П. Халмош - Теория меры

П. ХАЛ МОШ ткорИЯ Мн и Перевод е аиглийского В- Л. ВАСИЛЪКОВА Под редакцией С. В. ФОМИНА И ФЛ ИВЬАТЬЛЪСТЬО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Моеква — 1953 ПРЕДИСЛОВИЕ Понятие меры, возникшее первоначально в теории функций действительного переменного, в настоящее время играет первостепенную роль в самых разнообразных отделах математики. Наряду с теорией функций действительного переменного понятием меры, в той или иной форме, широко пользуются теория вероятностей, функциональный анализ, топологическая алгебра, качественная теория дифференциальных уравнений н т. п.

Различные отделы теоретической физики, используя методы теории вероятностей, функционального анализа, эргодические теоремы и т. д., также оказываются связанными в известной степени с понятием меры. Издаваемая в русском переводе книга П. Халмоша посвящена систематическому изложению теории меры и абстрактного интеграла Лебега и некоторым нх приложениям, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре. Первые восемь глав книги содержат общую теорию меры в абстрактном пространстве.

Понятие независимости множеств приводит к теоретико-множественной трактовке основ теории вероятностей (гл. 1Х), а введение в исходном пространстве топологии — к изучению меры в локально компактных пространствах (гл. Х). Наконец, последние две главы книги посвящены изучению инвариантных мер в локально компактных группах (мера Хаара). Следует отметить, что этот последний круг вопросов сравнительно мало освещен в монографической литературе.

Книга Халмоша построена таким образом, что она является одновременно и руководством для начинающего читателя и справочной монографией для специалиста. Основной текст, написанный с полным проведением всех доказательств, довольно элементарен. Напротив, дополнения, имеющиеся почти во всех параграфах и сформулированные в виде отдельных вопросов или теорем (часто с наводящими указаниями), рассчитаны на более подготовленного читателя. Здесь в очень сжатой форме содержится обширный фактический материал, относящийся как к самой теории меры, так и к разнообразным ее приложениям.

Такая планировка книги позволила автору охватить, при сравнительно небольшом объеме, весьма широкий круг вопросов, причем теория меры излагается в ней с той степенью общности, которая нужна для ее многочисленных приложений. Автору удалось внести Ряд усовершенствований в изложение даже таких классических вопросов, как, например, построение интеграла Лебега, теорема Фубини т.

д. Несколько формальный стиль книги Халмоша делает ее не очень подходящей для самого первоначального ознакомления с пгйдисловий предметом. Однако читателю, уже имеющему понятие об основных идеях теории меры, она будет несомненно интересна. Для лиц, занимающихся главным образом различными приложениями теории меры к функциональному анализу, динамическим системам, случайным процессам и т. д., книга Халмоша может представить даже больший интерес чем, например, „Теория интеграла' Сакса.

Несколько слов необходимо сказать о терминологии автора. Будучи весьма систематичной, она в то иге время не всегда совпадает с общепринятой. В случаях, когда это было целесообразно, такие отступления сохранены и в переводе. Например, у Халмоша слово „класс" всегда означает „множество множеств", поэтому в переводе пришлось отказаться от общепринятого термина „класс смежности по подгруппе", заменив его менее употребительным „смежное подмножество". Некоторые терминологические указания содержатся в подстрочных примечаниях переводчика и редактора. В разработке того круга вопросов, которому посвящена книга Халмоша, советским математикам принадлежит одно из первых мест. Однако Халмош, следуя общей тенденции, принятой в американской научной литературе последнего времени, избегает цитирования советских авторов.

Укажем лишь некоторые наиболее характерные, примеры. Приводя классические теоремы Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина об измеримых функциях (последнюю, впрочем, лишь в упражнениях), Халмош ссылается не на оригинальные работы этих авторов, а на монографию Сакса „Теория интеграла".

