П. Халмош - Теория меры, страница 2

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (-+ со) + ( ~ со) = х + ( оо) = (=' со) + х = + ос, при х) О, при х=О, при х(О, х (+ оо) = (-+- оо) х = 0 (-+- со) (-+- со) = + оо, (+ со) (~ оо) = — оо, х — =0 — со с. х ( + со. Для понимания первых сеян глав этой книги требуется только знакомство с элементарной алгеброй и началами математического анализа. В частности, читателю должны быть известны следующие понятия и факты. 1) Математическая индукции; переместительный и сочетательный заковы алгебраических действий; линейные комбинации; соотношение эквивалентности и разбиение на классы.

2) Счетные множества; счетность соединения счетного числа счетных множеств. 3) Действительные числа; простейшие метрические и топологические свойства числовой прямой (например, множество рациональных чисел всюду плотно; всякое открытое множество представляет собой соединение конечного или счетного числа непересекающихся открытых интервалов); теорема Гейне — Бередя.

4) Общее понятие функции (в частности, понятие последовательности, т. е. функции, заданной на множестве целых положительных чисел); сложение и умножение функций; абсолютная величина функции. 5) Верхняя и нижняя грани числовых множеств и действительных функций; предел, верхний и нижний пределы последовательности действительных чисел или функций. 6) Символы + со и — со; алгебраические соотношения между ними и произвольным действительным числом: пвидвавитвльныв сввдвння Во всех случаях, когда символы +.оо и — оо присоединяются к действительным числам, например в качестве допустимых значений функций, это особо оговаривается. Числовую прямую, пополненную символами +-оо и — оо, условимся называть расширенной числовой прямой. Если х и у — действительные числа, то хПУ = П1ах 1х У) = 2 (х+У+ ~х — У 1) 1 1 хД у = 1П1п ~х, у) — — (х+ 11 — ~ х — у 1).

Точно так же, если г и й — действительные функции, то функции ~0й и г'Пй определяются равенствами (УПйИХ) =У(х) Пй(х), СУПАХ) =У(х) Пй(х). Верхняя и нижняя грани последовательности действительных чисел 1хВ) обозначаются соответственно Цх„и П хв. В=1 В 1 В этих обозначениях 1'"' з"РХВ= П аахм В=1 1ВОВ СО СО Пш 1п1Х„0 Пх . В 1$В В В гл. НП1 используются понятия метрического пространства, полного и сепарабельного метрического пространства, а также понятие равномерной непрерывности функции, заданной в метрическом пространстве. В гл.

НРП встречаются и более мудреные понятия анализа, такие, как односторонняя непрерывность. В последнем параграфе гл. 1Х нужна теорема Тихонова о компактности произведений пространств (для счетного числа множителей, каждый из которых есть отрезок). Вообще, каждая глава опирается на результаты всех предыдущих. Исключение в этом отношении составляет гл. 1Х, которая для последних трех глав не нужна.

В гл. Х, Х1 и ХП систематически используются многие понятия и результаты, относящиеся к теоретико-множественной топологии и теории топологических групп. Мы приводим здесь перечень соответствующих определений и теорем. В качестве учебника топологии этот перечень служить не может; цель его: а) сообщить специалисту, какие именно формулировки основных понятий и результатов здесь ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ понадобятся, б) точно указать начинающему, с чем следует ему ознакомиться, прежде чем приступить к чтению последних трех глав, в) напомнить некоторые не общеупотребительные термины и г) дать возможность читателю быстро получить нужную ему справку. Топологические пространства.

Типологическим пространством называется множество Х с выделенным в нем классом подмножеств, называемых открытыми множествами в Х. Класс открытых множеств должен содержать пустое множество О и все Х; кроме того, пересечение любого конечного числа и соединение произвольного (а не только конечного или счетного) класса открытых множеств должны быть открытыми множествами. Подмножество Е в Х называется множеством типа О„если существует последовательность открытых множеств (У„), такая, что Е= П У„. Класс всех множеств типа 01 я=1 замкнут относительно образования конечных соединений и счетных пересечений. Топологическое пространство Х называется дискретным '), если в нем все множества — открытые или, что эквивалентно, всякое его одноточечное подмножество принадлежит классу открытых множеств.

Множество Е называется замкнутым, если Х вЂ” Е открытое множество. Класс замкнутых множеств содержит О и Х и замкнут относительно образования конечных соединений и произвольных пересечений. Открытым ядром Ео множества Е в Х назы-. вается наибольшее открытое множество, содержащееся в Е.

