П. Халмош - Теория меры, страница 9

Если Е, Е, и Р! Рт, то р(Ег,Р!) = р (Ез,Рз). б. Теоремы 4 и 5 могут быть обобщены следующим образом. Пусть ив мера на кольце Я. Если (Еву — последовательность множеств из К, причем СО ье сО П Егбй, л=1, 2, ..., и Ииь!п1Еп —— () П Етой, то р(Иш!В1Ев)~ зпп в в в ( Иш 1п1 Р (Ев). в В том случае, когда (.) Р!62, л 1, 2,..., ИшвирЕв Г\ (.) Еьбй !=в е ! !=в и Р(Ц Е!)(со хотя бы при одном значении л, имеем Р(йшвирЕв)~ ! в и > Иш вирр(Ев). 6.

Если выполняются предположения второй части упр. 5 н л', р(Ев)(оо, то р. (Иш вирЕ„ ) =О. 7. Пусть Х вЂ” множество всех рациональных чисел, заключенных в промежутке 0(х(1, а Р— класс „полузамкнутых интервалов" вида (х:хаХ, а (х( Ь ), где а, Ь рациональны и 0 ( а ( Ь (1. Функция Р, определенная на Р равенством р ((х: а ( х ( Ь )) = Ь вЂ” а, конечно-аддитивна и непрерывна как сверху, так и снизу. Однако Р не счетно-аддитивиа, так что теорема 6 не распространяется на полукольца. $10. ВНЕШНИЙ МЕРЫ 8. Пусть Х вЂ” множество всех целых положительных чисел, а Я вЂ” класс всех конечных подмножеств нз Х и их дополнений.

)(ля множеств Е, входящих в м, мы полагаем Р(е) =0 илн Р(е) =со, в зависимости от того, конечно Е или бесконечно. Такая функция множества Р непрерывна сверху на пустом множестве, но свойством счетной аддитивности ие обладает. Следовательно, вторая половина теоремы 6 неверна в том случае, когда для Р допускаются бесконечные значения. 9. Будет лн верна теорема 5, если в ее формулировке опустить условие, что Р(Е„) ( со прн некотором л2 10.

Пусть и — мера, заданная на борелевских множествах некоторого сепарабельного полного метрического пространства Х, причем Р (Х) = 1. Тогда Х содержит множество Е, представляющее собой соединение счетного числа компактных множеств и такое, что Р (Е) = 1. (У к а з а н и е.

Пусть (х„) — последовательность точек, плотная в Х, а 0„— замкнутая а сфера радиуса — с центром в х„, Если 0(0(1 и Р = Ц (У„, то 01а 1 0=1 определим по индукции как наименьшее целое положительное число, для которого Тогда множество С= П Р компактно и Р(С)л1 — к) 11 в 10. ВНЕШНИЕ МЕРЫ Непустой класс Е множеств называется наследственным классом, если каковы бы ни были множества Е и Г, такие, что Е ~ Е и г" 1= Е, непременно Р~Е. Типичный пример наследственного класса представляет собой класс всех подмножеств некоторого множества Е в пространстве Х. Та часть алгебраической теории наследственных классов, которая нам понадобится, чрезвычайно проста и зо всех подробностях походит на теории колец, о-колец и других известных нам классов множеств.

В частности, пересечение любой системы наследственных классов является наследственным классом, поэтому для всякого класса множеств существует наименьший содержащий его наследственный класс. Наибольший интерес будут представлять для нас наследственные классы, являющиеся вместе с тем а-кольцамн; легко видеть, что наследственный класс представляет собой о-кольцо тогда и только тогда, когда он замкнут относительно образования счетных соединений. Если Е— кзкой-нибудь класс множеств, то наследственное о-кольцо, порожденное классом Е, т, е. наименыпее наследственное о-кольцо, содержащее Е, будет обозначаться Н (Е).

Наследственное о-кольцо Н (Е) состоит из множеств, могущих быть покрытыми счетными классами множеств, принадлежащих Е; если же само Е замкнуто относительно образования счетных соединений (например, если Е есть а-кольцо), % 10. ВНЕШНИЕ МЕРЫ Словесно 1са(Е) может быть определена как нижняя грань сумм вида ~ р(Е„), где последовательность множеств (Е„) из Й выбиОО1 рвется так, чтобы Ц Е„содержало Е. Так определенная внешняя ОО1 мера р* называется вне1ПНЕй мврОй, индуиированной мерой р.. Доказательство.

