Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 10

29 (составляющая г„параллельно перенесена так, что оказывается проведенной от оси Ог, перпендикулярно ей, в точку приложения силы; этот вектор г, выделенный жирной линией, естеСтвенно нювать радиусом-вектором относительно оси Ох). Тогда М=(г, Г]=[(г чг ) (Г + Г )]=[с,, Г] ! [г, Г]+[г, Г ]+(г, Г ]. В этой сумме лишь последний вектор (г,, Г ] направлен вдоль оси Ог (второй и третий лежат в плоскости хОу, а первый равен нулю). Следовательно, он и яввяется перпендикулярной составляющей М, момента силы М в разложении (! 4.11): Рис.

28 М,=[„Г,]. (14.12) Таким образом момент силы М, относительно осн Ох определяется формулой того же вида, что и момент относительно начало координат (14.1), в которой однако вместо радиуса-вектора г и силы Г стоят их ортогоиальные составляющие г и Г, лежащие в олоскосзи, перпендикулярной оси 0 . Длл модуля момента М, очевидно справедливы формулы (14.3), в которых теперь и - угол между векторами г и Г, а г н Г следует заменить на г и Г . Аиаент иьщ)льса материальной точки относительно Рис. 29 логичной формулой выражается мом оси Ок 1, = [г„, Г ] ( 1 4.1 3) ( см . Рис .29. подразумевая л од вектором Г вектор Г), а полный момент импульса системы материальных точек относительно оси Ох определяется суммой С„= ~(ол .

(14. 14] Подставляя разложения (14.11) в закон изменения момента импульса (14.9), по° учим: (14.15) Об. ='=~М,",';" и деа аналогичных уравнения для моментов импульса б, и б относительно осей Ох и Оу. Уравнение(!4.15) представляет собой закон из м е не н и я момента и и- пульса относительно оси 0 Если сумма иоментов внешних сил относительна оси Ох равна нулю, то согласно (14.!5) Ж,(сй = 0 и, следовательно, б = солзг: 47 ~,ЗУ;„, =0 -+ Тэ=сощ! (14.16) гз лзз Рис.

30 Покажем, что прямым следствием закона сохранеиив момента импульса звляетаз известный закон плошадей Кеплер», согласно которому радиус-зектор планеты, проведенный из центре Солнца, покрывает з» равные промежутки времени равные плошади (см, рис.з !, н» котором две такие пышали эештрихаваньц За милый промежуток времени Л! планета совершает малое перамсщсние Ьг = вЫ и площадь 05, описанная рвдаусом-вектором г равна площади заштрихованного треугольника, т.е. половине площади параллелограмма, построенного нв векторах ги дг (изображен на рис 3! пунктирной линней).

Как показана в математическом введении (см. МД7), плошадь параллелограмма, построенного не двух векторах, равна модулю их векторного произведения. таким образам, имеем: 05 = !(г, Ьг))(2 = ![г, эЛГ1()2 . Чтобы под знакам модуля стоял момент импулыв планеты относительно центра Солнца ! = [г, шэ|, умнажим и разделим вектор з Ы (г) на мзссу планеты Ш н вынесем множитель дт)и зе смак векюриого произведения (см. М 28); 05 =![г, тэ]!Л! (2ш = )!)О!)2т .

Мамонт импульса планеты относительно цмгзра Сознца сохрамястся (! = сеют), так как сила тяготения, действующая на планету со стороны Солнца, пентральиая (воздействие других планет пренебрежимо мало). Слсдсватееьно, площадь, покрываемая радиусом-вектором планеты в единицу времени 05/От, является постоянной величиной 05(0! = !![(Зш = сопл! . Рнс. 31 б 15. Закон изменения и сохранении механической энергии Работа. Пусть на материальную точку (она может в частности представлять собой малый элемент тела) действует сила Р. Разобьем траекторию точки на участки столь малой длины, чтобы их можно было приближенно считать прямолинейными, а силу в пределах участка - постоянной (рис.

32). Р а б о т о й ЬА с и л ы г" н а м а л о м л е р е м е щ е н и и Ы называется скалярное произведение силы на перемещение: ОА =(Р.Д!) . (! 5.1) По определению (см. М.22) скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними, так что 0А = г" Ы сова, где а- угол между направлениями силы и перемещения.

С учетом (М.23) выражение для малой работы можно записать в виде ОА= г; Ы или ОА = г" 01„, где гз = г сова есть ным если авиа н лю с мма моментов внеш их снл отмосительно этой оси Таково содержание закона сохранения момента имл)льса относительно о с и. Типичный пример сохранения момента импульса дает т система материальных точек, находящаяся в центральном "3 поле сил, когда все внешние силы направлены радиально к 1 р одной точке 0 (центру) или от нее (рис. 30).

При этом р момент каждой внешней силы г", относительно центра равен ! нулю (поскольку угол а, между радиусом-вектором г, и силой Р, равен нулю или 180', так что в формуле (142) вша=О ) и, следовательно, момент импульса системы относительно центра сохраняется. 48 РЫсоза, Р;Ы, ГЫк, г,ох ьг",лу+Дбя. (!5.2) Рис.

32 Наиболее часто будет использоваться второе выражение, которое подчеркивает, что для работы важна составляющая силы в направлении перемещения. Если угол а между направлениями силы и перемещения острый, как на рис. 32, то сова> О и ЛА > О - сила совершает положительную работу; в случае тупого угла сова< О и работа отрицательная: оА < О; работа равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению. Работа Аш на конечном участке пути от точки 1 до точки П складывается из малых работ на отдельных малых участках пути.

