Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 8

Силы трения возникают при контакте макроскопических тел и направлены по касательной к их поверхности. На твердое тело может действовать с ил а с у х о г о тр е н и я со стороны другого твердого тела, с которым оно контактирует, и с и л а ж и д к о г о т р е и и я со стороны жидкой или газообразной среды, в которой оно движется. В свою очередь силы сухого трения подразделяются на силы трения покоя и силы трения скольжения.

Есликтелу,покоящемуся иа горизонтальной поверхности, приложить постепенно возрастающую горизонтальную силу г, то пока величина этой силы не достигнет величины силы трения скольжения Р ., тело остается в покое. Согласно второму закону Ньютона это оз- начает, что до начала движения на тело со стороны подставки действует сила г" тело придет в движение и на него будет действовать сила трения скольжения (рис. 20 б).

Опыт показывает, что модуль силы трения скольжения пропорционален модулю силы нормального давления М подставки на тело и практически не зависит от скорости тела: К . =,иМ, (10.12) =О ' вп.вох. шя б) Рнс. 20 а направление противоположно скорости э тела относительно подставки. Следовательно, в векторной форме сила трения скольжения описывается формулой: равная по модулю и противоположная по направлению приложенной силе: Р" ж-Г; она называется силой трения покоя (рис.

20 а). Когда величина приложенной силы дос- тигнет значения силы трения скольжения, 32 ()ОДЗ) (10.14) где Ь - коэффициент жидкого трения, зависящий от формы и размеров тела н от свойств среды. Знак минус отражает тот факт, что сила жидкого трения направлена против скорости тела, При больших скоростях тела линейная зависимость от скорости переходит в квадратичную с другим коэффициентом я — а+ лс. пропорциональности; г ~) Ь*. г" =Ь, г' (1О. 15) илн в векторной форме; (10.16) а) б) Подробнее а природе сил жидкого трения см. Рис.

21 гл.'Л, 6 29. Заметим в заключение, что все переменные, от которых зависят рассмотренные силы (радиусы-векторы точек г„в (10.3), удлинение пружины 61 в (10.10), скорости тела относительно подставки вли среды в (10.13), (10.14) н (10.16)) инвариантны относительно цреобразованнй Галилея (6.1), а следовательно, инвариантны н сами силы. Вместе с ннвариантнсстью массы и ускорения это приводит к ннвариантности второго закона Ньютона, чем обеспечивается выполнение принципа относительности Галилея. Коэффициент пропорциональности д между величинами сил трения скольжения и нормального давления называется к о эффи ц цен та м трения с колышем и я.

Он зависит от материалов, нз которых изготовлены контактирующие тела. На тело, движущееся в жидкости или газе, со стороны среды действует сила, нмеющаявобщемслучаедвесоставляющне: силу лобового сопротивлен н я р,„, направленную против скорости г тела, н п о дъ е и н у ю си л у Г,, перпендикулярную скорости тела (см. рнс. 21 а). Прн движении тела вдоль его оси снмметрнн подъемная сила не возникает (рнс.

2! б). Если к тому же скорость тела достаточно мала, то сила лобового сопротивления пропорциональна скорости тела относительно среды: 38 ГЛАВА П1 МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 8 11. Введение Рассмотрев механику отдельной материальной точки, изучим теперь, как ведет себя ихсовокупность,т.е. система материальных точек.

Состояние системы, состоящей из Аг материальных точек с известными массами ш,«ь ..ж определяется заданием координат и скоростей всех точек системы На каждую материальную точку системы действуют силы как со стороны других точек си. стемы (в н у тр е н н и е с н л ы), так, вообще говоря, и со сторокы внешних тел, не входящих в состав рассматриваемой системы (в н е ш н и е с и л ы) . Внутреннюю силу, действующую на 1-ю точку системы со стороны )с-й, будем обозначать символом Уа, а результирующую внешнюю силу, действующую на 1-ю точку, - символом Уравнение движения Ьй точки системы с массой а, запишется в виде: «1 —,~ = у«+ У„~-...ь,У. + Р, г('б (1 1.1) Решение вопроса о том, какие материальные точки включать в состав системы, а какие, соответственно, окажутся внешними, обычно диктуется характером конкретной задачи В зависимости от этого выбора роль той или иной силы может измениться. Например, в системе "Земля+Луна" силы, действующие на Землю и Луну со стороны Солнца, - внешние.

Если же Солнце включить в состав системы, то в системе "Солнце+Земля+Луна" эти силы станут внутренними. Прямая задача динамики для системы материальных точек сводится к решению системы 3)У дифференциальных уравнений, так как уравнение движения вида (11,1) для каждой из й точек системы дает в проекции на координатные оси трн дифференциальных уравнения для координат точки х,(г),у,(г),=,(г). Строгое аналитическое решение удается найти лишь в исключительных случаях, поэтому обычно используют приближенные методы. Однако существует несковько строгих общих законов, которые хотя сами по себе и не позволяют в общем случае найти траектории отдельных точек системы, вместе с тем дают важную информацию о движении системы в цепом. Эта закон (или теорема) о движении центра масс и три закона изменения и сохраиения: импульса, момента импульса и механической энергии системы материальных точек, Их выводу и обсуждению посвящена настоящая глава.

