П. Халмош - Теория меры, страница 8

ПУсть Е,=[ам Ь,), 1'=О, 1, 2, ... ПРи ао = Ьо теорема тривиальна. Если ао < Ьо, то возьмем произвольное положительное число а, такое, что е ( Ьо — ао. Взяв еще произвольное положительное 3, положим Ь Ео=[ао Ьо — '1 " Уг=(иг 21 Ьг) '=1 Тогда Е,с Ци„ 1=1 и согласно теореме Гейне — Бореля, существует такое целое положительное л, что Ео 1= Ц Уо Из теоремы 2 получим 1=1 [ь(Ео) а = [Ьо ао) — е < » » < ~ (Ь1 — а, + — ) ( ~~~~ Р, [Е,) + 3.

1=1 4 1 Отсюда, так как о и 3 могут быть сколь угодно малыми, следует утвернщение теоремы. $ а. меРА нА интеРВАлАх Теорема 4. Функция множества р счвтно-иддитивни на Р. Доказательство. Пусть (Е,) — последовательность непересекающихся множеств из Р, соединение которых — обозначим его Е— также принадлежит Р. Согласно теореме 1, ~р.(Е»)~(»А(Е), я=1, 2, ... »=1 Отсюда Х~(Е) <~(Е). и остается лишь воспользоваться теоремой 3.

Теорема 5. На кольце К суи»вствувт единственная конечная мера »1, такая, что р(Е) =и(Е), когда Е~Р. Доказательство. Всякое множество Е из й может быть представлено как соединение конечного числа непересекающихся множеств из Р. Пусть Е=ЦЕ» и Е=Ц Ев »=1 в=1 †д таких представления одного и того же множества Е. Тогда для любого» = 1, ..., п Е»=0(Е»П Ев) »=1 есть представление множества Е» из Р в виде соединения конечного числа непересекающихся множеств, также принадлежащих Р, и так как р конечно-аддитивна, то ХР(Е»)= Р» Хр(Е»() Г»).

»=1 »=1»=1 Точно так же т ю и ~„(Ег) =~ ~р(Е»П Е,). Отсюда следует, что если Е~-й и (Е„..., Е„) есть конечный класс непересекающихся множеств из Р, соединение которых равно Е, то равенство и р(Е) =Х~(Е) однозначно определяет на Й некоторую функцию »». Из самого определения функции »» следует, что она конечно-аддитивна и совпадает с и на Р. Ясно также, что этими двумя свойствами функция »» определяется однозначно. Остается показать, что (А счетноаддитивна, ГЛАВА П. МЕРЫ И ВНЕШНИЕ МЕРЫ Пусть (Е;[ — последовательность непересекающихся множеств из 1с, соединение которых Е также принадлежит 14.

Каждое Ео в свою очередь, представляет собой соединение конечного числа непересекающихся множеств из Р, Е =БЕ, и р(Ег) - Х р (Ету) у Если Е~Р, то, так как множества Е~~ ие пересекаются и образуют счетный класс, а р счетно-аддитивиа на Р, р(Е) =р(Е) =.ЕХр(Е~у) =Х р(Е). г В общем случае Е представляет собой соединение конечного числа непересекающихся множеств из Р, Е=ОЕ.) в воспользовавшись только что полученным результатом, мы получим р(Е) =.'Е р(ЕА) = Х1 р(Ез() Еа) = =,~~ ~~.', р, (Е; () Еа) = .~, р. (Е~).

в т В силу теоремы б мы можем, ие опасаясь путаницы, писать р(Е) вместо р(Е) даже тогда, когда Е принадлежит й, а не Р. 1. В доказательстве теоремы 4 пусть Е„ — тот интервал последовательности (ЕД, левый конец которого совпадает с левым концом интервала ŠŠ— тот интервал, левый конец которого совпадает с правым концом интер' пз вала Е„, и т. д. Не пользуясь теоремами 1, 2 и 3, показать, что СО СО со 0 Ев ЕР н И (О Е„) =,.~,Р(Е„). 2.

