П. Халмош - Теория меры, страница 4

Элементы множества Х будут называться точками, само Х вЂ” пространством (иногда мы будем говорить об Х как о всем пространстве или пространстве целиком). Глава эта носит вводный характер; цель ее — ввести основные понятия теории множеств и установить некоторые факты, которыми мы будем постоянно пользоваться в дальнейшем. Если х †точ пространства Х, а Š†подмножест в Х, то запись ЕЕ означает, что х принадлежит Е (т. е. х есть одна из точек множества Е). Противоположное утверждение, состоящее в том, что х не принадлежит Е, записывается символом хч-Е. Так, например, для любой точки х из Х имеем тогда как соотношение не имеет места ни для одной из этих точек. Если Е и !с в подмножества Х, то запись Еср или ЕэЕ означает, что Е представляет собой подмножество множества г', т.

е. всякая точка множества Е принадлежит Р. В частности, Ег=.Е, каково бы ни было множество Е. два множества Е и г называются Равными в том и только том случае, когда они содержат одни и те же точки, т. е. когда Ес Р и Рг=.Е. ГЛАВА ь множнствА и клАссы Из этого, на первый взгляд безобидного, определения вытекает важный принцип, состоящий в том, что для доказательства равенства двух множеств необходимо обнаружить, в два этапа, что каждое из этих множеств является подмножеством другого. Громадное упрощение формулировок и записи достигается присоединением к классу подмножеств Х множества, не содержащего никаких элементов; такое множество называется пустым и обозначается символом О.

Для любого множества Е имеем ОсЕсХ; вместе с тем, каков бы ни был х, хЕО. Помимо множеств точек нам часто придется рассматривать множества множеств. Например, если Х вЂ” числовая прямая, то совокупность всех интервалов есть множество некоторых подмножеств Х. Условимся множество множеств всегда называть классом. На классы множеств, разумеется, распространяются все предыдущие определения. Так, например, если Š— множество, а Š— некоторый класс множеств, то Е Е Е означает, что Е принадлежит классу Е (иначе, входит в Е, является элементом класса Е). Если Е и Р суть классы, то ЕсР означает, что всякое множество, принадлежащее Е, входит в Р; будем при этом говорить, что Е есть подкласс класса Р.

В тех весьма редких случаях, когда нам придется иметь дело с множеством классов, мы будем употреблять слово сисшелга. Так, например, если Х вЂ эвклидо плоскость, а Е„ †множест интервалов на горизонтальной оси, лежащих на расстоянии у от начала координат, то всякое Ек образует класс, а множество всех таких классов — систему. !. Отношение с рефлективно и транэитнвио; оио симметрично в том и только том случае, когда Х вЂ” пустое множество. 2. Пусть Х вЂ” класс всех подмножеств пространства Х; к Х принадлежат, конечно, пустое множество О и зсе Х. Пусть х — точка пространства Х, Š— подмножество из Х, т.

е. элемент класса Х, и Š— какой-нибудь класс подмножеств иэ Х, т. е. подкласс класса Х. Тогда, если вместо и и о подставлять произвольно и независимо символы х, Е, Х, Е, Х, то в числе пятидесяти соотношений вида ибо и исо будут соотношения всегда верные, могущие быть верными или неверными, всегда неверные и, наконец, лишенные смысла. Например, и ее имеет смысл тогда, когда слева стоит х, а справа — Е или Х, или же слева — Е или Х, а справа — Е или Х. а к сондинвния и пвввсвчвння $2. СОЕДИНЕНИЯ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ Пусть Š— какой-нибудь класс подмножеств пространства Х; множество всех тех точек из Х, каждая иэ которых принадлежит хотя бы одному из множеств класса Е, называется соединением множеств класса Е и обозначается ЦЕ или Ц(Е:Е~Е). Если класс Е конечный или счетный, то Ц Е будем иногда называть конечным или, соответственно, счетным соединением.

Примененным здесь способом записи мы постоянно будем пользоваться в дальнейшем. Если нам задано какое-нибудь множество, х — его произвольный элемент и я(х) — некоторое предложение, относящееся к х, то (х: к(х) ) означает множество всех тех х, в применении к которым предложение к (х) верно. Если ( к„(х) ) — последовательность предложений, относящихся к х, то (х:к,(х), кя(х), ... ) — множество всех тех х, для которых верно к„(х) при всех и = 1, 2, .... В общем случае, когда всякому элементу Т какого- либо „множества индексов" 1' поставлено в соответствие некоторое предложение кг(х), относящееся к х, то множество всех тех х, для котоРых пг(х) веРно пРи всех Т из 1', обозначаетсй символом (х:иг(х), ТЕГ) Так, например, (.: хЕ Е) =Е (Е:ЕЕЕ ) =Е.

Для пояснения приведем еще такие примеры: (~:О<1<1) — замкнутый единичный интервал; ((х, у): ха +ув = 1 ) †единичн окружность в плоскости; ( пэ ° и — 1 — множество квадратов всех пелых положительных чисел. В соответствии с этим способом записи верхняя и нижняя грани числового множества Е будут обозначаться зпр(х:хбЕ) и 1п1(х:х~Е). ГЛАВА!. МНОЖЕСТВА И КЛАССЫ гв Е= (Е„Еа), ЦЕ=Ц(Е,:1=1, 2) Е, 0 Еа; Е=(Е„..., Е„) ЦЕ=Ц(Е111=1, ..., П ) то вместо пишут вообще, при соединение обозначают Е,(1 ...

