Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 4

3 Определение скорости будет более информативным, если в формуле (2.1) вместо малых путей 55 взять малые приращения радиуса-вектора бг = г(г+ ь!)-г(!) (рнс. 3); 20 Ьг с(г г = йш — = — . ь оД! сд (2.2) Формула (2.2) определяет скорость как вектор, являющийся производной радиуса-вектора точки по времени (см. М.ЗО), Модуль вектора скорости определяется формулой (2.1): г! =)ггус!г! =!с!г~!!с(! = су/су и, следовательно, характеризует быстроту движения точки. Направление вектора скорости указывает, куда в данный момент движется точка. Действительно, согласно (2.2) вектор г направлен туда же, куда направлен вектор Ьг в пределе при Ум -ь О, т.е. по касательной к траектории.

Дифференцируя формулу (1.1) н учитывая постоянство ортов 1,),а (см. (М.31)), находим: г)г г(г, су Пз г = — = — 1+ — у+ — й. ат сй п) п) (2.3) Множители перед ортами в выражении для вектора представляют собой его декартовы проекции, так что с!с ф и' Ш " гу! ' с) (2.4) Декартовы проекции вектора однозначно определяют его модуль н ориентацию (см. (М.20) и (М.21)): 1 2 2 г, « =,!г~, ьг, ь г,, соса, = — ', сова, = — ', сояа, = — ' г (2.5) где а„а„,а, - углы между направлением вектора г и направлениями координатных асей. Таким образом, зная кинематический закон движения(1.2),можно по формулам (2.3) - (2.5) рассчитать скорость точки.

Единицей скорости в СИ, как следует из (2.1), является 1м/с. й 3. Ускорение дг аЪ а= Иш — = —, (3.1) зб! с~г ' которое называют просто у с к о р е н и е м точки. Таким образом, ускорение точки есть производная скорости по времени или с учетом (2.2) - вторая производная радиуса- вектора тачки по времени: Введем физическую величину, которая характеризует быстроту изменения скорости г.

Пусты (!) и г(г) - значения радиуса-вектора и скорости точки в момент времени г, а г(с+ о!) и г(!+ бг) - их значения по прошествии ог секунд (рис. 4). Отношение приращения скорости Ог= г(!ьбг)-г(!) к Ь! характеризует среднюю быстроту изменения скорости и определяет среднее ускорение а =Ьгупг на рассматриваемом промежутке времени Ог.

Переходя к пределу при бг-ьО, получим по опредпчению мгновенное ускорение (нли ускорение в данной точке траектории, или ускорение в данный момент времени): 21 Ы« а~г а= — =— ау ауз (3.» Выражая скорость через орты «=«„1+«,у+«,я и дифференцируя по времени. находим с учетом (2.4): с(«д«, . а!«,, с(«, пах сау . аав а = — = — в+ — 'у+ — 'й = —,1+ —, Г+ —," й, ау с(! ау ау г(1' ау' ауз (3.3] откуда см аах («„цзу,(«,узв (3,4) ау дг* ' ' й дг* ' * сг щ' ' Модуль и направляющие косинусы ускорения выражаются через декартовы проекции ускорения стандартными формулами (М.20) и (М.21); 2зз 3 а, а а, а= (а, +а, ьа,, сова, = — ', сова„= — ', сова, = — '.

(3,5) б 4. Разложение ускоремии на нормавьное и тангенниальное При движении точки ее скорость в общем случае изменяется как по модулю, так и по направлению, и оба зги фактора дают вклад в ускорение. Покажем, что ускорение точки можно представить как сумму двух ускорений - тангеициальногс, т.е, касательного к траектории, а, и нормального, т.е. перпендикулярного траектории, а„: (4.!) а=а,+а„ причем тангенциапьное ускорение обусловлено только изменением модуля скорости, а нормальное - только измемеиием направления скорости. Пусть «(г) и «(с «Ьг) - скорости точки в моменты времени г и г«Ьг, причем для конкретности рассмотрим случай ускоренного движения, когда «(1«Ь!) > «(1) (рис. 4). Отложим на векторе «(1+ ы) отрезок, равный !«(г)), и представим приращение скорости Ь« = «(!+ Ы) — «(1) в виде суммы двух векторов Ь«, и Ь«„, как зто изображено на рис, 4: д« = Д«, +Д»„.