Замыкание Е множества Е есть наименьшее замкнутое множество, содержащее Е. Если Š— открытое множество, то Еа=Е; если Е замкнуто, то Е=Е. Замыкание множества Е состоит из всех точек х, обладаюших следующим свойством: всякое открытое множество, содержащее х, имеет непустое пересечение с Е. Множество Е называется плотным в Х, если Е=Х. Подмножество г' топологического пространства Х саио оказывается топологическим пространством (подпространгтвом пространства Х), если в качестве открытых множеств в У взять пересечения г' с открытыми множествами в Х; возникающая таким образом в у топология называется относительной топологией. Окрестностью точки х в Х (множества Е в Х) называется любое открытое множество, содержащее точку х (соотв.

множество Е). Базисом называется класс В открытых множеств, обладающий таким свойством: для любой точки х из Х и любой ее окрестности У существует множество В из В, такое, что к~В<=У. Топология числовой прямой определяется требованием, чтобы класс всех открытых 1) В топологии термин, дискретное пространство обычно употребляетс е широком смысле, именно, пространство называетея дискретным, я если в нем пересечение любого класса открытых множеств есть открытое множество.

— Прим. ред. пввдвлвнтвльныв сввдвния интервалов представлял собой базис. Подбазис определяется как класс открытых множеств, всевозможные конечные пересечения которых образуют базис. Пространство Х называется сепирабельным, если оно обладает счетным базисом. Всякое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно.

Открытым покрытием подмножества Е топологического пространства Х называется любой класс К открытых множеств, такой, что Е«Ц К. Если пространство Х сепарабельно, то, каково бы ни было открытое покрытие К множества Е в Х, в К существует счетный подкласс )К„Кя,...), также являющийся открытым покрытием Е. Множество Е в Х называется компактным, если всякое его открытое покрытие К содержит конечный подкласс )Кп..., К„), также являющийся открытым покрытием множества Е, Пространство Х компактно тогда и только тогда, когда всякий класс замкнутых множеств, обладающий тем свойством, что любой его конечный подкласс имеет непустое пересечение, сам обладает непустым пересечением.

Множество Е в пространстве Х называется е-компактным, если существует последовательность компактных множеств (Сп), такая, что Е= Ц С„. Пространство Х называется локально комп=г пактным, если всякая его точка обладает окрестностью, замыкание которой компактно. Подмножество Е локально компактного пространства называется ограниченным, если существует компактное множество С, такое, что Е«С. Класс всевозможных ограниченных открытых множеств в локально компактном пространстве представляет собой базис. Замкнутое подмножество ограниченно~о множества компактно. Подмножество Е локально компактного пространства называется а-огриниченным, если существует последовательность компакт- СО ных множеств )С„), такая, что Е«Ц С„.

Для всякого токально комп=г пактного, но не компактного, пространства Х существует компактное пространство Х*, содержащее Х и в точности одну дополнительную точку хь; говорят, что пространство Х компактифицируется добавлением точки хь. Открытыми множествами в Хз служат открытые множества в Х, а также дополнения (в Хь) замкнутых компактных подмножеств Х. Пусть (Хг':г ~1) — какой-нибудь класс топологических пространств; их тихоновским произведением ') называется множество г) Мы заменили употребленный здесь автором термин „декартово произведение' (Сапезгап ргобцсг) термином, общеупотребительным в советской математической литературе, В применении к множествам, не являющимся тополегическими пространствами, в частности, дла так называемых измеримых пространств, сходная конструкция используется в гл.

ЧП; там в переводе термин „декартово произведение" сохранен. †Пр. перев. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВВДЕНИЯ Х=Х (Х,:1~1( всевозможных функций х, заданных на Т таким образом, что х (1) ~ Х, при любом 1 из У. Фиксировав какое- нибудь 1а из Т, обозначим через Ец любое открытое множество в Хео а для 1 Ф 1о положим Е, = Х,; определим теперь в Х открытые множества, потребовав, чтобы класс множеств вида Х (Е,:1~1) служил подбазисом. Функция Бо заданная на Х посредством равенства Е,(х) =х(1), непрерывна. Тихоновское произведение любого класса компактных пространств компактно, Топологическое пространство называется хаусдорфовым пространством, если любые две его точки имеют непересекающиеся окрестности.

Любые два непересекающихся компактных подмножества хаусдорфова пространства также обладают непересекающимися окрестностяии. Компактное множество в хаусдорфовом пространстве непременно замкнуто. Если локально компактное пространство Х хаусдорфово или сепарабельно, то компактификация его посредством присоединения точки х* приводит соответственно к хаусдорфову или сепарабельноиу пространству Х". Непрерывная действительная функция на компактном множестве ограничена. Если Х вЂ” топологическое пространство, то г(Х) (или тг) будет обозначать класс всех действительных непрерывных функций 1 на Х, удовлетворяющих неравенству 0 (~(х) (1 при любом х из Х.