П. Халмош - Теория меры, страница 3

Хаусдорфово пространство называется аяоляе регулярным, если для любой его точки у и для любого замкнутого множества 1', не содержащего у, существует функция Т" из зг, такая, что г(у) =0 и Т(х)=1 для всех х из р. Всякое локально компактное хаусдорфово пространство вполне регулярно. 1Иетричесхим пространством называется множество Х с определенной на Хк'Х действительной функцией д, называемой расстоянием, обладающей следующими свойствами: д(х, у)'. О, д(х, у) = 0 тогда и только то~да, когда х=у, и а(х, у) (й(я, х)+а(г, у). Если Е и г" — непустые подмножества метрического пространства, то й(Е, Р)=1В1(д(х, у):х~Е, у~Р( называется расстоянием между множествами Е и Р. Если Р = (хв( — множество, состоящее из единственной точки х„, то вместо Й (Е, (хр() мы пишем просто а(Е хо).

Сферой радиуса го с центром хо называется множество Е= (х: а(хо,х)(го(. Топология меягричесхого пространства определяется требованием, чтобы класс всевозможных сфер служил базисом. Метрическое пространство вполне регулярно. Замкнутые множества и метрическом пРостРанстве Явлаютсв множествами типа Оз. МетРическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно содержит счетное всюду плотное подмножество. Каково бы ни было подмножество Е метрического пространства, функция Т', определяемая равенством Т'(х)=6(Е, х), непрерывна и Е=(х:Т(х)=О). Числовая прямая и тихоновское произведение конечного числа числовых прямых ПРедВАРителъные сВедения 12 представляют собой локально компактные сепарабельные хаусдорфовы пространства; это даже — метрические пространствз, если расстояние д(х,у) между точками х*=(хы...,х„) и у=(у„...,у„) Ча определить как (~(х< — уг)в), Замкнутый интервал действительной 4=1 прямой является компактным множеством.

Отображение Т топологического пространства Х в топологическое пространство У называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества в У есть открытое множество в Х, или, что то же самое, если прообраз любого замкнутого множества в У есть замкнутое множество в Х. Преобразование Т называется открытым, если образ любого открытого множества в Х есть открытое множество в У.

Если  — подбазис в пространстве У, то преобразование Т непрерывно тогда и только тогда, когда Т-'(В) — открытое множество, каково бы ни было В из В. Если непрерывное преобразование Т отображает Х на У и при этом Х компактно, то У также компактно. Гомеоморфизмом называется взаимно-однозначное непрерывное отображение пространства Х на пространство У, для которого обратное отображение также непрерывно.

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных действительных функций непрерывна. Если у'и и†непрерывные действительные функции, то функции у() а и у П д также непрерывны. Типологические группы. Непустое множество Х называется грунной, если в нем определена операция умножения, подчиняющаяся сочетательному закону и условию, что при любых двух элементах а и Ь нз Х разрешимы уравнения ах = Ь и ха = Ь. Во всякой группе существует единственный единичный элемент е, характеризуемый тем свойством, что ех хе = х для любого х из Х Для всякого элемента х в Х существует обратный элемент х — ', характериауемый тем свойством, что хх-'=х-'х=е.

Непустое подмножество У в Х называется нодгруниоб, если х 'у~ У, коль скоро х и у принадлежат У. Если Š— какое-нибудь подмножество группы Х, то множество элементов вида х-|, где х ~Е, условимся обозначать Е-', если Е и Р какие-нибудь подмножества группы Х, то ЕЕ означает . множество элементов вида ху, где х~ Е, у ~ Г.

Непустое подмножество У группы Х будет подруппой в том и только в том случае, если У-' Ус= У. Если х ~Х, то вместо (х) Е и Е (х) принято писать просто хЕ и Ех; об этих множествах говорят, что они получены из Е посредством левого и, соответственно, правого переноса. Если У вЂ подгруппа группы Х, то множества хУ и Ух называются соответственно левыми и правыми смехсными подмножествами ') по подгруппе У. ') Здесь мы вынуждены избегать принятых в русской литературе терминов .смежный класс" нлн .класс смежности, так как класс на протяже.

