П. Халмош - Теория меры, страница 5

Если Е() В=А и Е!!В=В, то Хл =ХЕХР= ХЕ Й Хи Хв = Хе+ ХР— Хл = Хи 0 Хл 5. Распространяются ли приведенные в упр. 4 выражения характеристических функций соединения и пересечения на любые конечные, счетные и произвольные соединения и пересечения? 5 3. ПРЕДЕЛЫ, ДОПОЛНЕНИИ И РАЗНОСТИ Если (Ея) — последовательность множеств, то множество Е* всех тех точек х, каждая из которых принадлежит бесконечно многим Еко называется верхним пределом последовательности и обозначается Е*.= 1!гп апрЕ„. Множество Е всех точек х, каждая из которых принадлежит всем Е„за исключением конечного числа, называется нижним пределом последовательности н обозначается Ев =Игл(п!Е„.

я Нгп Е„. Ея ~ Е„+ и Если при п=1, 2, то последовательность называется возраслтаюи(ей; если при и = 1, 2, Ея -з Е„з, то последовательность называется убывающей. Возрастающие и убывающие последовательности носят общее название моноигонных Если (Е„) такова, что ее верхний предел равен нижнему, то Е*(=Еь) называют пределом этой последовательности и обозначают ГЛАВА |. МНОЖЕСТВА И КЛАССЪ| последовательностей. Легко убедиться в том, что монотонная последо- вательность (Е„( имеет предел, равный 0 Е„ или ПЕ„, в зависимости от того, возрастающая эта последОвательность или убывающая.

Дополнением множества Е в Х называется множество всех тех точек х, которые не принадлежат Е, Лополнение множества Е обозначается Е'. Операция взятия дополнении обладает следующими алгебраическими свойствами: Е П Е'=О Е 0 Е'=Х, (Е')'=Е, О'=Х, Х'=О Е' «Р', если Е с Р. Образование дополнений позволяет установить интересную и очень важную связь между соединениями и пересечениями, выражаемую следующими тождествами: Я(Е: ~Е()'=П( ': ~Е(, ('П(Е:ЕЕЕ>)'=Ц(Е'| ЕЕЕ(.

Словесно их можно выразить, сказав, что дополнение соединения множеств какого-либо класса равно пересечению их дополнений, а дополнение их пересечения есть соединение их дополнений. Отсюда и из только что указанных элементарных свойств дополнений вытекает важный принцип двойственности: Если верно некоторое соотношение между множествами, имеющее вид равенсп|ва или включения и выраженное в терминах соединений, пересечений и дополнений, то верно и соотношение такого же рода, которое получается из исходного, если в нем и, П, с, = заменить соответственно символами П> Оэ -«1 ~> равенства сохранить, а каждое множесн|во заменить его дополнением. Если Е и à — подмножества Х, то гз а з.

пгвделы, дополнвния и газности означает множество всех тех точек из Е, которые не принадлежат Р; такое множество называется разностью множеств Е и Р. Так как Х вЂ” Р= Р' и, вообще, Š— Р=Е П Р', то разность Š— Р называют еще относительным дополнением множества Р в множестве Е. При замене множеств их относительными дополнениями, так же как и при взятии обычных дополнений, символы Ц и с следует заменить соответственно на П и =т, и обратно, например, Š— (Р Ц О) =(Š— Р) П (Š— О). Разность Š— Р называется собственной в том случае, когда Е~Р.

Введем, наконец, еще одно теоретико-множественное понятие, очень важное во многих случаях,— понятие симметрической разности двух множеств Е и Р. Обозначается она символом и определяется равенством Ей Р = (Š— Р) Ц (Р— Е) =(Е П Р') Ц (Е' П Р) Обращение с пределами, дополнениями и разностями множеств требует известной практики. Мы рекомендуем поэтому читателю провести доказательства наиболее важных свойств этих операций, перечисленных в приведенных здесь упражнениях. 1. Еще одним доводом в пользу равенства ПЕ,=Х, тда принятого нами в ф 3, служит стремление распространить на пустое Г соотношение Д Е„= ( г-г Е ), справедливое при любом непустом множестве индексов Г. 2. Если Е» = 1!ш!и! Еи н Е» = 11ш вар Е„, то » » Е»= 0 ПЕ„,с'П 0Е,„=Е'. »=1 г»=» 3.