8 12. Закон (теорема) о движении центра масс Для всякой системы материальных точек существует точка пространства, называемая ее центро м масс, или центром инерции. По определению, центр масс Г расположен относительно точек системы так. что сумма про«! изведений масс гл, точек на их радиусы-векторы 1,относительно центра масс (рис. 22) равна нулю: (12.1) Получим формулу, выражающую радиус-вектор гс центра масс в любой СО через массы точек системы и их радиусы-векторы г, в этой СО. Как видно из рис. 22, 1, =г — гс и формула (12.1) принимает следующий вид: Рнс. 22 39 Х л30 "с ~ т, ! (12.2) Легко убедиться, что формулы (! 2.1) и (!2.2) согласуются с известными нз школы сведениями о центре масс.

Так, из (12.1) следует, что для системы, состоящей из двух материальных точек, т,1, +т/з = О, откуда я91, = -ль1, и 1,/1, =е9,1е,, т.е. центр масс лежит на прямой, соединяющей 1, 1, ° -' Е . и. ° га ° ' с а .* ° с положение центра масс ие изменится, если две материальные точки системы с массами их и аь заменить одной, обладающей Рис. 23 суммарной массой т,ьт, и расположенной в центре масс Со зтих двух точек. Действительно: х =2 щб 1 ~ щ =~(ж<г~ччи г)+ Гыд ~~~м, =[- — — (и +мз)ех Фг~ 2 И, = гн Центр масс обладает замечательным свойством: его уравнение движения имеет вид второго закона Ньютона, Для доказательства етого утверждения получим сначала формулы для скорости г и ускорения ас центра масс, дифференцируя по времени выражение (12.2) лля гс: ',Сльг, йгс "с с (! 2.3) (12.4) из (12.4) находим: ы с!'гс/с!ге=~ еьа,, где ез=~зц - полная масса системы.

Сумму ~г т,а,, стоящую в правой части равенства, выразим через силы, записав уравне- ния второго закона Ньютона в форме (11.!) для каждой точки системы и суммируя их: ~щ(г,-гс)=0, откуда ,'з е,г,— г ,'з «1=0 и для радиуса-вектора центра масс получается следующая формула: з" а =Лп Ьуа+-.+~ ~%аз =уп+Луе-.+рз + ~та,= ~~„ь~~ г, Сумма внутренних сил равна нулю: '~уа =О, так как по третьему закону Ньютона и при суммировании внутренние силы попарно взаимно уничтожаются, и таким образом т — г гр (1 2.5) Это уравнение движения центра масс, действительно имеющее вид второго закона Ньютона, называют законом (теоремой) о движении центра масс: ен масс системы мате иаяьных очек ижется как мат иаль ая точка в кото ой со е оточена вся масса систе ы т=',Гт и к о о ой п вложены все внешние силы ейств ю ие а систем . Для описания движения центра масс, поскольку оно подчиняется уравнению движения, аналогичному второму закону Ньютона, в полной мере применимо все изложенное ранее о динамике материальной точки; в частности, так же ставятся и решаются прямая и обратная задачи динамики и т.п.

Если система замкнута 12 Г, =О), то ас = О, т.е. центр масс движется равномерно и прямолинейно или, если его начальная скорость равнялась нулю, покоится. б 13. Закон изменения и сохранения импульса И м пуль с о м и атер и аль ной точки называется векторная физическая величина, равная произведению массы т точки на ее скорость з: р=тз. (13.1) Импульсом системы материальных точек называютсуммуимпульсов всех точек системы: г=,» тдб. (13.2) Таким образом, импульс по определению величина ад д и т и в н а я. (Адцитивной на- зывают физическую величину, значение которой для всей системы складывается из ее значений для отдельных частей системы). Разделим н умножим правую часть а формуле (13.2) на массу системы аз=~ щ Р= ~,м,~~~ щ», Д т,~ .

Выражение а скобках определяет согласно (12.3) скорость 7 центра масс, так что (13.3) Р= шаг - импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Продифференцируем равенство (13 3) по времени: г(Р((г)г =ш аЪ улу = м Л'гс)г(г' Согласно закону о движении центра масс (12.5) последнее выражение равно сумме внешних сил и таким образам — Р г)Р сй (13.4) п ои о наяпо в смен нм саснстем ~ ат валь точек авнас ммеа е их 4Р сй (13.5) н является одной из форм записи второго закона Ньютона.

Если сумма внешних снл равна нулю ~ Р ' =О (система з а м к н у т а я), то лР~Ог = О н, следовательно, Р=сошг: ~Р = О -+ Р= союз (13.6) льс замкн той с стем мате иальн з точек остается постоянным во в еме Таковосодержанне закона сохранения импульса. В некоторых случаях система не является замкнутой, однако существует направление, например вдоль координатной осн Ох, на которое сумма проекций внешних 'сил равна нулю: ~ Р' = О .

Записав закон изменения импульса (13.4) в проекции на это сн направление — =~'Р"- и)', ш (13.7) заключаем, что '~ Р" = О -ь Р„= сошг, (13.8) а~ т.е. сох аня ся оек ня нмп льса на то нап авление на кота ое с мма п оек- нй внешних сил анна снл ейств ю н а точки системы Этотзакон можно назвать з а ко н о м из и ел е н н я и м п у л ь с а. Применительно к отдельной материальной точке формула (13.4) принимает вид: При решении некоторых задач приравнивают значения импульса незамкнутой системы материальных точек в близкие моменты времени г и г+Лг: Р(г)» Р(г+ Ьг) .