П. Халмош - Теория меры, страница 6

б. Если й — какое-нибудь кольцо мноскеств и А — класс тех множеств, которые либо сами принадлежат й, либо обладают принадлежащими й дополнениями, то А представляет собой алгебру. 6. Полукольцом называется непустой класс Р множеств, такой, что а) если ЕбР и рбР, то ЕПГЕР; б) если ЕЕ Р, рйр и Ес-р,то существует конечныйкласс:(Сз,СР...,С„) множеств, принадлежащих Р, со следующим свойтвом: Е = Се с: Ссс:... ... ~С„= р, причем Ос = Сс — Сс с ЕР, 1=1,..., и.

Всякое полукольцо содерскит пустое множество. Если Х вЂ” произвольное множество, то класс Р, состоящий из пустого множества и всех одноточечных подмножеств х (т. е. множеств вида (х), где х с х), есть полукольцо. Если Х вЂ” действительная прямая, то класс всех ограниченных интервалов, заикнутых слева и открытых справа, является полукольцом. $5.

ПОРОЖДЕННЫЕ КОЛЬЦА И е-КОЛЬЦА Т е о р е и а 1. Если Š— произвольный класс множеств, то существует единственное кольцо йо, такое, что Е~йо и йос=й, каково бы ни было кольцо й, содержащее Е. йо — наименьшее кольцо, содержащее Е,— называется кольцом, порожденным классом Е, н обозначается й(Е). Доказательство. Так как класс всех подмножеств Х представляет собой кольцо, то всегда сущестцует по меньшей мере одно кольцо, содержащее Е.

далее, пересечение любой системы колец есть кольцо (см. упр. 3 ф 4), поэтому пересечение всех колец, содержзщих Е, также является кольцом, содержащим Е. Оно и будет, как легко видеть, искомым кольцом йо. че ГЛАВА |. МНОЖЕСТВА Н КЛАССЪ| 28 0ЕС, то СсСа. Не нарушая общности, мы можем допустить, что 0ЕЕ. Положим теперь ЕО=Е~ Еа=Еа-гю и=1, 2, Очевидно, что Ес= ЦЕас=а(Е)~ и класс ЦЕа — счетный.

Доказательство теоремы будет завершено, когда мы СО покажем, что ЦЕа представляет собой кольцо. а=1 Так как Е = ЕесЕ|сЕяс..., то, каковы бы ни были множества А и В из ЦЕа, существует а=1 такой номер и, что и А и В принадлежат классу Еа. При этом А — В~Еа+„ и так как 0 ~ Ее~Е„, А 1) В = (А — О) 1) ( — О) ~ Еа,.

то Т е о р е м а 2. Если Š— произвольный класс множеств, то всякое множество, принадлежащее м(Е), может быть покрыто соединением конечного числа множеств из Е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Класс тех множеств, которые могут быть покрыты конечными соединениями множеств из Е, представляет собой кольцо; это кольцо содержит Е, следовательно, оно содержит и м(Е). + Теорема 3.

Если Š— счетный класс множеств, то м(Е) также счетно. Доказательство. Для любого класса С множеств условимся обозначать С* класс всевозможных конечных соединений разностей множеств из С. Ясно, что если С счетно, то счетно и С*, и если $ а. пОРОжденный кольцА и а-колъцА Яы доказали, что вместе с любыми двумя множествами А и В класс ЦЕ„содержит их соединение и разность, т. е. ЦЕ„есть в=а а=а кольцо. эг Непустой класс 8 множеств называется.е-кольцом, если он обладает следующими свойствами: а) если Е~8 и Г~8, то Š— ЕЕ 8; б) если Е, ц8, г=1, 2, ..., то ЦЕ; ~8. г=г Таким образом, а-кольцо представляет собой кольцо, замкнутое относительно образования счетных соединений. Если 8 есть е-кольцо и ЕгЕ8, 1=1, 2, то, так как СО С ЙЕ =Š— Ц(Š— Е) с=1 с=1 мы видим, что ДЕ 68, г=г т.

е. о-кольцо замкнуто относительно образования счетных пересечений. Если Ег ~ 8, г = 1, 2, ..., где 8 есть е-кольцо, то (см. упр. 2 $3) 8 содержит также Ищ1п1Ег и ИгванрЕг. г Теорема 1 и ее доказательство останутся справедливыми, если „кольцо" заменить всюду „в-кольцом". Поэтому можно ввести понятие в-кольца 8(Е), порожденного каким-либо классом Е, как наииеньшего е-кольца, содержащего Б. Т е о р е и а 4. Если Š— произвольный класс множеств, а Š— произвольное множество, принадлежащее 8=8(Е), то Е содержит счетный подкласс Р, такой, что Е~ 8(Р). Д о к а з а т е л ь с т в о. Соединение всех в-подколец е-кольца 8, порожденных всевозможными счетными подклассами класса Е, представляет собой в-кольцо, содержащее Е.