Если Е~Н, то Е с= ЕЦ0()00... н, следовательно, р*(Е) (р(Е)+р(0)+п(0)+ ° ° ° =п(Е) С другой СО стороны, если Е~11, Е„~)с, и=1, 2, ..., и Е г= Ц Е„, то, ОО1 согласно теореме 2 99, р(Е) < ~ р(Е„), так что п(Е) <и*(Е). ОО1 Таким образом, р* представляет собой продолжение функции р, т. е. 11*(Е) = й(Е), когда Е ~ Н; отсюда1 в частности, следует, что й*(0) = 0. Если Е~Н(й), Е ~ Н(й) и Е 1= Е, то всякая последовательность множеств из К, покрывающая Р, покрывает и Е, поэтому р*(Е) ( < р'(Е). Для того чтобы доказать, что пе счетно-полуаддитивна, возьмем множества Е и Е; из Н(К), такие, что Е г=. Ц Е,.

Пусть а — про1О1 извольное положительное число; тогда для всякого целого положительного 1 выберем последовательность множеств (Е1,) из Й таким образом, чтобы СО СО Е, ~ Ц Е0 и ~~ й(Е0) <ФО(Е1)+у ° 2=1 а=1 Возможность выбора такой последовательности вытекает из определения рь(Е1). Тогда, так как все Еу образуют счетный класс множеств из Я, покрывающий Е, то йО(Е) < Х Хр(ЕВ) <ХФ" (Е)+ . Так как а выбрано произвольно, то СО 11 О (Е) ( ~ 11 а (Ег) Предположим, что мера 9 е-конечна, и возьмем любое множество Е из Н(Н). Согласно определению Н(К), в м существует последова- ОЭ тельность множеств (Ег), такая, что Ес Ц Е,.

Так какй а-конечна, 1 1 глава и. меты и внешние мегы то для каждого 1= 1, 2, ... в Й найдется последовательность множеств ~(Егу*), длЯ котоРой Е,с 0 Е,у и р(Е,у)(оо. у=1 Отсюда получаем СО СО Ес Ц. Ц Е,у н рэ(Егу)=р(Егу)(оо.

т=х у=1 1. Всегда ли в предположениях теоремы 1 конечна рэ, коль скоро конечна р? 2. Наименьшее наследственное кольцо, содержащее заданный класс Е, будем обозначать Л (Е). Пусть на некотором кольце й задана действительная конечная функция множества р, неотрицательная и конечно-адднтивная. Для Е, принадлежащих Л (Е), положим рэ(Е) = !и!(р(Р):Ес РбЮ' ункция рв оказывается конечной, неотрицательной и полуалдитивной. 3 ыполняется ли для множеств Е из !с равенство гэ(Е) = р(Е)? 3.

Класс Н подмножеств заданного множества Х образует идеал в булевском кольце всех его подмножеств тогда и только тогда, когда Н вЂ” наследственное кольцо (см. упр.4 4 4). 4. Здесь приведено несколько примеров функций множества, заданных на наследственных классзх. Некоторые из ннх являются внешними мерами, остальные нарушают в точности по одному из условий, определяющих внешнюю меру: а) Х вЂ” произвольное множество, Н вЂ” класс всех его подмножеств. Фиксируем в Х какую-нибудь точку хэ и положим рэ(Е) )(и(хо). б) Х и Н те же, что в примере,а"! рэ(Е) = 1 для всех Е из Н. в) Х= (х, у) — множество, состоящее нз двух различных точек, Н вЂ” класс всех его подмножеств; рэ определена равенствами Г.ь(0) = О, рв((х)) =1ьэ((у)) = 10, рэ(Х) = 1. г) Х вЂ” множество, состоящее из 100 точек, размещенных в квадратной таблице из 10 столбцов, по 10 точек в каждом; Н вЂ” класс всех подмножеств Х; рэ(Е) определено как число столбцов, которые содержат хотя бы одну точку из Е.

