П. Халмош - Теория меры, страница 7

В следующих примерах указать в-алгебру, в-кольцо и монотонный класс, порожденные классом Е: а) Х вЂ” какое угодно множество, Р— некоторая фиксированная перестановка точек из Х, т. е. некоторое фиксированное взаимно-однозначное отображение Х самого на себя, Подмножество Е в Х назовем инвариантным относительно Р, если, коль скоро хй Е, непременно Р(х) ЕЕ и Р— л(х) ЕЕ.

В качестве Е взят класс всех инвариантных множеств. б) Х и )в — два произвольных множества, Т вЂ” какое-нибудь (не обязательно взаимно-однозначное) отображение Х в У. Если Ес: У, то Т вЂ” '(Е) означает множество всех х из Х, длн которых Т(х) ВЕ. Š— класс всех множеств вида Т вЂ” '(Е), где Š— произвольное подмножество из Т. в) Х вЂ” топологическое пространство, Š— класс его подмножеств первой категории. г) Х вЂ” трехмерное эвклидово пространство; назовем его подмножество Е цилиндром, если из (х, у, «) б Е вытекает (х, у, «) б Е, где « — произвольное действительное число.

Š— класс всевозможных цилиндров. д) Х вЂ” эвклидова плоскость; Š— класс подмножеств из Х, могущих быть покрытыми конечным или счетным числом горизонтальных прямых Глава || МЕ РЪ| И ВНЕШНИЕ МЕРЫ в 7. МЕРА НА КОЛЬЦАХ Функция, областью определения которой служит какой-либо класс иножеств, называется функцией множества. Действительнзя функция множества р, определенная на некотором классе Е и принимающая конечные или бесконечные значения, называется аддиглианой в том случае, когда она обладает следующим свойством: если ЕЕЕ, ~ЕЕ, Е|) Р~Е и ЕП Р=О, |Е0~)= |Е)+ Л. то р(0 Е) = Х р|Е) Действительная функция множества Р, определенная на некотором классе Е и принимающая конечные или бесконечные значения, называется счетно-аддитианой, если для всякой последовательности непересекающихся множеств (Е„) из Е, соединение которых также принадлежит Е, выполняется равенство Р (0 Е ) = Х р (Е.).

Действительная функция множества р, принимающая конечные или бесконечные значения, называется мерой, если она определена на некотором кольце ||, неотрицательна, счетно-аддитивна и р(0) = О. Заметим, что в силу равенства Действительная функция множества |г, определенная на некотором классе Е и принимающая конечные или бесконечные значении, называется конечно-аддилгианой, если для всякого конечного подкласса непересекающихся множеств (Е»..., Е„) из Е, соединение которых также принадлежит Е, выполняется равенство ч т. мвгл нл кольцах 35 мера всегда конечно-аддитивна.

Тривиальный пример меры можно построить следующим образом. Пусть ) — действительная неотрицательная функция, заданная на каком-нибудь множестве Х и принимающая конечные или бесконечные значения; пусть К вЂ” кольцо, состоящее из всевозможных конечных подмножеств Х Меру Р определим, положив м Р ((хы ..., х„])= ~~~~~(хг) и р,(0)=0. э=1 Менее тривиальные примеры появятся в следующих параграфах.

Пусть на кольце К определена мера р; о множестве Е из К скажем, что оно — конечной меры, если Р(Е) с. со. Е называется множеством о-конечной »гери, если в К существует последовательность множеств (Е„), такая, что СО Ес=ОЕ„и р.(Е„)< со, н=1, 2, ... Если мера любого множества Е из К конечна (о-конечна), то сама мера Р называется конечной (соотв. с-конечной) на К. Если Х~К, т. е. К представляет собой алгебру, и при этом мера самого Х конечна или о-конечна, то Р называется вполне конечной или соответственно вполне а-конечной мерой.

Мера Р называется полной, если из Е~К, Е~Е и Р(Е)=0 следует, что Г~К. Е Если Р— заданная на некотОром кольце К неотрицательная аддитивная действительная функция множества, принимающая конечные или бесконечные значения, причем Р (Е)е, оо хотя бы для одного Е из К, то Р(О) = О. 2. Если Š— непустой класс множеств и Р— мера на К (Е), такая, что Р(Е)с„оз для всех Е из Е, то Р конечна на К (Е) (см. теорему 2 4 5). 3. Пусть р — мера на некотором с-кольце; тогда класс всех мно»эеств конечной меры представляет собой кольцо, а класс всех множеств а-конечной меры — юкольцо. Если, кроме того, мера и а-конечна, то для того, чтобы класс всех л1ножеств конечной меры представлял собой ч-кольцо, необходимо и достаточно, чтобы Р была конечной.

Верно ли последнее утверждение в том случае, когда мера Р не а-конечна? 4. Пусть Р— мерз на некотором юкольце 3 и Š— множество з-конечной меры из $. Если 0 — произвольный класс, состоящий из непересекающихся множеств и содержащийся в 8, то неравенство Р (ЕПО) ~ О выполняется лишь для конечного или счетного числа множеств )? из Р. [у к аз ание е. Предположить сначала, что Р(Е)с.оо; для целых положительных и Рассмотреть классы ~)?: О с9, Р(ЕП()) ж — 1.[ Заданная на кольце К неотрицательная аддитивная функция множеи ст тва Р, принимающая конечные или бесконечные значения и равная нулю на на и устом множестве, конечно-аддитивна. То же верно и тогда, когда Р задана прове "олукольце Р, но доказательство в этом случае нетривиально.