Суммируя эзи работы ЛА = р;! ! Ыа! и переходя к пределу при Ы ' -ь О, находим: ю Ащ = йш ,'Г Р;!е П1!л = ) Р; и1, з (!5.3) В конкретных задачах при вычислении работы стоящая под знаком интеграла проекция силы Р; записывается как функция некоторой переменной, по которой ведется интегрирование, и в качестве пределов интегрирования 1 и 11 подстав- Д лаются значения этой переменной, соответствующие начальной и а конечной точкам пути. Если, например, г, задана как функция пути 1, отсчитываемого от некоторой точки на траектории, то 11 () Аш =) г;(1)А! (см.

Рис. 33). Из (!5.2) следует, что единицей раРис. ЗЗ боты в СИ является джоуль: 1Дж= ! Н ! м . Отметим два свойства работы, вытекающих из ее определения (!5.3). Работа меняет знак: !) если направление силы в каждой точке траектории меняется на обратное: Аш ' = -Аш " г и 2) если начальная и конечная точки пути меняются местами: Аш = -Ае, . Действительно, в первом случае меняет знак подынтегральная функция, а во втором -меняются местами пределы интегрирования.

Подчеркнем, что в зависимости от поставленной задачи можно интересоваться работой той или иной отдельной силы, а не обязательно работой результирующей силы. действующей на материальную точку. При этом иногда вместо явного указания силы говорят, какое тело совершает работу над рассматриваемым телом (например, под словами "газ совершает работу" подразумевается работа силы давления, действующей на перемещающийся поршень). Э н е р г и е й системы в широком смысле слова называется способность системы совершить работу.

Эта общая формулировка понятия энергии, естественно, нуждается в конкретизации, когда речь идет об определении энергии того нли иного вида как проекция силы на направление перемещения, а Ы =! сова - проекция перемещения на направление силы. Принимая во внимание также (М.24), можно написать четыре равноправных выражения для малой работы: 49 физической величины.

В механике рассматриваются два вида энергии - кинетическая и потенциальная, являющиеся функциями состояния системы, причем кинетическая энергия зависит только от скоростей, а потенциальная - только от координат материальных точек системы. Не давая заранее определений этих двух видов энергии, покажем, как они естественным образом появляются в теории, если рассматривать движение системы в энергетическом аспекте.

Теорема о кннетичмжой энергии. Пусть материальная точка массой т движется лод действием результирующей силы г". Выясним, на что идет работа, совершаемая силой г". Запишем второй закон Ньютона в некоторой точке траектории а проекции на тангенциальное направление та, = Г, 1 (15. 4) здесь а, и Г, - тангенциальное ускорение и тангенциальная проекция силы (рис. 34). Чтобы в правой части формулы (!5.4) стояла малая работа 64 = с;а7, умножим обе части равенства на величину малого перемещения лй материальной точки: яю,ну=де)! (индексы г и ! символизируют одно и то же касательное к траектории направление).

Подставляя в левую часть последнего равенства согласно (4 3) и (2 1) а, = ст/с(! и гг(= гггг, имеем: и (лс/г(г)иг(! = 64 или асс!г = Я. Легко проверить, что тзлгм Ы(мэ'/2), еле довательно Ы(шк%)=64. Скалярная физическая величина ик 2 (15.5) рнс. 34 называется к и и е т и ч е с к о й э н е р г и е й м а т е р и а л ь н о й т о ч к и, так что (15.6) Просуммировав малые работы на всех малых перемещениях конечного участка траектории от точки ! до точки П, т.е. взяв определенный интеграл от обеих частей равенства (15.6), получим: м„(Л)-м„(!)=дл * (! 5.7) м,е'(7!)- „ю(!)=йщю м)(7!) у~(! 1 !и! (15,8) 4-4467 где н „(7!) и м„(!) - значения кинетической энергии материальной точки в конечном и начальном состоянии. Таким обрюом, работа рюультнрующей силы, действующей на материальную точку, равна приращению кинетической энергии последней.

Аналогичное утверждение справедливо для системы материальных точек. Дей. ствительно. записав уравнения (15.7) дяя каждой точки системы (верхний индекс в скобках нумерует точку системы), и суммируя эти уравнения, получим: 50 ()пределим кинетическую энергию системы материальных то- ч е к как сумму кинетических энергий веточек: 2 (! 5.9) (тем самым кинетическая энергия, как и импульс и момент импульса - величина алдн.

тивная). Тогда )3'„((!) — И'„(!) = ~А»»»" 1 1 ()5.(0) абота всех с л ейств ю и на мате альные очки системы на и и ение кинети вской з ии системы. Это утверждение носит название т е о р е м ы о к и . нетической энергии. Потенциальные силы и потенциальная энергия. Все силы можно подразделить на потенциальные (консервативные) и непотенциальные (неконсервативные). П о т е иц и а л ь и ы и и называют силы, работа которых зависит от положения системы (т.е. координат ее точек) в начальном и конечном состоянии и не'зависит от способа перехода системы из начального состояния в конечное. Из нюависимости работы потенциальных сил от способа перехода из одного состояния системы в другое вытекает равенство нулю их работы при "циклическом" перемещении системы, т.е.