1( Е или Ц Е,. Подобным же образом, если имеется последовательность множеств ( Е„ ), то соединение множеств, ее образующих, обозначается Е1 Ц Е 0 ... или Ц Е<. 4=1 В общем случае, если всякому элементу Т некоторого множества индексов Г поставлено в соответствие множество Е1, то соединение Ц(Е1 ТЕГ) класса всех множеств Ет обозначается Ц Ет или ЦЬ;. 1ЕГ Если à — множество индексов †пус, то условимся считать, что ЦЕ =О. '1 Вообще, фигурные скобки (...) будут нами употребляться в качестве символа, служащего для образования множеств. Например, если х и у — какие-нибудь две точки, то (л, у) будет означать множество, элементами которого являются л и у.

Необходимо строго различать точку х и множество (х), состоящее из единственного элемента х, и точно так же множество Е и класс (Е), образованный единственным множеством Е. В самом деле, пустое множество О не содержит никаких элементов, в то время как класс (О) содержит одно множество, именно самой пустое множество. Для соединений некоторых специальных классов множеств применяются особые обозначения. Так, например, если а я совдинвния и пвгасвчвний Участие пустого множества и всего пространства Х в образовании соединений описывается тождествами ЕОО=Е и ЕцХ=Х. Вообще, соотношение выполняется тогда и только тогда, когда Е Ц Р=г.

Если Š— какой-нибудь класс подмножеств пространства Х, то совокупность всех точек л, каждая из которых принадлежит всем множествам из Е, называется пересечением множеств класса Е и обозначается йЕ или й( Е: Е~Е~. Если класс Е конечный или счетный, то й Е будем иногда называть конечным или, соответственно, счетным пересечением. Для пересечения двух, конечного или счетного числа множеств, а также класса множеств, снабженных индексами, употребляются обозначения, сходные с теми, которые мы указали для соединений, но со знаком П вместо Ц . Если множество индексов Г пусто, то мы положим, может быть несколько неожиданно для читателя, й Е„= Х.

гйг В пользу такого соглашения можно высказать несколько соображений эвристического характера. Одно из них состоит в следующем: если Г, и Гв †д каких-нибудь непустых множества индексов, причем Г, ~ Г, то, очевидно, йЕ, йЕ„ 16г 1Ег н поэтому самому узкому из возможных Г должно отвечать самое широкое пересечение. Можно также исходить из следующего равенства: й Е1=(й Ет) П (й Ег) гйг 0 г. тйг гйг справедливого для непустых множеств Г, и Гв. Если стремиться к тому, чтобы распространить это соотношение на произвольные Г, и Гю то придется допустить, что йЕт= й Ет —— (йЕ1) В(йЕг)1 тйг тагЦО 1аг тйО ГЛАВА Ь МНОЖЕСТВА И КЛАССЫ положив ЕТ вЂ” — Х при любом у из 1, мы придем к равенству ПЕ =Х. того В образовании пересечений пустое множество О и все пространство участвуют согласно следующим правилам: Е ПО=О и ЕПХ=Е.

Ес Р Вообще, тогда и только тогда, когда Е й Р=Е. иногда говорят просто, что множества Е и Р не пересекаются. Классом без пересечении называется такой класс Е множеств Е, никакие два из которых не пересекаются. В заключение этого параграфа мы введем полезное понятие характеристической функции. Пусть Š— какое-нибудь множество в Х; функция у, заданная на Х равенствами ( 1 при х~Е, ( О при х~Е, называется харакачерисгпическоп функцией множества Е. Соответствие МЕжду множествами и их характеристическими функциями взаимно-однозначно, и все свойства множеств и операций над множествами могут быть выражены в терминах характеристических функций. В качестве еще одного примера обозначения множества с помощью фигурных скобок отметим равенство Е=(х ун(х)=1(. 1.

Образование соединений множеств переместительно и сочетательно, т. е. ЕЦЕ=ЕЦЕ и ЕЦ(РЦО)=(ЕЦР)001 образование пересечений обладает такими же свойствами. 2. Операции образования соединений и пересечений распределительны одна относительно другой, т. е. Е й (Р Ц О) = (Е й Р) 0 (Е й О) н Е 0 (Р й 0) = (Е Ц Р) й (Е Ц 0).

Два множества Е и Р называются непересекаюн(илгися, если у них нет общих точек, т. е. если Ейск=О; % 3. ПРЕДЕЛЫ, ДОПОЛНЕНИЯ И РАЗНОСТИ 21 распределительные законы действуют и в более общей форме: рп(Ц(Е:Еб Е)) = Ц(Е П Г:ЕбЕ) р ()(П(В: е бе)) = П (е () Г: рве). 3. Образует лн класс всех подмножеств Х группу относительно операции 0 нли () у 4. Имеем тождества у (х)жб, Хл(х)=!. Неравенство Хл (л) ~ ХР (л) имеет место для всех х из Х тогда и только тогда, когда Е~г".