Верхний и нижний пределы последовательности множеств и предел такой последовательности (если он существует) не изменяются, если про. нзвольным образом изменить конечное число членов последовательности, 4, Если Е„= А при четных п и Е„= В прн нечетных и, то 1йп!п1Ев — — АДВ и 11шзаРЕ„=АЦВ, и » ГЛАВА !. МНОЖЕСТВА И КЛАССЫ 5. Если (Ев) — последовательность непересекающихся множеств, то Иш Еп — — О. 6. Если Е» = Иш !п1 Еп и Е* = 1пп зпр Еп, то (Е,) = Иш вирЕ и (Е )' = Иш !п1 Е; справедливы и более общие соотношения: Р— Е. = Иш зпр(Р— Еп) и Р— Е" = Иш 1п1 (Р— Е„).

п в Š— Р = Š— (Ей Г) = (Е !.!. Р) — Р Ей(Р— О) = (ЕПР) — (Ей О), (Е(.!Р! — О = (Š— О) () (Р— 0). (Š— 0) й(Р— 0) = (Ей Р) — О, (Š— Р) — О = Š— (Р Ц О), Š— (Р— О) = (Š— Р) 0 (Е й О), (Š— Р) й(б — О) = (Ей О) — (Ро Н). 9. ЕЬ Р=РЬЕ, ЕЬ(РЬ О) = (ЕЬ Р) Ь О, Ей(РЬ О) = (ЕПР) Ь (Ей О), ЕЬ О=Е, ЕЬХ=Е', ЕЬЕ=О, ЕЬЕ'=Х, ЕЬ Р = (ЕОР) — (ЕПР). 1О.

Образует ли класс всех подмножеств пространства Х группу отно- сительно операции Ьу 11. Если Е„= Иш 1п1 Еп и Е» = Иш зпр Е„, то у (х) = Ив!п1у (х), у,(х) = И!напр Х (х), Л» в ™и ~ в где выражения в правых частях равенств при всяком х представляют собой верхний и нижний пределы числовой последовательности.

12. Хиг = 1 — Хл Хи л..= Хл(! — Хя) Хил!» !Хи Хх»! — Хи+Хи(шоб2). 13. (Е. В!зйор) Пусть (Еву — последовательность множеств; положим 0!= Е! Оз=0гЬЕз Оа=йзЬЕз' ' ' Рп»!=йвЬЕп+х Последовательность (Ов) имеет предел тогда и только тогда, когда Иш Ем=О. Если (см. упр. 12) временно назвать операцию Ь .сложением'. то зтот результат словесно можно высказать так: ряд множеств сходится тогда и только тогда, когда его общий член стремится к нулю. а 4. кольца и ллгнвеы ф 4.

КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ Непустой класс й множеств называется «олвцом (или булевсмим «ельцом) в том случае, когда он обладает следующим свойством: Ебй и Е~й то ЕУ Е ЕЙ и Š— Е ЕЙ. Другими словами, кольцо — это непустой класс множеств, замкнутый относительно образования соединений (двух множеств) и вычитания. Всякое кольцо Й содержит пустое множество, так как если Ебй то О = Š— Е ~ й. Š— Е=(ЕО Е) — Е, Так как то любой непустой класс множеств, аамкнутый относительно образования соединений и собственных разностей, представляет собой кольцо.