Еще одно доказательство теоремы 4, не опирающееся на теоремы 1, 2 и 3, можно получить, расположив интервалы последовательности (Ег) в порядке возрастания нх левых концов и затем применив траисфинятную индукцию. 3. Пусть Р— конечная возрастающая непрерывная функция действительного переменного; положим Р ([а, Ь)) = а.(Ь) — л(а). 11ля Ра справедливы теоремы, аналогичные теоремам 4 и 5, относящимся к Р $9. СВОЙСТВА МВР 4. Теоремы 4 и 5 могут быть обобщены на и-мерное эвклидово пространство, если ввести .интервалы* вида Е=((хо ..., х„):аг~хг(51, 1=1, ..., л) и положить 5.

Если Р— вполне аддитивная неотрицательная функция множества, заданная на полукольце Р, причем р(0) = О, то на м(Р) существует единственная мера р, такая, что Р(Е) = р(Е), коль скоро ЕЕР. Если И (вполне) конечна, нли е-конечна, то такова же и р (см. упр. 3 $5 и доказательство теоремы 5). $9. СВОЙСТВА МЕР Действительная функция множества Р, заданная на некотором классе Е и принимающая конечные или бесконечные значения, называетсямонотонной, если из Е~ Е, Р~ Е и Е с= Р вытекает р(Е) <Р(Р). Действительная функция множества Р, заданная на Е и принимающая конечные или бесконечные значения, называется субтрактивной, если из Е~Е, РЕЕ, Е ~ Р, Р— Е~Е и )р(Е)) (со вытекает Р(Р— Е) = р(Р) — р(Е) Теорема 1.

Если р — мера на некотором кольце Й, то р монотонна и субтрактивна. Доказательство. Если Е~Е, Р~Е и Ес= Р, то Р— Е~Е и р(Р)=Р(Е)+Р(Р— Е). Монотонность меры Р следует из того, что она неотрицательна. Тогда, когда р(Е) конечно, полученное равенство можно переписать в виде р(Р— Е) =р(Р) — Р(Е), и мы видим, что Р субтрактивна. Ф Теорема 2. Если р — мера на кольце Й, Е~Й, и (Е,) — конечный или счетный класс множеств из Й, такой, что Е ~ ЦЕО то Р(Е) <ХР(Е) Доказательство.

Здесь мы воспользуемся следующим простым, но важным замечанием: если (Р,) — конечный или счетный класс множеств из кольца К, то можно выделить класс (0,) непересекающихся множеств из И, таких, что ООг=0РЙ для этого можно положить ГЛАВА и. МЕРЫ И ВНЕШНИЕ МЕРЫ Требуемый результат получится, если применить это замечание к классу !Е П Е~) и воспользоваться тем, что р счетно-аддитивна н монотонна. Теорема 3. Если р — мера на кольца й, Е~й и (Е,) — конечный или счетный класс непересекающихся множеств из К, такой, что ЦЕь~Е, то ~~~ ~1ь (Еь) ~( р, (Е).

с Доказательство. Если класс (Еь~ конечен, то ЦЕ,~К и, следовательно, ль'„!р(Е,)=рЯЕ1) 4р,(Е). В счетном случае требуемое неравенство можно получить предельным переходом из соответствующих неравенств, справедливых для конечных подклассов. ьь Теорема 4. Если р — мера на кольце й, (Еи) — возрастающая последовательность множеств из К и Иа Ев ~ К, 1по и р, (Иа Еи) = 1пп р (Еи). и в Доказательство. Положим Ее=О; тогда СО СО р(И Е.)=р,0Ев,)=р(0 (Еà — Е -1) ~= и и=1 1=1 = ~~~~р,(Е,— Е,,) =Иа ~ р,(Е1 — Еь 1) = =Иар1Ц (Еà — Еь 1)))=Кар(Ев). Е в п Теорема 5. Если р — мера на кольце К, (Ев) — убывающая последовательность множеств из К, из которых хотя бы одно имеет конечную меру, и Иа Ев ~ К, то р (Иа Еи) = Иа р (Еи). и в в Доказательство. Если р(Е,„)<со, то р(Еи) (р(Е,„)< оо для п)~т, и поэтому р(Иа Е„)ч,оо.

