Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 7

Для описания гравитационного взаимодействия вводится понятие п о л я т я г оте н н я, нли гр а в и та ци о ни о го поля, посредством которого это взаимодействие реализуется. Тела порождают в пространстве гравитационное поле, которое в свою очередь воздействует на всякое оказавшееся в нем тело. В общем курсе физики не принято излагать всемирное тяготение в рамках теории полл отчасти по той причине, что оно обладает теми же свойствами, что и электростатическое поле, подробно изучаемое в разделе "Электростатика".

Единственное существенное различие этих полей состоит в том, что между заряженными телами в зависимости от знака их зарядов реализуются как силы притяжения, так и силы отталкивания, в то время как гравитационные силы всегда являются силами притяжения, Сила )г, действующая на материальную точку, нахо- дящуются в поле тяготения, пропорциональна ее массе т . г)п В самом деле, силы Л)г„, действующие на рассматриваемую точку со стороны малых элементов пт„тел, порождающих поле (рис. !4), согласно (10.2) пропорциональны массе пз: Р= ,'ГЛ)'ь = -яэ С ~ —," гх .

6вй г, Уравнение движения материальной точки, находящейся под действием только сил тяго- тения (свободно падающей в гравитационном поле), имеет вид: (10.4) Сокращая массу т (по смыслу слева стоит инертная, а справа - гравитационная массы), получаем следующую формулу для ускорения свободно падающей в поле тяготения ма- териальной точки, которое называют ускорением свободного падения н обозначают буквой йч г' ц. Ьт, й = — =-ОХ вЂ”,' ° пэ г, (10.5) Оно не зависит от массы материальной точки, и следовательно, все материальные точки при одинаковых начальных условиях движутся в данном поле тяготения одина- ково.

Мт г" = — Π—,г г (10.6) где г - радиус-вектор материальной точки (рис. 15). Эта сила началу координат (центру шара), поэтому такое поле называют ц е н т р а л ь н ы м. Ускорение свободного падения в цент- ральном поле сил тяготения согласно (10.5) и (10.6] определя- ется формулой: всегда направлена к М 3 (10.7) Эта ускорение, как и действующая на материальную точку гра- витационная сила, направлено к центру шара и убывает по величине обратно пропорционально квадрату расстояние ат центра шара (рис. 16 а).

Рис. ! 5 3-4467 Движение в центральном поле снл тяготения. Небесные тела (звезды, планеты и их спутники) в хорошем приближении можно считать шарами, в которых масса распределена сферически симметрично, т.е. плотность д зависит только от расстояния г до центра шара; р= с(г). Простейшей задачей астрономии является нахождение траекторий тела (материальной точки), движущегося в поле тяготения шарообразного небесного тела. Такая проблема возникает при изучении движения планеты в поле тяжести Солнца, спутника планеты в поле тяжести этой планеты н т.п., если пренебречь всеми прочими силами, в частности влиянием друГих планет.

Можно показать, что шар действует на материальную тачку с такой же силой, с какой на нее действовала бы материальная точка, обладающая массой шара и расположенная в его центре. Следовательно, в инерциальной СО с началом координат в центре шара массы М сила тяготения, действующая на материальную точку массы т, согласно (10.2) запишется в виде: Как показывает анаМ лиз, типичными траек8=-6 —,й ториями материальной Я точки в центральном поле тяжести являются эллипс и гипербола, одни из фокусов кото- М рых находится в центре б) шара. (Напомним, что д эллипсом (и соответственно, гиперболой) называется плоская фии1 гура, сумма (и соответственно, разность) расстояний от точек котоРой до двух фиксированных точек 2 2 2 1 фокусов - есть величина постоянная: эл(з липс и гипербола изображены на рис.

1 17, где фокусы обозначены буквами Р; и Р" г", гз). Частным случаем эллипса является окружность, а переходным случаем от г" 2 эллипса к гиперболе - парабола; при начальной скорости, наиравлениой рас(-с( = солж диально, траектория прямолинейная. ! 2 Все эти кривые получаются при перно. 17 ресечении кругового конуса плоскостью. поэтому траектории материаль- ной точки а центральном поле сил тяготения называют коническими сечениями. Задание скорости в данной точке данного центрального гравитационного поля однозначно определяет траекторию.