Следовательно, оно совпадает с 8. эг Если Š— какой-нибудь класс подмножеств из Х и А — фиксированное подмножество в Х, то ЕПА будет означать класс множеств вида Е()А, где Е~Е. ГЛАВА !. множзствА и классы Теорема 5. Если Š— произвольный класс множеств и А— любое фиксированное подмножество из Х, то 8 (Е) й А = 8 (Е П А). Доказательство. Класс множеств вида В [) (С вЂ” А), В~8(ЕПА) и С~8(Е), где обозначим С. Легко видеть, что С есть о-кольцо. Если Е ~ Е, то из соотношений Е = (Е й А) [) (Š— А) ЕПА ~Ей А с 8(Е ПА) вытекает, что Е ~С; таким образом, [Ес= С.

следует из того, что 8(Е) ПА есть о-кольцо, и из соотношения ЕПАс.8(Е)ПА. эь 1. В следующих примерах указать кольцо, порожденное классом Е. а) В Х взято фиксированное подмножество Е, и Е=(Е) есть класс, состоящий из этого единственного множества. б) В Х фнксировзно подмножество Е, и Е есть класс всех подмножеств Х, содержащих Е, т. е. Е = (Г:Ес-Г). в) Е есть класс всех множеств, содержащих ровно по две различные.

точки. 2. Класс 1. множеств называется структурой (1а!!!се), если ОВ1. н Е[)ГеЬ, ЕПГБЬ, коль скоро ЕБЬ, ГВЬ. Пусть Ь вЂ” структура, а Р= Р(Ь)— класс всех множеств вида à — Е, где Е БЬ, Гй Ь и Е'с: Г. Тогда Р представляет собой полукольцо, (Указание. Если Вс=рс — Ес, 1=1, 2,— представления двух множеств из Р в виде собственных разностей множеств нз Ь вЂ” и если с)г з 0я, то Гз — Ея с С с Г! — Ев где С = (Г! П Гя) (Ехй Гя) или С = Г! — [Ес !.) (Г, й Ет)].) Будет йи Р кольцом7 3. Пусть Р— какое-нибудь полукольцо, а  — класс всех множеств вида Ц Ес, где (Ес, ..., Е„) — произвольный конечный класс непересекаюс=х щихся множеств из Р: Следовательно, откуда Очевидно, однако, что поэтому Обратное включение 8(Е)сС, 8(Е) ПАСС ПА.

С ПА= 8(ЕПА); 8(Е) П Ас=8(Е П А). 8 (Е й А) с= 8 (Е) й А $ а. МОБОтОнный класСЫ а) й замкнуто относительно образования, во-первых, конечных пересе- чений и, во-вторых, соединений непересекающихся множеств. б) Если Е4Р, Е5Р н Ес-Е, то Š— Ебй. в) Если Е бр, Гбй и Е~Е, то Š— Ебй. г) Если Ебй, Ебй и Ес: Е, то Š— Е5й. д) й = Й(Р). Отсюда, в частности, следует, что полукольцо, замкнутое относительно образования соединений, есть кольцо.

4. Прямо или посредством упр. 5 5 4 доказать аналог теоремы 1 для алгебр. 5. Если Р— полукольцо и й = й (Р), то 8 (й) = 8 (Р). 6. Является ли а-кольцом непустой класс множеств, замкнутый относи- тельно образования симметрических разностей и счетных пересечений? 7. Если Š— непустой класс множеств, то всякое множество из 8 (Е) может быть покрыто соединением счетного числа множеств нз Е (см. тео- рему 2). 8. Если Š— бесконечный класс множеств, то Е и 8(Е) имеют одинако- вую мощность (см. теорему 3). 9.

Аналог теоремы 3 для ч-колец можно получить следующим путем (см. также упр. 8). Лля любого класса Е, содержащего О, полагаем Еа= Е, и для всякого порядкового числа а )О Е, = ((„) (Еа . Р ( ч))', где класс С* образован из всевозможных счетных соединений разностей множеств из С: а) Ес Еаг=Е,с8(Е) при 0(5(г41 б) 8 (Е) = 0 (Е,: е ( и), где Р— первое несчетное порядковое число; в) если мощность Е не выше мощности континуума, то и мощность 8 (Е) не выше мощности континуума. 10.

