П. Халмош - Теория меры, страница 10

зь Прежде чем перейти к изучению более глубоких свойств р*-измеримых множеств, полезно привести следуюшее простое, но полезное замечание: если на наследственном и-кольце Н задана внешняя мера р* и если множество Е из Н таково, что для всякого А из Н выполняется неравенство рь(А) .» Ре(А П Е)+ р" (А ПЕ')» то множество Е р"-измеримо. Для доказательства достаточно вспомнить, что обратное неравенство рь(А) ~(11*(А ПЕ)+ р*(А ПЕ') прямо следует из полуаддитивности внешней меры. Теорема 2. Если р* — внешняя мера на наследственном о-кольце Н, то класс $ всех р*-измеримых множеств есть а-кольцо. Если А ~ Н, ) Е„) — последовательность непересекающихся множеств из $ и Е=ОЕ„, то <о р*(А й Е) = Х р* (А П Е„).

и=1 Доказательство. Взяв в (5) Е, и Еа соответственно вместо Е и Р, получим р" (А П (Е1 () Е~) = 1»ь (А П Е1) + р ь (А й Е ) Методом индукции доказывается равенство и и ~ь*) АПЦЕь) = ~~~р*(А ПЕ) 1=1 Е 1 для любого целого положительного и. Если мы положим Р„= Ц Ео и = 1, 2, ..., 1 % 11.

измияимыв множества то, согласно теореме 1, будем иметь рь (А) = р.* ( А й Р„) + рь (А й Р'„) ~ )~ Х р ' (А й Ег) + р.* (А й Е'). Так как это неравенство верно прн любом и, то рР(А) ~Хрв(АЙЕь)+р*(АйЕ))~ре(АйЕ)+ре(АйЕ') (9) 1=1 Мы видим, что Е ~ 8 (так что класс 8 замкнут относительно образования счетных соединений непересекакпцихся множеств) и, следовательно, Х у *(А й Еь) + ре (А й Е') = р*(А й Е)+ р* (А й Е') (10) г=1 Взяв А й Е вместо А в (10), мы придем ко второму утверждению теоремы (слагаемое р*(А й Е') может быть бесконечно, поэтому его нельзя просто вычесть из обеих частей равенства (10)].

Но всякое счетное соединение множеств из кольца может быть представлено как счетное соединение непересекающихся множеств из этого кольца, следовательно, 8 есть о-кольцо. Теорема 3. Если р* — внешняя мера на наследственном о-кольце Н и 8 — класс всех р*-измеримых множеств, то всякое множество нулевой внешней меры принадлежит 8 и функция множества р., определенная на 8 равенством р,(Е) =рь(Е), представляет собой полную меру на 8. О мере р условимся говорить, что она индуцирована внешней мерой р*. Доказательство. Если Е~Н н р*(Е) =О, то, каково бы ни было А из Н, у * (А) — р.е (Е) + ре (А) )~ у.я (А й Е) + р е (А й Е'), так что Е~8. Счетная аддитивность р. на 8 будет следовать из равенства (10), если взять в нем Е вместо А.

Если, наконец, Е~ В, Г~Е и р(Е)=р*(Е)=0, то р(р) = р*(Р) = О, следовательно, р — полная мера. 1« 1. В примере „г" упр. 4 ф 1О множество Е оказывается «ь*-измеримым тогда и только тогда, когда столбец, содержащий какую-либо точку из Е, целиком входит в Е. Какие множества у"-измеримы в примере,е упр. 4 910? 2.

Виешняа мера р" задана на наследственном в-кольце Н; при каких дополнительных условиях класс уь-измеримых множеств представляет собой алгебру? глава И. миры и внпшний мйри 3. Заменив в равенстве (4) в доказательстве теоремы 1 множество А ' множеством А(1 (Е'() Р'), можно доказать непосредственно, что класс 8 замкнут относительно образования пересечений. К какому выводу приведет этот прием, если А заменить множеством АД(Р— Е)' = А()(Е() Р')2 4.

Пусть р* — конечная, неотрицательная, монотонная и конечно-полуаддитивная функция множества на наследственном кольце Л (см. упр. 2 6 10). Класс всех р*-измеримых множеств представляет собой кольцо, и рв на этом кольце аддитивна. 5. Пусть и" — внешняя мера на наследственном а-кольце Н, 8 — класс всех р*-измеримых множеств.