Разделив обе части равенства иа Ьг и переходя к пределу при Ы-«О, получим: Д«Д«„ а= йщ — '-ь Нш —" Ьг * ° М (4.2) Первое слагаемое в правой части равенства есть, по определению. т а н г е н ц и Ь« !Д«,) альп о е ускорение: а, = бщ — с . Его модуль !а,)= )по ! — '-, но !Д«,( по построению а Д! а Формулы (3.2) - (3.5) позволяют рассчитать ускорение по заданному кинематическому закону движения (1.2). Единицей ускорения в СИ, как видно, например, из (3.4), являет- ся !м/сз . 22 Ьс см равен приращению модуля э скорости: ~бэ,(=ба, поэтому ~а,~=йш — = — . На-ьг ш правлен вектор а, туда же, куда вектор лт, в пределе при Ы -э О, т.е.

по скорости «(с) (рис. 5 а) (это видно из рис. 4, если вторую точку неограниченно приближать к первой). Последняя формула справедв((у пива и при замедленном дви(г) Гг+ ц) В( Г+г)( +,5) женин точки, однако в этом случае вектор а, направлен против скорости (рис. 5 б), в .а чем легко убедиться построением, аналогичным рис. 4, при я и э(э е лэ) < э(э). В обоих случаях и и тангенциальное ускорение в замедленное деиамение проекции на направление ско- угхермшое деизкение а) б) рости выражается формулои. Рис.5 о,=— (4.3) ей Второе слагаемое в(4.2) есть, по определению, н о р м аль нос ускорениеточки: Ьэ„ а„= йш —" .

При выводе формулы для нормального ускорения мы вправе заменить х олг малый участок траектории малой дугой так называемого к р у г а к р и в и з н ы, т.е. такой окружности, которая наилучшим образом аппроксимирует (приближенно заменяет) траекторию в окрестности рассматриваемой точки (рис.

6). Радиус круга кривизны йм называется радиусе м крив нэпы траектории, а обратная величина а ай э . 65 аг )(ь Ог йм Рис.а У а„=— Ям (4.4) )смНД - к р и в и з н о й траектории. На рис. 6 представлены круги кривизны для двух точек некоторой траектории: чем больше угол, на который поворачивается касательный к кривой вектор г при малом смешении лз вдоль кривой в окрестности рассматриваемой точки, тем больше кривизна и, соответственно, меньше радиус кривизны кривой в этой точке.

Из подобия равнобедренных треугольников на рис. 6 (углы при вершине равны как углы с взаимно перпендикулярными сторох(г нами) имеем: Ьг„)э = г)5/Я,„, откуда находим Ьс„= ЬЮ э/)гм . Разделив на лг и переходя к пределу при Ьг-ьб, получаем формулу для модуля нормального ускорения 23 Она совпадает с формулой центростремительного ускорения точки, движущейся по окружности (а, = с у)Г), в которой вместо радиуса окружности стоит радиус кривизны кривой в рассматриваемой точке. Направлено а„, как следует из определения, туда же, куда и вектор Дэ„в пределе лри Ы -+ О, т.е перпендикулярно скорости «(г) (нормально траектории), причем в сторону вогнутости (рис.

5 а и б) (в этом легко убедиться, мысленно устремляя на рис. 6 вторую точку к первой). Модуль полного ускорения определится иэ рис. 5 по теореме Пифагора: (4.5) Тангенциальиое ускорение согласно формуле (4.3) обусловлено изменением модуля скорости: при неравномерном движении (стд(г в0) оно отлично от нуля. при равномерном движении (г = согмц ст/Ш = О) тангенциальное ускорение равно нулю и точка может иметь только нормальное ускорение: а = л„. Нормальное ускорение согласно (4.4) обусловлено изменением направления скорости: оно возникает при любом криволинейном движении (й =!/Я и О).