Как формулируются для колец теоремы, аналогичные теоремам 4 и 5? $6. МОНОТОННЫЕ КЛАССЫ Мы не располагаем конструктивным приемом, позволяющим для заданного класса множеств строить порожденное им о-кольцо. Однако рассматривая некоторый тип классов, определяемый менее стеснительными условиями по сравнению с о-кольцами, мы получаем полезную теорему, касающуюся строения о-колец, порожденных некоторыми классами. Непустой класс М множеств называется монотонным, если, какова бы ни была содержащаяся в нем монотонная последовательность множеств (Е„), 1нп Ев ~ М. Так же как в случае колец и о-колец, все подмножества пространства Х образуют монотонный класс, и пересечение любой системы монотонных классов также представляет собой монотонный класс.

Поэтому мы можем ввести монотонный класс М(Е), порожденный произвольным классом Е, как наименьший монотонный класс множеств, содержащий Е. Теорема 1. Всякое -кольцо представляет собой монотонный класс; монотонное кольцо есть о-кольцо. ГЛАВА Ь МНОЖЕСТВА И КЛАССЫ Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для того, чтобы доказать второе, нужно обнаружить, что кольцо, одновременно являющееся монотонным классом, замкнуто относительно образования счетных соединения.

Пусть М вЂ монотонн кольцо и Е,~М, 1=1, 2, Тогда, так как М есть кольцо, 0Е ЕМ, 1=1 и=1, 2, Последовательность ~ Ц Е11 — возрастающая, и ее предел равен Ц Ео 1=1 Е=1 Так как кольцо М монотонно, то 0Е ЕМ. + 1=1 Теорема 2. Если й — кольцо, то М(й) =8(й). Следовательно, если монотонный класс содержит кольцо й, то он содержит и 8(й). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как е-кольцо представляет собой монотонный класс и 8(й)~й, то 8(й)=ьМ = М(й). ЕЕК(Р) ° Р~К(Е) следуют одно из другого. Если класс К(Р) не пуст и (Е„) — какая- нибудь содержащаяся в нем монотонная последовательность, то Иш ń— Р = 1! ш (ń— Р) ~ М, Р— ИшЕ„=Ищ(Р— Ев)ЕМ, Р 0 1нп Е„= Иш (Р Ц Е„) ~ М; таким образом, К(Р) есть монотонный класс. Доказательство будет завершено, если мы обнаружим, что М есть о-кольцо; из М(й)"ьй будет тогда следовать, что М(й)~8(й).

Класс множеств Е, таких, что Š— Р, Р— Е и Е()Р, где Р— некоторое фиксированное множество, принадлежат М, условимся обозначать К(Р). Заметим, что так как Е и Р в определении К(Р) участвуют симметрично, то соотношения а а. монотонныв классы Если Е~й и Е~сй, то, согласно определению кольца, Е~К(Е). Это верно для любого Е из й, поэтому й~К(Г). Так как М вЂ” наименьший монотонный класс, содержащий й, то Мс= К (Е). Отсюда если Е~М и Е~й, то Е~К(Е), следовательно, Е~-К(Е). Это верно для любого Е иэ й, поэтому так же, как и выше, мы ааключаем, что М с= К (Е). Справедливость последнего соотношения при любом Е из М равнозначно утверждению, что М есть кольцо, а из теоремы 1 следует, что М есть даже а-кольцо. ве Доказанная теорема не дает нам способа построения для заданного кольца й порожденного им о-кольца.

Однако она показывает, что вместо того, чтобы исследовать а-кольцо, порожденное кольцом й, достаточно исследовать порожденный им монотонный класс. Во многих приложениях это совсем нетрудно. 1. Верна ли теорема 2 длн полуколец2 2. Класс )Ч называется нормальным, если он заллкнут относительно образования пересечений убывающих последовательностей и счетных соединений непересекзющихсв множеств, в него входящих. Всякое в-кольцо представляет собой нормальный класс; нормальное кольцо есть в-кольцо. 3.

Наименьший нормальный класс, содержащий класс Е, обозначим Х (Е); тогда, если Р— любое полукольцо, то гч (Р) = 8(Р). 4. Назовем в-алгеброй непустой класс множеств, замкнутый относительно образования дополнений и счетных соединений; тогда и-алгебру можно описать как в-кольцо, содержащее Х. Если й — алгебра, то М(й) совпадает с наименьшей в-алгеброй, содержащей й. Верно ли зто тогда, когда й есть кольцо) 5.