Если телу сообщить начальную скорость зр в на- правлении, перпендикулярном его радиусу-вектору г (рис. 18), то в зависимости от ве. дичины этой скорости могут быть реализованы все перечисленные виды траекторий: о~Ш) ( Рис. 1б с( +Н = сагыз к, =0 -прямая!; 0<э, <э, - эллипс 2; э, =ц -окружность 5 радиуса г (ц называется круговой скоростью); ц <з, <ч, - эллипса; к, = эз - парабола 5 (кз называется параболической скоростью); и, > эз - гипербола б. Рис. 18 Применительно к проблеме запуска ракет или искусственных спутников Земли круговая и параболическая скорости ц и эз имеют простой смысл. Скорость В необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой орбите - она называется первой космической скоростью. Призтомускорениесвободного падения (1 0,7) является центростремительным ускорением (5.1): 6 М(г' = к , ')», Отсюда, с учетом (10.7), (30.8) Для околоземной орбиты г= Я,, где радиус Земли Я, и 6400км .

а 8= 8(Я)м 98м/с, по приводит к значению ц ч 7,9км/с. При сообщении телу скорости э, оно будет двигаться по параболе и покинет пределы земного тяготения. Утверждение остается в силе при любом направлении скорости э; от него зависит лишь форма параболы, которая при радиальном направлении скорости вырождается в пряную (если скорость направлена в сторону Земли так, что траектория пересекает земную поверхность, тело, естественно, упадет на Землю).

Поскольку при э<э, траектория эллиптическая, это означает, что э, является минимальной скоростью. которую нужно сообщить телу, чтобы оно вышло за пределы земного притяжения. Онаназывается второй космической скоростью иопределяется формулой: э, =,328т. (30.9) Вторая космическая скорость я Г2 больше первой и в случае запуска с поверхности Земли имеет значение э, и 11 2 им/с . Вывод формулы (1О 9) дается в гл П1, 9 15, с.

58, Третьей космической скоростью э, называетсянаименьшаяскорость, которую надо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев силы притяжения Земли и Солнца, покинуло Солнечную систему. Эта скорость должна совпадать по направлению со скоростью орбитального движения Земли, и, как показывает расчет, имеет величину ж м)6,7км/с . В небольшой по сравнению с радиусом Земли области вблизи земной поверхности вектору приближенно постоянен по величине и напраалению: я = — б'~~/, )г, гдейединичный вектор в направлении оси Оя, направленной вертикально вверх (рис.

16 б). В этой области попе вектора 8, как и поле сил тяготения )г= вя, действующих на материальную точку массы т, можно считать однородным. В однородном поле сил тяготения, как хорошо известно из школьного курса физики, материальная точка движется по параболе, Упругие силы. Упругие деформации тел и связанные с ними упругие напряжения подробно изучаются в главе У. а здесь будет дана минимальная информация об упругих силах, необходимая для решения задач на движение тел.

Деформированное тело, стремясь восстановить исходную форму, может оказывать силовое воздействие на другие тела, находящиеся в контакте с ним. Такого рода силой действует растянутая или сжатая пружина на закрепленные на ее концах тела; подставка, деформированная стоящим на ней телом, давит на это тело и тл. Деформации и обусловленные ими силы называются у п р у г и м и, если тело после снятия внешних воздействий, вызвавших зти деформации, восстанавливает первоначальную форму. При сраанительно небольших деформациях величина упругой силы пропорциональна величине, характеризующей деформацию. Так, при растяжении или сжатии упругой невесомой пружины длиной 1, до длины ! на закрепленные на ее концах тела действуют силы, модуль Я которых пропорционален удлинению (или сжатию) Л! =33-!,~ пружины: (10.10) 36 где )с - коэффициент жесткости пружины, зависящий от ее свойств - формы пружины и материала, из которого она изготовлена.

Часто в задачах один из концов пружины закреплен неподвижно, а тело, прикрепленное к другому ее концу, совершает прямолинейное движение. Тогда естественно провести координатную ось Ох вдоль пружины с началом координат в точке, в которой находится тело при недеформированной пружине (рис. !9, тело считаем материальной точкой). Упругая сила, действу. юшая на тело со стороны пружины, нащэавлена вдоль оси Ох и ее проекция Р, определяется формулой: 4— х>0 (10Д П г г (г„>0 где х - координата тела. Действительно, эта формула О '" х дает правильное значение модуля силы: Г=1г„1=21х~ =)сЫ х<О н правильно учитывает ее направление: при растянутой пружине(х>0) имеем Г„<0, анри сжатой(я<0) г„>0 в согласии с истинным направлением силы в этих ситуациях (рис.

19). В достаточно жестких телах упругие силы значительной величины возникают даже лри незначительных деформациях, которые во многих задачах не учитывают, рассматривая тело как абсолютно твердое, При этом упругие силы фигурируют как неизвестные в уравнениях, в которые они входят. Примерами такой идеализации являются сила реакции опоры, действующая иа тело со стороны деформированной (но пренебрежимо мало) жесткой подставки, и сила натяжения нерастяжимой (растянутой, но пренебрежимо мапо) кити, действующая на подвешенное на ней тело. Силы трения.