Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 5

Свободной материальную точку называют в тех случаях, когда на нее не действуют другие тела (пример; комета, летящая вдали от прочих космических тел). Чтобы ответить на вопрос, как найти все инерциальные СО, выясним, как радиусаектар г. скорость г и ускорение а материальной точки в СО К выражаются соответственно через ее радиус-вектор г', скорость Ы и ускорение а'в СО К', движущейся относительно К поступательно, равномерно и прямолинейно (рис. 9; оси Ох и бз' перпендикулярны У У )с плоскости чертежа). Для простоты, но бш ущерба для сути дела, можно считать, что в начальный К К' момент времени ! = 0 обе СО совпадали друг с другом и скорость Рр СО К' относительно К направлена по оси Ох.

Как видно из рнс. 9, радиус-вектор точки в СО ! я 0 К г= хз+уу+ей равен сумме ее радиуса вектора "0 !' х' )(! Х' Х в СО К' г'= х'!'ьу' зГесчр (!'=! !'= !. !с'=й) х и радиуса-вектора гр начала координат 0' СО К' в СО К, который в нашем конкретном случае определяется формулой г, =1;гз: Рнс. 9 х = х'+Уг г = г'+ г,, или У = У з = =' (6.1) я= я'<-Р,, или г ю (6.2) В=гд Дифференцируя (6.2) по времени, имеем: так как при сложении векторов суммируются их декартовы проекции на соответственные оси (см. (М.19)).

Эти формулы, связывающие координаты точки в двух СО, дви. жущихся друг относительно друга равномерно и прямовинейно, называются п р е о бр азов а н н ям и Галилея. Дифференцируя (6,1) по времени и учитывая, что Уь = свшг, находим соотношение между скоростями к и г'. 27 а, =а,' а=а', или а,=а' п =а' (6.3) Формулы (6.2) и (6.3) показывают, как преобразуются скорость и ускорение точки, если при описании ее движения перейти от одной СО к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно.

Движение точки относительно СО К можно трактовать как рюультат "сложения" двух ее движений: движения вместе с СО К', т.е движения с постоянной скоростью )гз (переносное движение), и движения относительно СО К'. При этом скорости согласно (6.2) действительно складываются, а ускорение точки согласно (6.3) одинаково в обеих СО - оно и н в а р и а н т н о относительно преобразований Галилея. Инвариантно также и время, которое в ньютоновской механике считается абсолютным: показания двух одинаковых часов, синхронизованных а одной точке пространства, всегда будут совпадать друг с другом независимо от характера движения часов (формально зто можно отразить, добавив к формулам (6,1) соотношение 7 =7'), Пусть СО К - инерциальная, так что в ней ускорение свободной материальной точки равно нулю; а„= О.

Если другая СО К' движется относительно К равномерно и прямолинейно, то согласно (6.3) в ней также а,', = О, т.е, она тоже инерциальная. Если же К' движется относительно К с ускорением, то равенство (6,3) не выполняется и следовательно ускорение свободной материальной точки в К' отлично от нуля - такая СО называется н е и и е р ц и а л ь н о й.

Таким образом, для нахождения всего класса инерциальных СО достаточно найти одну из них: инерциальными будут те и только те СО, которые движутся относительно нее равномерно и прямолинейна, а все прочие буду~ неинерциальиыми. Эксперименты, и прежде всего астрономические наблюдения, показывают, что с высокой степенью точности инерциальной является г е л и о ц е н тр и ч е с к а я СО, у которой начало координат находится в центре Солнца, а оси направлены на "неподвижные" звюды.

Любая СО, связанная с Землей ( г е о ц е н тр ич е с к а я с началом координат в центре Земли, л а б о р а т о р и а я с началом координат вблизи поверхности Земли и др.), не являются строго инерциальными главным образом вследствие вращения Земли относительно собственной оси (некоторые эффекты, обусловленные неинерциальностью этих СО, обсуждаются в главе )711, 6 33).