Если А Е Н, а (Е„) — возрастающая последовательность множеств из 8, то р" (Иш (АДЕ„)) = Иш р*(АДЕ„); если (Е„) — убывающая последовательность множеств из 8, причем рв (А () Ет) йоо хотя бы при одном значении т, то р*(Игл (АЙЕн)) = Иш рв(А()Еи). 6. Если рв — внешняя мера на наследственном в-кольце Н, а Е и Р— два множества из Н, нз которых хотя бы одно рв-измеримо, то рв (Е) + ив (Р) = р* (Е () Р) + рв (Е () Р).

7. Выводы этого параграфа могут быть получены также посредсгвом разбиений (см. упр. 5 6 7). Назовем разбиением конечный или счетный класс (Ев) непересекающихся множеств, такой, что ( ) Ег = Х. Пусть в р* — внешняя мера на наследственном а-кольце Н; разбиение (Ег) назовем р"-разбиением, если, каково бы ни было множество А из Н, рв (А) =,'~', р.в (А Д Ев). Будем называть множество Е рв-мнолсгством, если (Е, Е') представляет собой р*-разбиение. Разбиение (Е,) называется нодразбиением разбиения (Ру), если всякое Ег содержится в одном из Р.

Произведением двух произвольных разбиений (Ег) и (Ру) называется разбиение, образованное множествами вида ЕвПРви Заметим, что Е представляет собой р"-множество тогда и только тогда, когда оно рй-измеримо в смысле определения, приведенного в этом параграфе. Дальше последовательно доказываем следующие утверждения: а) Произведение двух ри-разбиений есть рв-разбиение.

б) Если некоторое подразбиение разбиения (Ев) есть рв-разбиение, то само (Ев) является р"-разбиением. в) (Ег) представляет собой р*-разбиение тогда и только тогда, когда каждое Ев есть р*-множество. г) Класс всех рв-множеств есть а-кольцо. (Ук а ванне. Класс всех р*-множеств есть кольцо, замкнутое относительно образования счетных соединений непересекающихся множеств.) 8.

а) Внешняя мера р*, заданная в классе Н всех подмножеств метрн. ческого пространства Х, называется метрической внешней мерой, если рв (Е (1 Р) = р.* (Е) + и " (Р), коль скоро д(Е, Р)) О, где д — расстояние в Х. Пусть гв — метрическая внешняя мера, Š— подмножество в Х и (У вЂ” некоторое содержащее Е открытое множество; если Еи=ЕД~х:Ф(х, (Р))~ — ), и =1, 2, ..., то 11 н)' Ишрв(Е„) =рв(Е).

(Указание. (Е„) есть возрастающая последовательНость миожЕств, соеДинениЕ котоРых Равно Е; если Ев = О, 1)я= Е„е — Е„ а ы. измнгимып множества и ни В„ьо ни Е„не пусты, то г((0яь» Е„) ) О, следовательно, гьь (Етиьх) > ~~~~ рь (Вы) и рв (Ез„);>~ ~ р.* (Вм г), 4=1 с 1 Требуемое равенство тривиально в том случае, когда один из рядов У~, н*(Вт~), ~~~ и" (Вм х) расходится; если же они оба сходятся, то следует 1=.1 а=а воспользоваться неравенством рв(Е) <ра(Е,„)+',» р*(оы)+ ч~, р*(Пм,)) ае в а=я+1 б) Если мт — метрическая внешняя мера, то всякое открытое множество и, следовательно, всякое борелевское множество р*-измеримы. (У к а за ние.

Если () — открытое множество, А — произвольное подмножество в Х, то следует применить „а' к множеству Е = АД К Так как И(Еи, А П (Р) ~0, то рв(А) > ра (Е„() (АП(р)) = р*(Е„)+р (АП(р) ) в) Если р* — внешняя мера в классе всех подмножеств метрического пространства, такая, что всякое открытое множество оказывается р*-измеримым, то гьа — метрическая внешняя мера. (Указание. Если Ы(Е, Р))0, то возьмем открытое множество К такое, что Е (У и Г()((=0, и запишем равенство, характеризующее измеримость К взяв в качестве А множество Е() Е) Глава 111 ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР $12.

