Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 2

Функция Ф(х) называется п ер в о о б р а з н о й функции у= Г(х); она определена с точностью до произвольной постоянной. так как с((Ф ьсозмз)/пх =с(Ф(с(х = У(х). Для нашего курса достаточно знать формулы неопределенных интегралов от элементаРных функций, которые люжно найти в справочника п н два правила Интегрирования: постоянный множитель выносится за знак интеграла и интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой отдельной функции: )Га /(х]йк =а)Г ((х)с(х, )Г(у(х)+ Гз(х))с(г =)Г /(х)с(ха)суз(х)(х. ййййййленныйннтеШазь Определенным интеграла м ) у(х)цт от функции у = у (х) на интервале значений аргумента от х = х, до х = х, называется предел суммы ~ „((х)с!с= 1пп ~у"(х,) Ьх, (м.!3) Здесь Ах - один из малых интервалов изменения аргумента х, на которые разбивается интервал [хпхз~; з(х,) - значение функции у= з(х) в какой-либо точке интервала А», (рис.

1!). Сумма в формуле (М.!З) представляет собой площадь фигуры, ограниченной на рис. !1 жирными линиями, которая в пределе при Ьх, — ьб переходит в площадь криволинейной трапеции, у=у(х) образованной кривой у = у'(х), отршком х,х, и ординатами у, = ((х,) и у, =((х,) - таков геометрический смысл определенного интеграла. Доказывается, что определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем х = х, и нижнем х = х, пределах интегрирования: О х, х, .хз (мд а) Рис. П ) У(х) с(х = Ф(х, )- Ф(х,) В физических теориях встречаются интегралы, взятые вдоль кривой !л ) у (() од по ! поверхности 5: / г (и,с) сзб; по объему Р: ) )'(х,у,х) з()г.

Для нашего курса достаточно понимать их смысл как предела соответствующей интегральной суммы, а вычисляются они во всех встречающихся в курсе задачах сведением к определенному интегралу вида (М. !4) от функции одной переменной. 3. О векторных физических величинах н ы х физических величин, которые характеризуются одним Кро числам ме скаляр векторные величины.

В е к т о р и а я физическая величина характеризуется абсолютной величиной, нли м о д ул е м, и направлением. Символически вектор обозначается жирной буквой (г,гр и тд.) или буквой со стрелкой над ней, а ега модуль обозначается той же нежирной буквой без стрелки: !)г~и В . На рисунках векторная физическая величина изображается стрелкой. начало которой находится в точке, где ана определена (например, в случае силы Г' - в точке приложения силы), а длина которой в выбранном масштабе равна модулю вектора (если условиться силу в ! Н изображать стрелкой длиной !см., то сила величиной в ЗН изобразится стрелкой длиной Зсм.). При любых операциях вектор можно переносить параллельно самому себе, т.к.

при этом не изменяются ни его модуль, нн ориентация, П р о е к ц н е й А, вектора А на некоторое направление 'Ч" (обозначается нежирной буквой той же, чта и вектор, с индексом, символизирующим направление) называется произведение модуля А вектора на косинус угла а между направлением вектора А и этим направлением: А,>0 А,<0 а=лУ2 и) Агм0 Рис. 1И А+В .) Л А (М.

! 5) А, =Ааааа Проекция вектора - скалярная величина, которая может быть положительной (а< к12, сова>0, рис. 1П а), отрицательной (а> х/2, сова < О, рис. !П б) и равной нулю (а= х(2, сава = О, рис. 1Н в), Для векторов определены следующие операции сложения и умножения на число: 1). Сложение двух векторов определяется правилом парал- лелограмма (или треугольника), как показана на рис. 1Ч а и рис, 1Ч б. При сложении нескольких векторов А„...,Аи удобно раапаложить их цепочкой (начало последующего к концу предыдущего); пользуясь правилом треугольника при прибавлении каждого последующего вектора, заключаем, что суммарный вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего (рис.

1Ч в). 2). Умножение вектора А на число а ( О) дает вектор В = аА, модуль которого а<0 В=)з!А, а направление совпадает с направлением вектора А в случае л > 0 и противоположно ему в случае а < 0 (рис. Ч). Эти правила позволяют представить каждый вектор А в виде: н е) Аз А, Рис. 1Ч В=аА А„—: х Вх=адх Рис. Ч или одной функцией каких-либо параметров, в физических теориях фигурируют (М.