Далее, в гл. Ч!!! рассматривается вопрос об условиях изоморфизма меры на абстрактном пространстве с лебеговской мерой на отрезке. Наиболее исчерпывающим образом этот вопрос был решен в работах В. А. Рохлина, совершенно не упомянутых автором. Гл. !Х („ Вероятность" ) представлнет собой, по существу, обработку идей, содержащихся в известной монографии А. Н. Колмогорова „Основные понятия теории вероятностей", однако эта работа упомянута автором лишь по двум, довольно частным, поводам. Рассматривая в гл.

Х!! вопрос о включении группы с заданной на ней инвариантной мерой в локально компактную, Халмош ни словом не упоминает о работах Д. А. Райкова, решившего в своей докторской диссертации аналогичный вопрос для коммутативных групп. Таким образом, необходимо учитывать, что книга Халмоша, давая подробное изложение теории меры и ее приложений, в то же время не может сколько-нибудь правильно ориентировать читателя в вопросах истории этих разделов науки. С. В.

Фомин ПРЕДИСЛО ВИЕ АВТОРА Цель этой книги †да связное изложение той части теории меры, которая по опыту последних лет оказалась наиболее полезной для совреиенного анализа. Если мне удалось достигнуть этой цели, то книга может служить учебником по теории меры и в то же время, для более подготовленного математика, источником справок. Я старался по возможности сократить количество новых терминов и непривычных обозначений.

Немногочисленные отклонения моей терминологии от той, которой обычно пользуются в теории меры, вызваны стремлением согласовать наши термины с принятыми в смежных областях математики. Так, например, в пользу наименований „структура" и „кольцо" для определенных классов множеств можно высказать серьезные доводы алгебраического характера, гораздо более убедительные, чем те аналогии, которые побудили Хаусдорфа ввести термины „кольцо" и „тело'. Длв понимания первых семи глав книги от вдумчивого читателя требуется лишь знакомство с элементарной алгеброй и основами математического анализа. Для удобства читателя во введении, озаглавленном „Предварительные сведения", подробно указано, отдельно по каждой главе, какие именно сведения нужны.

Начинающего читателя не должно обескуражить то, что в этом введении он столкнется с терминами и понятиями, определяемыми позднее, в первых семы главах; пусть он при этом не думает, что его подготовка недостаточна даже для чтения введения. В конце всех параграфов, за исключением $ 44, 63 и 64, приведены упражнения. Иногда они сформулированы в виде вопросов, чаще же в в виде утверждений, которые читателю предлагается доказать. Упражнения следует рассматривать как органическую часть книги; они содержат не только примеры, необходимые для уяснения теории, но также определения новых понятий и даже целые разделы теории, бывшие еще недавно предметом исследований.

Может показаться странным, что в основном тексте многие совсем простые понятия изложены со в еми подробностями, тогда как в упражнениях некоторые тонкие и сложные вещи (топологические пространства, трансфинитные числа, банаховы пространства) появляются мимоходом и предполагаются известными. Впрочем, весь материал пввдисловнв лвтовл расположен так, что если в упражнении мало подготовленный читатель сталкивается с понятием, не определенным до сих пор в самой книге, то такое упражнение он может опустить без ущерба для понимания дальнейшего. С другой стороны, читатель более сведущий с удовлетворением обнаружит именно в таких упражнениях связь теории меры с другими областями математики.

Значок ж в тексте после точки указывает на конец доказательства. Ссылки на литературу собраны в конце книги; там же помещен список литературы. Последний не претендует на полноту. Цель его состоит в том, чтобы в отдельных случаях помочь читателю ознакомиться с понятиями и фактами, которые мы предполагаем известными; в других случаях, когда история вопроса недостаточно освещена,— указать оригинальные статьи, в которых впервые сформулированы соответствующие результаты; главная цель, однако, — ориентировать читателя, желающего глубже ознакомиться с предметом. Упоминаемые в самом тексте теоремы и упражнения снабжены номерами, под которыми они фигурируют в соответствующем параграфе, и тут же указывается номер параграфа; если параграф не указан, то имеются в виду теорема или упражнение, содержащиеся в том же параграфе, что и сама ссылка.