Так как Е А Е = (Š— Е) () (Š— Е) и Е П Е = (Е 0 Е) — (Е А Е), Е4бй 4=1 . л то 0Е4ЕЙ ПЕ Ей Полезными примерами колец могут служить класс (О), содержащий лишь пустое множество, и класс всевозможных подмножеств Х. Это в своего рода „крайние случаи'. Приведем несколько более поучительный пример. Пусть Х=(«: — оо(«(+ оо) — числовая прямая; класс Й всевозможных конечных соединений ограниченных интервалов, замкнутых слева и открытых справа, то кольцо должно быть замкнуто относительно образования симме- трических разностей н пересечений.

Применение математической индук- ции и сочетательного закона для операций () и П показывает, что если Й является кольцом и 2б ГЛАВА Ь МНОЖВСТВА И КЛАССЫ т. е. множеств вида 0(х1 <а1 <х<дг<+ ) 1=1 представляет собой кольцо. Соединения и пересечения выступают в определении кольца неравноправным образом. В то время как кольцо всегда замкнуто относительно взятия пересечений, класс множеств, замкнутый относительно образования пересечений и разностей, может не быть кольцом. Однако всякий непустой класс Е, замкнутый относительно образования пересечений, собственных разностей и соединения непересекающихся множеств из Е, представляет собой кольцо; это вытекает из равенства Е 0 Г = (Š— (Е П Г)) 0 (à — (Е П Г)) 0 (Е П Г).

Нетрудно дать определение кольца в форме, более симметричной относительно операций 0 и П: назовем кольцом непустой класс множеств, замкнутый относительно образования пересечения (двух множеств) и симметрических разностей. В силу равенств ЕОГ=(ЕЬГ)Ь(ЕиГ) Š— Г=ЕЬ(ЕПГ) мы получаем кольцо в смысле нашего первоначального определения, но в такой формулировке „пересечения" можно заменить „соединениями": непустой класс множеств, замкнутый относительно образования соединений (двух множеств) и симметрических разностей, представляет собой кольцо. Непустой класс В называется алгеброй (или булевехой алгеброй) тогда, когда он обладает следующиии свойствами: а) если Е~й и ГЕН, то Е0Г~й; б) если Е~й, то Е'ЕЙ.

Так как Š— Г = Е П Г' = (Е 0 Г)', то любая алгебра является одновременно кольцом. Соотношение мещгу общим понятием кольца и более узкии понятием алгебры очень просто: алгебра есть кольцо, содержащее Х. В самом деле, всякое такое кольцо представляет собой алгебру, потому что Е' = Х вЂ” Е; обратно, если ге — алгебра, то Х= Е0 Е'~й, где Š— произвольное множество, входящее в й (класс м, как мы помним, не пуст). Ь Ь. ПОРОЖДЕННЫЕ КОЛЬЦА Н а-КОЛЬЦА 1. Следующие классы множеств служат примерами колец или алгебр: а) Х вЂ” и-мерное эвклидово пространство, класс Е образован всевозможными конечными соединениями, полуоткрытых интервалов вида ((хп..., хв): — ооч.ас <хс(ас(+сю, 1=1,..., п). б) Х вЂ” какое-нибудь несчетное множество; Š— класс всех конечных или счетных подмножеств множества Х.

в) Х вЂ” какое-нибудь несчетное множество; Š— класс множеств, которые либо сами конечны или счетны, либо обладают конечным или счетным дополнением. 2. В кзких топологических пространствах класс Е всех его открытых множеств образует кольцо? 3. Пересечение любой системы колец (алгебр) представляет собой кольцо (соотв.

алгебру). 4. Пусть й — кольцо множеств. Если обозначить ЕОР= ЕПГ, Е~ЯР= ЕАР, то относительно таких операций,слонсения" (Я) и „умножения* (О) множество й оказывается „кольцом" в алгебраическом смысле этого слова. Алгебраические кольца, такие как зто, в которых все элементы идемпотентны (т. е. ЕЯ Е= Е для любого Е из й), также называются булевскими кольцамн. Именно тесная связь между булевскими кольцами множеств и общими булевскнми кольцами оправдывает употребление „кольцевой" терминологии в применении к классам множеств.