16) А= А,з+А УьА,й . А, А А, Здесь ду.й - о р т ы, те, три взаимно ортогональных единичных (!1! = Ц = !й =1) вектора, направленные вдоль координатных осей Ох, Оу, Ох (рис. Ч!). Векторы А„А,,А, в формуле (М.16) являются о р т о г о н а л ьными составляющими вектора А вдолькоординатных осей. Каждый из них представляет собой произведение орта на проекцию вектора на соответствующую ось: А, = А,! .

Аз = А,У, А, = А й, (М.17) х где А, = А сова,, А, = А сова,, А„= Азова . Косинусы Рис. Ч! углов а„а„а,, образуемых вектором с направлением координатных осей, называют направляющими косинусами. У При умножении вектора на число его проекции умножаются на зто число, как показано на рис.

Ч для проекции на координатную ось Ох: аА =(аА.)1+(аА„)У+(аА,)й (М. 18) Прн сложении векторов их проекции складываются (рис. ЧП): Рнс.Ч!! Аей=(А,+В,)1~-(А,,З-В,)/+(А,сВ)й (М!9) Проекции А„А,„А полностью характеризуют вектор А, определяя, как видно нз рис. Ч1, его модуль: 4зеАз ьАз (М. 20) и ориентацию: А, .4х А сова, = ', сова, = ", сова, = ' . (М.21) АзьАгеАз ' Аз+ 4з+Аз ' 4з+АзьАз У векторных физических величин принято наименование (размерность) приписывать проекциям вектора, а орты считаются безразмерными величинами.

Еще раз обращаем внимание на обозначения, которых мы строго придерживаемся в тексте: А- символическое обозначение векторной физической величины; А,- составляющая вектора А вдоль оси Ох; А, - проекция вектора А на ось Ох; А и !А - модуль вектора А. Векторы можно умножать друг на друга, причем в отличие от произведения скалярных величин здесь вводят два вида произведений: а) с кап яр и ы м произведением векторовА и В(обозначаетса(А, В) или А В) по определению является произведение модулей А и В векторов и косинуса угла а между ними: (А, В) = АВ сова . (М. 22) (А,В) = А,В= АВ, (М. 23) Легко доказать также справедливость следующей формулы; (А,В) = А,В, + А„В„+ А,В, .

(М.24) б) в е к т о р н ы м п р о и з в ед е н и е м векторов А и В(обозначается [А,В] или А х В) называется вектор С, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов и синуса угла а между ними: С=АВнва, (М.25) а направление определяется правилом буравчика: если расположить острие буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы А и В, совместить его рукоятку с первым вектором и поворачивать ее ко второму вектору по кратчайшему углу, то поступательное движение буравчика определит направление векторного произведемия С= [А,В] (рис, У!1!).

Отметим два свойства векторного произведения: !). В отличие от произведения чисел векторное произведение некоммутативно:при изменении порядка сомножителей ояо меняет знак: [А,В] = -[В,А] (М.26) 2). Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на леремножаемых векторах: Рис. УШ В =В звза а А )[А,В]! = 5„, (М .27) Действительно, высота параллелограмма )з = В зю а (рис.

1Х), так Рис.!Х что )[А,В])= АВнпа= Ал =Г Скалярное и векторное произведения обладают основными свойствамн обычного произведения, в частности: [А,(В+С)]=[А,В]+[А С] (дистрибутивность), [ 1, В] = е[А.В], (М.28) А — [А(х), В(х)] = '[ —, В !+ ~А,— )! (о производной вектора см. ниже). Это скалярная величина, причем (А,В) > О, если а< х72 (соха>0), (А,В) <О, если а>х/2 (сова<0), и (А,В)=0, есчн векторы взаимно перпендикулярны (а=я('2, сова=О).

Так как Асоза= Аз и Ввоза= В„, то скалярное произведение можно записать в виде: Производная векторной функции А(г)скалярногоаргументаг (например, времени !) определяется аналогично производной скалярной функции: ЫА . ЬА — = йщ— Аг в.~а и! (М. 29) АА АА, АА, с!А — = — '!+ — 'у+ а/с (М.ЗО) Аг Аг Аг Аг Таким образом, проекциями производной векб) тора являются производные его проекций: (АА)А!) =АА,)Аг итп.. Малое приращение вектора А можно представить как сумму приращений ЛАи и ЛАз направленных, соответственно, вдаль вектора А и перпендикулярно ему (рис.