СВОЙСТВА ИНДУЦИРОВАННЫХ МЕР Мы видели, что всякая мера индуцирует некоторую внешнюю меру, а всякая внешняя мера, в свою очередь, индуцирует некоторую меру. Если, исходя из некоторой меры Р, образовать индуцированную ею внешнюю меру Ре, а затеи меру Р, индуцированную этой последней, то каково соотношение между мерами Р и рг Цель настоящего параграфа — получить ответ на этот вопрос. Всюду в этом параграфе мы будем предполагать, что Р†ме, заданная на некотором кольце й, Ре — индуцированная ею внешняя мера на Н (й), Р— индуцированная этой последней мера на е-кольце 8 всех Р"-измеримых множеств. Теорема 1. Всякое множество из 8(й) Р*-измеримо. Доказательство.

Если Е~й, А ~Н(й) и а ) О, то, согласно определению Р*, существует последовательность (Е,,) множеств из й, такая, что А~ ЦЕ„и ОЭ ОЪ Р*(А) + в )~ Х Р (Еи) = л~р~ (Р (Е„П Е) + Р (Е„П Е )) )~ ) Ре (А П Е)+ Ре (А П Е'). Так как это неравенство справедливо при любом а, то Е оказывается ре-измеримым. Другими словами, мы доказзли, что йс=8, а так как 8 представляет собой е-кольцо, то 8(й)~8. че Т е о р е м а 2. Если Е ~ Н (й), то ра(Е)=1п1~ р (Е): Ег=.ЕЕ8~ =!п1 ~р(Е): ЕсЕЕ8(й) ~.

Это означает, что внешние меры, индуцировашгые мерой р, заданной на 8(й), и мерой р, заданной на 8, совпадают с Р", а вь свойства индтциеованных ми бб Доказательство. Так как, в силу определения р и теоремы 1 $10, р(Г) = р(Г) тогда, когда Р~й, то со СО ~А ы)Х~(ес:е Це е еа "=1 2 )> Я=1 в=1 >''(Х~(е~:е Уе е Е~аь "=1 Г =1 Но всякую последовательность (Е„) множеств из 8(й), для которой Е 0Е-=Г можно заменить последовательностью (Г„) непересекающихся множеств СО из 8(й), такой, что Ц Р„= Р и 1ь(Г„) ( р(Е„), и= 1, 2, ... Далее, и=и согласно определению н, р(Г)=не(Г) для Г из 8; следовательно, р (Е)) 1п1)~ (Г): Е =ГЕ8(й)) > '-. 1п1 ) р. (Р): Е~ Г Е 8) )~ р.е (Е).

кМножество Р из 8(й) называется измеримой оболочкой некоторого множества Е из Н(й), если Ег=Г, и, каково бы нн было множество 0 из 8(й), содержащееся в à — Е, непременно и(0)=0. Грубо говоря, измеримая оболочка множества Е из Н (й) †э наименьшее множество из 8(й), покрывающее Е. Теорема 3. Если множество Е из Н(й) имеет а-конечную внешнюю меру, то оно обладает измеримой оболочкой Г. При этом ие(Е) =р.(Р).

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда р*(Е)<оо. В силу теоремы 2, для всякого и=1, 2, ... в 8(й) найдется множество Г„, такое, что Ег=.Е„и р(Г„) (р*(Е)+ — „. Положим Г ДР„; тогда и 1 Ес-Г~8(й) и р,*(Е) (р,(Р)<и(Г„)<р*(Е)+ —. Так как и в этих неравенствах произвольно, то р*(Е)=р(Г). Если О~à — Е, причем 0~8(й), то Е~à — 0 и, следовательно, Р(Г) =Р*(Е) <р(à — 0)=Р(Г)=~ (О) <~'(Г). Глава пь пеодола<вния мвР Так как р(Р) < со, то <<(О) =О, так что Р служит измеримой оболочкой множества Е. Если 1<" (Е) =со, то Е, будучи множеством о-конечной внешней меры, представляет собой соединение счетного числа непересекающихся множеств конечной внешней меры Е= 0Е„, р,"(Е„) < со.