ннн всей книги означает множество множеств.— Прим. перев. пведвавительные сВедения Подгруппа У называется инеариантной, если ху= Ух при любом х из Х; инвариантная подгруппа иначе называется нормальным делителем группы. Если в классе Х смежных подмножеств по нормальному делителю У определить умножение, положив, что произведение У, и Уя из Х есть множество У,Ув, то Х оказывается группой; ее называют фактор-группой группы Х по У и обозначают Х/У. Единичным элементом е группы Х служит У. Если У вЂ” нормальный делитель группы Х, то отображение я группы Х на фактор- группу Х, ставящее в соответствие всякому элементу х из Х то снежное подмножество, которому этот элемент прннздлежит, называется проекцией группы Х на Х.

Отображение Т группы Х в группу У называется гомоморфизмом, если Т(ху) = Т(х) Т(у) для любых элементов х и у из Х. Проекция группы Х на фактор-группу Х представляет собой гомоморфизм. Топологической группой называется группа Х, представляющая собой одновременно хаусдорфово пространство, если при этом отображение (пространства Х к Х на Х), переводящее (х, у) в х 'у, непрерывно. Класс ьч открытых множеств в топологической группе, содержащих единичный элемент е, называется базисом е точке е, если: а) каков бы ни был элемент х, отличный от е, в Х найдется множество ьг, не содержащее х; б) для любых двух множеств 0 и У из 1ч существует Ж принадлежащее 1ч, такое, что Ф'~У() У; в) для любого У из 1ч существует У, принадлежащее 1ч, такое, что У 'У<= У; г) для любого ьг из гч и любого х из Х существует У, принадлежащее 1ч, такое, что У~хьгх-'; д) для любого У из М и любого х из Х существует У, принадлежащее 1ч, такое, что Ух<=.сг.

Класс всех окрестностей точки е образует базис в е; обратно, если в какой- нибудь группе Х выделен класс 1ч подмножеств, удовлетворяющий только что перечисленным условиям, и в качестве базиса взять класс множеств, получающихся в результате всевозможных переносов множеств из 1ч', то группа Х, таким образом топологизированная, станет топологической группой. Окрестность К единичного элемента называется симметричной, если 1'-' = Ъ', класс всех симметричных окрестностей точки е образует базис в е.

Если ьч — базис в е, а Р— произвольное замкнутое множество в Х, то Р=П(его: сг ~гч). Замыкание подгруппы (нормального делителя) топологической группы Х представляет собой подгруппу (соотв. нормальный делитель). Если У в замкнутый нормальный делитель топологической группы Х, то, объявив в группе Х= Л7У открытыми те множества, прообразы которых при отображении я открыты в Х, мы превратим Х в топо- логическую группу. Сама проекция я при этом окажется открытым непрерывным отображением.

пендвавитнльны свввдвния Если С вЂ компактн, а У вЂ открыт множества в топологической группе и С<=К то существует такая окрестность У единичного элемента е, что ГСУ<=У. Если С и сг †д непересекающихся компактных множества, то существует окрестность У точки е, такая, что С/СУ и сЛ)У не пересекаются. Если С и ьг — компактные множества, то множества С ' и Ссг также компактны. Подмножество Е топологической группы Х называется ограниченным, если для всякой окрестности У единичного элемента е существует конечное множество (х„ ..., х„) (при Е Ф О его можно считать заключенным в Е), обладающее тем свойством, что Е~Ц хаУ.

4 =! В том случае, когда Х локально компактно, это определение согласуется с общим определением ограниченного множества в локально компактном топологическом пространстве (см. выше). Если непрерывная действительная функция у, заданная на Х, такова, что множество йГ(г) = (х:г(х) Ф О) ограничено, то у равномерно непрерывна в том смысле, что для всякого положительного числа а существует такая окрестность у элемента е, что ~у(х,) — у(ха)((е, коль скоро х,х '~ у. топологическая группа называется локально ограниченной, если ее единичный элемент е обладает ограниченной окрестностью. Для всякой локально ограниченной топологической группы Х существует локально компактная группа Х", содержащая Х в качестве плотной подгруппы; эта группа единственна с точностью до изоморфизма и называется пополнением группы Х.

Любая замкнутая подгруппа и любой нормальный делитель локально компактной группы представляют собой локально компактные группы. ГЛАВА 1 МНОЖЕСТВА И КЛАССЫ и 1. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ Всюду в этой книге слово множество будет означать подмножество некоторого заданного множества; последнее, за исключением некоторых особых случаев, будет обозначаться буквой Х.