Х б): ЬА = АА +бА,. Первое вызывает изменение модуля, второе - изменение направления вектора. Если малые приращения ЬА, а, следовательно, и производная АА/Й, все время перпендикулярны вектору (!) А(г) (ЬАзэ=о, ЛА=ЬА ), то модуль вектора остается постоянным, а изменяется только его ориентация. Если прн этом А(зчб!) все малые приращения ЬА и сам вектор А(!) лежат в одной плоскости, то вектор поворачивается в этой плоскости (в Рис. Х! плоскости чертежа на рис. Х1). а) Рнс.

Х где бА - приращение вектора А, обусловленное приращением б! аргумента: аА= А(г+Лг) — А(г) (рис. Х а). Согласно этому определению производная вектора сама является векторной величиной. Ее проекции на направления координатных осей Ох. Оу, Оя получим, дифференцируя выражение вектора, записанное в форме (М.16), с учетом постоянства ортов: ВВЕДЕНИЕ Физики, как и в значительной мере другие естественные науки, относится к числу точных наук.

Это, конечно. не означает, что ее методы позволяют измерить или вычислить какую-либо величину абсолютно точно - это принципиально невозможна. От точной науки требуется, чтобы она давала количественный, а не только качественный ответ на поставленный вопрос, с указанием погрешности, с которой верен представляемый результат. Поэтому физика немыслима без математического аппарата. Прежде чем приступить к решению тай или ивой задачи выбирается физическая модель, т.е. четко оговаривается, из каких представлений об изучаемом объекте исходят в данном исследовании.

В соответствии с принятой моделью записываются математические соотношения, являющиеся выражением физических законов нли определением физических величин, необходимые и достаточные дяя решения задачи. Затем проводятся математические выкладки, строгие или приближенные, и физический анализ полученных результатов. Упомянем некоторые модельные представления, используемые в общем курсе физики: модели материальной точки и абсолютно твердого тела е механике, модель идеального газа в молекулярной физике, модели квазиупругих диполей н молекулярных токов в электромагнетизме, планетарная и квантовая модели атома в атомной физике и тщ, Одна и та же физическая проблема может быть исследована в рамках различных моделей. Более грубая модель часто не в состоянии объяснить все стороны рассматриваемого явления, зато более проста в обращении. Так, например.

классическая модель идеального газа, в которой молекулы рассматриваются как частицы, подчиняющиеся ньютоновской механике. позволяет без труда получить уравнение состояния, но приводит к неверной зависимости теплоемкости от температуры. Для решения этой проблемы приходится использовать квантовую модель атома и квантовую статистику. Измерить физическую величину (непосредственно прибором или косвенно, т.е.

вычисляя ло формуле, выражающей ее через другие физические величины) - значит установить. сколько единиц, принятых для ее измерения, она составляет. Поэтому физическая величина выражается именованным чиыом, у которого наименование обозначает единицу измерения. В физике оказывается достаточным произвольно выбрать единицы измеренив для шести физических величин (основные). В Международной системе единиц (СИ), которой в соответствии с рекомендацией мы будем пользоваться, за осиовиь е выбраны единицы: длины - метр (1м), массы - килограмм (1кг), времени - секунда ()с], температуры - кельвин (!К), силы тока — ампер (1А), силы света - кандела (1кд). Единицы измерения остальных физических величин являются производными от основных и вытекают как,следствие из формул, связывающих эти величины с основными. Например. единица измерения скорости следует из определения величины скорости к= До)пы гм( едок., если за время Дг=)с тело проходит путь Дб=)м.

Соотношение, выражающее единицу физической величины через основные единицы, называется формулой размерности. Дяя скорости 1 ед.ск. = 1мЛс и формула размерности скорости имеет вид: [У]м[Ц/[Т[, где [Ц и [Т) - символическое обозначение размерностей длины и времени. Подчеркнем. что определение физической величины должно указывать, как эту величину можно прямо или косвенно измерить (см. определение силы в 17. хотя в большинстве случаев возможный способ измерения физической величины виден из формулы, являющейся ее определением). Вряд ли имеет смысл пытаться четко очертить круг вопросов, которыми занимается физика: с развитием техники эксперимента он неуклонно расширяется.