Заметим в 'заключение, что ньютоновская механики не применима яля решения «осмсясгичсских проблем, когда речь идет сб областях прасзрансзвз, размеры которых сравнимы с размером нссзедаеанаой части Вмзениап. Согласно сбшеи теории относительности Эништайна пространство в касмозсгнчсских масштабах иеззкзняово (точнее - просзрансзва.время не пссалазвклидсва) и ввести прямоугольную декартову О3 мовио лишь приближенна в малой по кссмоаогическим масштабам области (подобна тому, как на нскривяснноп поверхности декартовы координаты мозно ввсеги лишь а дссштсчно малая области, кетовую мокко приближение считазь плоской). б 7. Второй закон Ньютона как дифференциальное уравнение движения Согласно первому закону Ньютона материальная точка движется в инерциальной СО с постоянной скоростью, если она свободна, т.е.

на иее не действуют другие тела. Воздействие со стороны окружающих тел приводит к изменению скорости материальной точки, т.е. вызывает ускорение. В ньютоновской механике воздействия тел друг на друга удается охарактеризовать введением векторной физической величины, которая называется с и л о й. Измерять силу нежно, например, при помощи пружинного динамометра. С этой целью тело, на которое действует измеряемая сила Г, прикрепляют к пружине динамомегра, добиваясь, чтобы тело покоилось в инерциапьной СО. Тогда сила г"„натяжения пружины, 28 д ействующая на тело. равна по модулю и противоположна по направлению измеряемой силе: Р = -Р„(рис.

10 а). Следовательно, сила Р направлена вдоль пружины динамо- метра, а ее модуль определяется показаниями шкалы динамометра. Для построения шкалы динамометра, т.е. его а) грацуировки, необходимо иметь набор одинаковых динамометров. Сначала, уравновешивая поочередно каждым динамомегром силу, принятую за единицу (Р = 1 ед, силы), наносят на шкалах метку "1".

Затем прикрепляют к телу с одной Р = 0,5 ег) стороны один, а с другой два динамометра пас! раллельно друг другу и добиваются равновесия б) ! о тела. Когда левый динамомстр показывает силу, г" =) ед равную единице, каждый дннамометр из пары ! о измеряет силу, равную 0,5 единицы силы (рис. 10 г м б 5 ео б). Когда же силу, равную единице, показывает каждый динамометр из пары, левый динамометр, г" =! ед очевидно, измерит силу в лве единицы и против его указателя ставится метка "2" (рис. 10 в).

в) Продолжая зту процедуру (при необходимости Е=2 яд заменяя пару динамометров на три, четыре и т.д.), р-) л можно проградуировать динамометры с любой ценой деления. Рис". 1О Анализируя результаты опытов и астрономических наблюдений, а также опираясь на законы Кеплера и открытый Галилеем закон инерции, Ньютон пришел к заюпочению, что ускорение, приобретаемое материальной точкой относительно инерциальной С(), пропорционально действующей на нее результирующей силе: (7.1) Результирующая сила есть сумма всех сил У;, действующих на материальную точку со стороны окружающих тел: Р = ~, Г, Скалярная положительная физическая величина та, = Г„, та =Р, У та, =Р,, (7.2) т, являющаяся козффициентом пропорциональности между силой и ускореннем, июывается м а с с о й материальной точки, а формула (7.1) является выражением в т ар о го з а кон а Н ь ю то и а.

Как следует из(7.1), материальная точка с большей массой приобретает под действием данной силы меныпее ускорение, т.е. меньше меняет свою скорость, сведовательно, масса характеризует инертные свойства, являясь тем саммм мерой инерции материальной точки. Единица измерения массы в СИ - 1 кг. Масса наряду с длиной и временем является основной величиной в механике, и, соответственно, основными единицами в СИ служат 1 метр, 1 секунда, 1 килограмм.