Его можно нйй „ Ровестн следующим образом. Назовем разбиением множества Е из Р конеч- ~~~~~ (Ео ..., Е„) непересекающихся множеств Ен принадлежащих Р, ГЛАВА П. МЕРЫ И ВНЕШНИЕ МЕРЫ соединение которых равно Е. Разбиение (Е!) назовем Р-разбиением, если, каково бы ни было Р из Р, л Р (ЕП Р) = ~~~„' и (Е! П Р). 1=! Разбиение (Е!) множества Е назовем лодразбиением разбиения (Ру) (того же множества Е), если каждое Е, содержится в некотором Ру. Далее доказы-, ваем последовательно: а) Если (Е,) и (Ру) — разбиения Е, то их лроизведение, т. е. класс множеств вида Е1ПР1, также является разбиением. б) Если некоторое подразбиение разбиения (Е!) есть Р-разбиение, то и само (Е!) является Р-разбиением.

в) Произведение двух Р-разбиений представляет собой Р-разбиение. г) Если Е= СасС1с ... сС„= Р где С!бР, 1=О, 1, ..., л, и )У,=С! — С! 1бр, 1=1, ..., л, то (Е, Р„..., Е!и) есть Р-разбиение множества Р. д) Всякое разбиение множества Е из Р есть Р-разбиение. $8.

МЕРА НА ИНТЕРВАЛАХ С целью разъяснения основных понятий теории меры мы рассмотрим сейчас один классический частный случай, важный и сам по себе. В этом параграфе пространством Х будет служить числовая прямая. Пусть Р обозначает класс всех ограниченных интервалов, замкнутых слева и открытых справа, т. е. точечных множеств вида )х: — оо < а < х < Ь < оо), а м — класс конечных соединений интервалов такого рода. Таким образом, Й состоит из множеств вида н О (х ! — со < а! < х < Ь! < оо). 1=! (Легко видеть, что всякое такое множество может быть представлено как соединение непересекающихся интервалов, принадлежащих классу Р.) Ограниченные замкнутые слева и открытые справа интервалы мы условимся называть просто „полузамкнутыми интервалами'.

Использование полузамкнутых интервалов, вместо замкнутых или открытых, представляет собой лишь технический прием. Так, например, если а, Ь, с и б — действительные числа, причем — со ( а ( Ь ( с ( б ( оо, то разность между открытыми интервалами (х: а < х ( а) и (х: Ь ( х ( с) не является ни открытым интервалом, ни соединением конечного числа открытых интервалов. Если рассматривать замкнутые интервалы, то мы столкнемся с подобным же явлением.

С полузамкнутыми интервалами такого затруднения не возникает, и в этом как раз состоит их преимущество. а 8. меРА ИА интеРВАЛАХ 87 Как обычно, мы обозначаем [а, Ь[ = (х: а (х (Ь) — замкнутый интервал, [а, Ь) = (х: а (х ( Ь( — полузамкнутый интервал, (а, Ь) = (х: а ( х ( Ь( — открытый интервал. При этом всегда подразумевается, что а с. Ь. В классе Р мы задаем функцию множества Р, положив [»([а, Ь)) =Ь вЂ” а. Заметим, что в случае а=Ь интервал [а, Ь) оказывается пустым множеством и р(о)=о, Теперь мы выясним, как сказываются на функции [» некоторые теоретико-множественные соотно~нення в классе Р.

Теорема 1. Если (Е„..., Е„) — конечный класс непересекающихся множеств из Р и Е1~Ео, 1=1,..., и, где Ее — некоторое множество, принадлежащее Р, то Х[»(Е1) ([»(Ее). Доказательство. Пусть Е,= [ам Ье), 3=0, 1, ..., и, причем множества Е„..., Е„занумерованы так, что а,(... (агс Из предположений, касающихся (Е„..., Е„), следует, что ао (а1 (Ь1 (... ( а ( Ь (Ьо поэтому ~[»(Е,) =,~,(Ь1 — а,) (~(Ь1 — аг)+~(а,, — Ьг) = 1=1 1=1 1=1 4=1 = Ь~ — а1 (Ье — по= [»(Еа) эь Теорема 2. Если замкнутый интервалРе= [аыЬе[содержится е соединении конечного числа ограниченных открытых инпгереалов , У„, где Уг=(а„дг), 1=1, ..., и, то Ь вЂ” а ( ~~'.,(Ь1 — ас).

1=1 Доказательство. Пустьйг — такой номер, при котором аз~У»с Если Ь», ( Ье, то пусть да†такой номер, при 'котором Ь», ~У»„,' ГЛАВА П. МЕРЫ И ВНЕШНИЕ МЕРЫ если Ьь, <Ьо, то пусть ла — такой номер, при котором Ьь,~ аргон и т. д. по индукции. Мы дойдем, наконец, до номера й»„ такого, что Ьв ) Ьо. Не нарушая общности, можно предположить, что т=л и Уь = У1, .этого можно добиться, выбрасывая лишние У1 и изменяя нумерацию. Другими словами, мы предполагаем, что а,(ао(Ь1, а„(ьо(Ь» и, в случае л ) 1, и1+1< Ь1 < 31+„1'=1, ..., л — 1 Отсюда Ьо ао < Ь» и1 = 31 и1+ сл [Ь1»1 Ь1) < \<1<»-1 ~( ~ [Ьь — а,). и Теорема 3. Если (Е, Е„Е, ...) — последовательность мнолсеств из Р, танин, что Е ЦЕ1, 1=1 р [Ео) < Х [ь [Е1). Доказательство.