Последовательность (Š— Еи:п=т, $9. СВОЙСТВА МВР т+1, ...) — возрастающая, следовательно, в силу теорем 1 и 4, р (Еы) — 1ь(Ищ Е„) = 1ь(Š— !пп Е„) = = !ь(!пп(Е,„— Е„)) = = Ищ 1ь(Е,„— Е„) = = Ищ (р (Е,„) — р (Е„)) = = 1ь (Еы) — Ищ р. (Е„). Так как !ь(Е ) С со, то теорема доказана. Мы будем говорить, что действительная функция 1ь, заданная на некотором классе Е и принимающая конечные или бесконечные значения, непрерывна снизу на множестве Е (в классе Е), если для любой возрастающей последовательности множеств (Е„( из Е, такой, что 1ппЕи=Е, выполняется равенство Ищ!ь(Еи)=р(Е). Подобным же и и образом 1ь непрерывна сверху на Е, если, какова бы ни была убывающая последовательность множеств (Е„( из Е, такая, что!пи Е„=Е и ~И(Е )(< Оо, хотя бы для одного значения т, выполняется равенство 1йп!ь(Еи)=!ь(Е).

Теоремы 4 и 5 утверждают, что мера 1ь непрерывна сверху и снизу (на любом множестве, входящем в кольцо, на котором р определена); следующая теорема содержит утверждение обратного характера. Теорема 6. Пусть р — конечная неотрицательная аддитивная функция множества, заданная на некотором кольце И. Если !с непрерывна снизу на любом Е из Е или непрерывна сверху на пустом множестве, то !ь представляет собой меру. Локазательств о. Заметим прежде всего, что р, будучи аддитивной и заданной на кольце, конечно-аддитивна.

Пусть (Е„( — последовательность непересекающихся множеств из И, соединение котоРых Е таки!е принадлежит !!. Положим Р„= Ц~, П„=Š— Р„. е г Если !ь непрерывна снизу, то, так как (Ги( — возрастающая последовательность и 1пп Р„= Е, мы получим п си р, (Е) = Ив р (Еи) = 1йп ~~~Р 1ь (Е,) = ~~~Р р (Ее).

и и Сиь Еиь ГЛАВА П. МЕРЫ И ВНЕШНИЕ МЕРЫ Если же р непрерывна сверху на пустом множестве, то, так как (0в) — убывающая последовательность и Иш Оп = 0, в р (Е) = Х Р (Е!)+ р (О ) = Ип! ~, р. (Е!)+Ишр. (0в) =,У, 'р(Е,). в 1=! в ь=! 1. Теоремы 1 — 5 верны не только для колец, но и для полуколец. Доказательства могут быть проведены непосредственно или получены из соответствующих результатов для колец посредством упр. 5 68.

2. Если Р— мера на каком-нибудь кольце И, а Е и Р— множества Р (Е) + р (Р) = Р (Е Ц Р) + р. (Е й Р). Если Е, Р и 0 — множества из Я, то Р(Е)+Р(Р)+и(0)+!ь(Е й Р й О) = =Р(Е 0 Р() О)+! (Е й Р)+Р(Р й О)+Р(0 й Е). Зги соотношения можно обобщить на любое конечное число множеств. 3. Если Р— мера на кольце И, то для двух множеств Е и Р из Я мы пишем Е Р, если Р(Е АР) =О. Отношение . ' рефлективно, симметрично и транзитивно. Если Е Р, то р(Е) =Р(Р) = р(Е й Р). Будет ли кольцом класс тех множеств Е из й, для которых Е Ог 4. Положим р (Е, Р) = ьь (Еб Р). Тогда р(Е, Р) > О, р (Е, Р) = р(Р, Е) и р(Е, Р)(р(Е, О)+ р(0,Р).