Единица измерения силы в СИ называется н ь ю то н; согласно (7.1) 1 Н = 1 кг 1 и/1 сз. Второй закон Ньютона носит векторный характер, однако при решении задач предпочитают иметь дело со скавярными величинами - проекциями векторов, и второй закон Ньютона записывают в проекция на те нли иные направления. выбор которых диктуется характером задачи. Во многих задачах удобно использовать его в проекции на оси декартовой прямоугольной системы координат; 29 где а„а„,а, и Р'„,Е;,и", -соответственно, проекции ускорения и результирующей силы на оси Ох. Оу.

Оя (см. (М.10)). Уравнения, даваемые вторым законом Ньютона, позволяют решить целый ряд задач. Важнейшей является оси ов н а я, или п р я м ая задачадинамики материальной точки, состоящая в том, чтобы в каждом конкретном случае уметь находить ее кинематический закон движения (1.2). Для решения этой задачи помимо массы щ точки должны быть известны формулы для всех действующих на нее сил (о силах, изучаемых в механике, и закономерностях, которым анн подчиняются, см.

4 1О). Однако и при наличии такой информации уравнения (7.2), записанные как алгебраические соотношения между силой и ускорением, дают возможность решить прямую задачу динамики по существу лишь для равнопеременного (а = сошг) движения, которое происходит под действием постоянной силы (г" = сохзг). В этом случае кииематнческий закон движения дается известными из школьного курса физики формулами: х(!) = х, ьгы!та„зэ72 (и аналогичными для у(!) и з(1)), в которых проекции ускорения определяются из уравнений (7.2), а начальные координаты х, =х(0), у, =у(0),;, =з(0) и проекции скорости эм = «,(О), э„= э,(0), т„= г,(0) точки предполагаются заданными. Для решения прямой задачи в общем случае второй закон Ньютона, пользуясь определением ускорения (3.2), записывают в дифференциальной форме: Иг щ — =Р, Огэ (7.3) или в проекции на оси координат с учетом (3.4): Ых т — =Р;, Ог» апу лз — = Р', Ггз у лез т — =Р;.

Оз» (7.4) Эти уравнения называются ур ав нем и я ми движения материальной точки; они представляют собой систему трех дифференциальных уравнений для трех неизвестных функций времени х(г), у(г), з(г). В математике уравнение называется дифференциальным, если в него наряду с неизвестной функцией входят также ее производные. Высший порядок производных, входящих в уравнение, называется п о р я д к о м дифференциального уравнения, и поскольку в формулы для сил не входят производные координат выше первого порядка (см.

далее формулы (10.3), (!ОЛО), (10.13), (10.14), (1О.! 6)), то каждое из трех уравнений в (7 4) - второго порядка. В теории дифференциальных уравнений докюывастся, что формула, представляющая йбп!ее ерешение дифференциального уравнения второго порядка, т.е. заключающая в себе все решения этого уравнения, содержит две произвольные постоянные. Соответственно, общее решение системы (7,4) содержит шесть произвольных постоянных С,, ..., С,: «(г, С„...,С,), у(г, С„...,С,), э(г, С„...,С,). Это означает, что материальная точка данной массы под действием данных сил может двигаться по одной из бесчисленного множества траекторий, каждой из которых соответствуют свои значения констант С„...,С, .

Чтобы определить траекторию однозначно, необходимо задать шесть дополнительных условий, которым должна удовлетворять траектория. В качестветаких условий обычно задаются н а ч аль н ы е у с лови я, илн начальные данные, т.е. значения координат и проекций скорости в начальный момент времени Г=О: х(0)=к,, у(О)=у,, х(О)==„; з„(0)=с,„, с,(0)=г„, з,(0)=з .

Потребовав, чтобы искомая траектория удовлетворяла начальным условиям, имеем шесть уравнений: к(О,С,,,С,) =х,, ..., з„(О,С„,,.,Се) =с,, из которых находятся конкретные значения постоянных С,, ..., С,, выраженные через начальные данные. Таким образом задание начальных условий выделяет из множества траекторий, удовлетворяющих данным уравнениям движения, единственную, которая удовлетворяет этим условиям.