Только прн движении по прямолинейной траектории (Ям -ьао) оно равно нулю и точка может иметь лишь тангеицнальное ускорение: а = а, . Полное ускорение равно нулю лишь при равномерном (а, = О) и прямолинейном (а„= О) движении. б 5. Кинематика движения точки по окружности Частным случаем криволинейного движения точки является движение по окружности. Радиус кривизны окружности равен ее радиусу Я, а нормаль направлена к центру окружности, поэтому в этом случае нормальное ускорение называют ц е н т р о с т р емнтельным: а = г',1)2 (5.)) При описании движения точки по окружности наряду с линейными скоростью э и ускорением а удобно использовать угловые скорость м и ускорение б . У г л а в о й скор о ст ь ю точки называют вектор ш, модуль которого )ю(= Ещ —, Д(с м ° ДГ (5.2) где Др - малый угол, описываемый радиусам-вектором л точки за малый промежуток времени дг (рис. 7 а).

Следовательно, величина угловои скорости характеризует быстроту изменения угла р со временем. Упрощенно говоря, она численно равна углу, описываемому радиусом-вектором точки за единицу времени, подобно тому, как абсолютная величина линейной скорости численно равна пути, проходимому точкой за секунду. Единицей угловой скорости в СИ является радиан!с. Направление угловой скорости определяется правилом буравчика: если расположить острие буравчика вдоль оси вращения, а его рукоятку вращать вместе с радиусомаектором и точки, то поступательное движение буравчика определит направление вектора ю (рис.

7 б). Если окружность с центром в начале координат О лежит в координатной плоскости хОу правой декартовой СО и угол р, характеризующий положение радиуса-вектора точки, отсчитывается от оси Ох в направлении, согласованном с направлением оси Оз правилом буравчика (рис. 7 в и 7 г), то угловая скорость, как легко убедиться, направлена вдоль оси Оз и ее проекция ю, на зту ось равна производной угла р по времени: ю=ю,й, со,=— з(р ау (5.3) др г ~ з М О) а) е) Рис. 7 (5.4) с(ю Согласна (5.3] угловое ускорение также направлено вдоль оси вращения Ог;,0= — = Ос Ою, Н'р — ' й = —, й и его проекция )7, на эту ось Ог пз' ю(г+сй) Ню ~ме ю(г) ю(з) (5.5) ю(г+й> При движении точки с возрастающей скоростью величина угловой скорости также растет, так что направления угловой скорости ю и ее приращения аю совпадают (рис.

8 а) и, как следствие(5.4), векторы ю и )) сонаправлены. При замедленном вращении (рнс. 8 б) векторы 07 Рис. 8 Действительно, при движении тачки в направлении отсчета угла р последний растет и ге = Нр)оу > О, т.е. вектор ю направлен по оси Оя в согласии с рис. 7 в, а при движении в противоположном направлении угол д уменьшается и ю, = с(рус)Г < О, т.е, угловая скорость направлена против оси Ог в согласии с рис. 7 г.

Уг по в ы и ус к о р си и е м )7 нюывается производная угловой скорости по времени: и и )) имеют противоположные направления. Единипей углового ускоренна в С!1 является раА(с . В заключение выпишем формулы. связываюшие людули линейных и угловых скоростей и ускорений. Оии вытекают из соотношения х)5 = Ядр между длиной дуги Ьу, углом ххр и радиусом Я окружности (модулем радиуса-вектора я точки) (рис. 7 а). Разделив обе части равенства на зхг и переходя к пределу при Лс-+О, получим соотношение между модулями линейной и угаовой скоростей: к =Ям, а продифференцироеав еще раз по времени.

найдем связь между ускорениями: о = ЯХ) (подчеркнем. что слева стоит не полное. а тангенннальное ускорение о =А/Нг). Выразим также цеитрастре- мительное ускорение через угловую скорость; а„=т'(Я= ш'Я: в векторной форме а„= -м'Я . поскольку оио направлено против радиуса-вектора Я точки, Итак = Ям, о,= Я)У. а„, = — сзЯ. (5.6) 26 ГЛАВА !1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Переходим к изучению законов, управляющих движением материальной точки.

В основе ньютоновской механики лежат трн фундаментальных закона, носящих имя ее создателя. В общем курсе физики дается более глубокая их трактовка, чем в школьном учебниках. 6 6. Первый закон Ньютона. П)юобразования Галилея вяжется а номе но н п ямолииейно по инерции).