д) Х вЂ” множество всех целых положительных чисел, Н вЂ” класс всех его подмножеств. Если Š— конечное множество из Н, то ч(Е) означает число элементов этого множества; рэ определена для любого Е из Н равенством рэ(Е) = 1ппзпр — т(Е()(1, ..., и)). 1 и е) Х вЂ” произвольное множество, Н вЂ” класс всех его конечных или счетных подмножеств; рв(Е) есть число точек, входящих в Е (если Е бесконечно, то рэ (Е) = оо). 5. Если рв — внешняя мера на наследствеяном а-кольце Н, а Еэ — некоь торое фиксированное множество из Н, то функция р, определенная равенством рэ(Е) =р (Е()Еэ), представляет собой внешнюю меру на Н.

% и. измеРимые множества 6. Если Ач н Р * — внешние меры на наследственном а-кольце Н, то функция ч*, определенная равенством ч" (Е)=Лч(Е)()Р" (Е), есть внешняя мера на Н. 7. Если (Р'„) — последовательность внешних мер, заданных на наследственном е-кольце Н, а (а„) — последовательность положительных чисел, то функция Р*, определенная равенством Рь(Е) = ~~~~ а„н„(Е), представляет в=1 собой внешнюю меру на Н.

$11. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА Пусть на некотором наследственном о-кольце Н задана внешняя мера Рч. Множество Е из Н называется рч-измеримым, если для любого А из Н Р* (А) = Рч (А й Е) + Р* (А й Е'). Понятие Р*-измеримости играет важнейшую роль в теории внешней меры. Не так легко, однако, уловить смысл этого понятия, не обращаясь к его следствиям, которые будут изложены ниже. Поэтому может быть полезным следующее пояснение. Внешняя мера может не быть не только счетно-аддитивной, но даже конечно-аддитизной (см. пример „г" упр. 4 3 10).

Стремясь удовлетворить естественному требованию аддитивности, мы выделяем такие множества, которые всякое другое множество расщепляют аддитивно; определение Р"-измеримых множеств точно формулирует это несколько вольное описание. Введение такого, на первый взгляд сложного, понятия полностью оправдывается тем успехом, с каким оно применяется при доказательстве весьма важной теоремы о продолжении меры (см, й 13).

Т е о р е м а 1. Если Р" — внешняя мера на наследственном а-кольце Н, то класс 8 всех Р*-измеримых множеств представляет собой кольцо. Доказательство. Если Е и Г принадлежат В и А~Н, то Рч (4) = Р* (.4 й Е) + Р" (4 й Е'), (1) Р* (А й Е) = Р* (А й Е й Е) + Р* (А й Е й Е'), (2) Р" (А йЕ')=Р*(АПЕ'й Е)+Р'(АПЕ'й Е') (3) Подставив (2) и (3) в (1), получим Рч (А) = Рь (А й Е й Г) + Рь (А й Е й Е') + + р* (А и Е' и Е) + Р' (А и Е' и Е').

(4) Если в равенстве (4) вместо А взять А й (Е О Е), то первые три слагаемых в правой части не изменятся, а последнее выпадет, так что мы получим „' (А И (Е Ц Е)) = р* (А И Е И Е)+ +Р" (А ПЕй Е')+Рч(А йЕ'й Е) (б) ГЛАВА и. МЕРЫ И ВНВШНИЯ МЕРЫ Так как Е'П Р» = (ЕЦ Р)', то подстановка (5) в (4) дает р*(А)=р" (АП(Е() Р))+Ре(АП(ЕОР)) (6) откуда следует, что Е0 Р~8.

Подобным же образом, заменив А в равенстве (4) множеством А П(Š— Р)'=Ай(Е'() Р), мы получим 11" (А й (Š— Р)') = 11* (А й Е й Р) + + р* (А й Е' П Р)+ р' (А й Е' П Р'). (7) Но ЕПР'=Š— Р, поэтому подстановка (7) в (4) дает 1ье (А) = ри (А й (Š— Р))+ ре (А й (Š— Р)'), (8) а это означает, что Š— Р~Б. Так как пустое множество, очевидно, и»*-измеримо, то 8 есть кольцо.