грина некотороrо линейного дифференциального оператора.Покажем на примере, как это делается.Пример 3. Решить уравнение<р (х) - Л{гдеK(x, t) =Решение.1j К(х, t) <p(t) dt =оsh x sh (t - 1)'sh 1sh t sh (x - 1)' t � х � 1.sh lДанное уравнение перепишем в виде.Л sh (x <р(х) = е" +sh 1Л sh ж j1 ) j sh t <p(t) dt + 7hТsh (t"'Дифференцируя дважды, найдем., .Л sh (x l)<р"( ж) = е +sh lJ"'о--'--...:..

j(9)е:с,1) <p(t) dt.::; j sh (t - 1 ) <p(t) dt,j sh t <p(t) dt + >.. �h ж j sh (t - 1 ) <p(t) dt +"'ооsh t <p(t) dt + .ЛJs l.,(10)"'>.. ch (x - 1)Л сh хsh ж <р(х) - --;ь} sh (ж - l ) <р(ж),+sh 1§ 12. Неоднородные симметр/1/Чные уравненняили77ip11 (ж) = 1р(ж) + Л1р(ж).Полагая в (10) ж = О и ж = 1, получим, что 1р(О) 1, 1p(l)функция 1р(ж) является решением неоднородной краевой задачие.

ИскомаяIJ'11(:t) - (Л+ l)IJ'(z) = О,( 1 1)( 12)1р(О) 1, IJ'(1) = е.Рассмотрим следующие случаи.1) Л + 1 = О, т. е. Л = -1. Уравнение (11) имеет вид )011(ж) = О. Ero общеерешениеiр(Ж) = Сl ж + с2.Учитывая краевые условия (12), получим нахождения постоянныхи с2 систему{ с2 = 1 ,С1 + С2 = е,решая которую находим = е - l, с2 = 1, и, следовательно,)О(ж) = (е - 1)ж + 1.2) Л+ 1 > О, е. Л > 1 (Л '# 0). Общее решение уравнения (ll)1р(ж) С1 ch vГл+1 ж + С2 sh vГл'+1 ж.Краевые условия (12) дают для нахождения С1 и С2 систему{ с\ = 1,С1 ch vГл+1 + С2 sh v'I+l = е,для:clclт.откудаclv'X+l= 1 , с2 = e -shchv'X+lИскомая функция ip(z) после несложных иреобразований приведется к виду( sh v'X+i(l - ж) + е sh v'X+l жIP ж) =sh v'X+l3) Л + 1 < О, т.